開(kāi)始學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)三學(xué)點(diǎn)四學(xué)點(diǎn)五學(xué)點(diǎn)六1.如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為

，簡(jiǎn)稱為

.2.在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：P(A)=

.3.均勻隨機(jī)數(shù)均勻隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi),

產(chǎn)生的數(shù),并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣.幾何概率模型幾何概型隨機(jī)構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）/試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)子區(qū)域A的幾何度量返回4.［0,1］間隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生在計(jì)算器中應(yīng)用

可連續(xù)產(chǎn)生［0,1］范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù).不同的計(jì)算器具體操作過(guò)程可能會(huì)不同.5.隨機(jī)模擬法的應(yīng)用隨機(jī)模擬法可用來(lái)求

（特別是

）的面積的近似值，或求

.隨機(jī)函數(shù)某些特殊圖形不規(guī)則圖形某些量(如π)的近似值返回名

師講解

1.幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特征(1)無(wú)限性,在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè);(2)等可能性,每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.2.幾何概型的計(jì)算公式幾何概型的試驗(yàn)中,事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度?面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無(wú)關(guān).因此有3.幾何概型的計(jì)算步驟(1)判斷幾何概型,尤其是判斷等可能性,比古典概型更難于判斷.(2)計(jì)算基本事件空間與事件A所含的基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度?面積或體積).這是計(jì)算的難點(diǎn),實(shí)際上教材重點(diǎn)不在于計(jì)數(shù),而在于如何利用幾何概型,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為各種幾何概型問(wèn)題,為此可參考如下辦法:①適當(dāng)選擇觀察角度;②把基本事件空間轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域;③對(duì)立事件逆向思維;④利用概率公式計(jì)算.名

師講解

學(xué)點(diǎn)一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的求法

【分析】本題考查與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的求法.某公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過(guò)(假設(shè)每一輛車帶走站上的所有乘客),乘客到達(dá)汽車站的時(shí)間是任意的,求乘客候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率.

【解析】這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題.記A=“候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘”.以x表示乘客到車站的時(shí)刻,以t表示乘客到車站后來(lái)到的第一輛汽車的時(shí)刻,作圖3-4-3.據(jù)題意,乘客必然在［t-5,t］內(nèi)來(lái)到車站,故Ω={x|t-5＜x≤t}.返回若乘客候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘,必須t-3≤x≤t,所以A={x|t-3≤x≤t},據(jù)幾何概率公式得P(A)=

=0.6.

【評(píng)析】(1)把所求問(wèn)題歸結(jié)到x軸上的一個(gè)區(qū)間內(nèi)是解題的關(guān)鍵,然后尋找事件A發(fā)生的區(qū)域,從而求得μA

.

(2)本題也可這樣理解:乘客在時(shí)間段(0,5］內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá),等待不超過(guò)3分鐘,則到達(dá)的時(shí)間在區(qū)間［2,5］內(nèi).圖3-4-3返回返回例1:取一根長(zhǎng)為5m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不少于2m的概率有多大?分析:從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長(zhǎng)度為5m的繩子上的任意一點(diǎn),其基本事件有無(wú)限多個(gè),顯然不能用古典概型計(jì)算,可考慮運(yùn)用幾何概型計(jì)算.解:如圖所示.記“剪得兩段繩長(zhǎng)都不小于2m”為事件A.把繩子五等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的所以事件A發(fā)生的概率學(xué)點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型的求法1.甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位停靠6小時(shí),假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá),試求這兩艘船中至少有一艘在?？繒r(shí)必須等待的概率.

【分析】本題考查與面積有關(guān)的幾何概型的求法.

【解析】設(shè)A={兩艘船中至少有一艘停靠時(shí)等待}.建立平面直角坐標(biāo)系如圖3-4-4,x軸表示甲船到達(dá)的時(shí)間,y軸表示乙船到達(dá)的時(shí)間,則(x,y)表示的所有結(jié)果是以24為邊長(zhǎng)的正方形.圖3-4-4返回事件A發(fā)生的條件是0＜x-y＜6或0＜y-x＜6,即圖中陰影部分,則μΩ=242,μA=242-182.∴P(A)=,即這兩艘船中至少有一艘在?？繒r(shí)必須等待的概率是.

【評(píng)析】(1)甲、乙兩船都是在0～54小時(shí)內(nèi)的任一時(shí)刻?？?故每一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)兩個(gè)時(shí)間;分別用x,y軸上的數(shù)表示,則每一個(gè)結(jié)果(x,y)就對(duì)應(yīng)于圖中正方形內(nèi)的任一點(diǎn).

(2)找出事件A發(fā)生的條件,并把它在圖中的區(qū)域找出來(lái),分別計(jì)算面積即可.

(3)這一類問(wèn)題我們稱為約會(huì)問(wèn)題.返回2.設(shè)有一等邊三角形網(wǎng)格,其中各個(gè)最小等邊三角形的邊長(zhǎng)都是cm,現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上,求硬幣落下后與格線沒(méi)有公共點(diǎn)的概率.

【分析】考查幾何概型中與面積有關(guān)的問(wèn)題.

【解析】記A={硬幣落下后與格線沒(méi)有公共點(diǎn)},如圖3-4-5所示,在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形,使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1,則等邊三角形的邊長(zhǎng)為,由幾何概型得概率為兩三角形面積的比,即由概率圖3-4-5返回的公式得P(A)=

【評(píng)析】求出面積是解題關(guān)鍵.返回甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面,并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人一刻鐘,過(guò)時(shí)即可離去,求兩人能夠會(huì)面的概率.解:按照約定,兩人在6點(diǎn)到7點(diǎn)之間任何時(shí)刻到達(dá)會(huì)面點(diǎn)是等可能的,因此是一個(gè)幾何概型,設(shè)甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)間為x,y,則|x-y|≤15是能夠會(huì)面的先決條件.以x和y分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間,則兩人能夠會(huì)面的充要條件是|x-y|≤15.返回在平面上建立直角坐標(biāo)系如圖,則(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形,而可能會(huì)面的時(shí)間用圖中的陰影部分表示.這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題,由等可能性知

P(A)=

答:甲、乙兩人能夠會(huì)面的概率是.返回學(xué)點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型的求法在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)取出10毫升,則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少?

【分析】本題考查與體積有關(guān)的幾何概型.

【解析】設(shè)A={取出10毫升種子,含有病種子},則μΩ=1000毫升,μA=10毫升,∴P(A)=,即取出種子中含麥銹病的種子的概率是0.01.返回

【評(píng)析】(1)病種子在這1升種子中的分布可以看作是隨機(jī)的,有無(wú)限個(gè)結(jié)果,并且是等可能的,是幾何概型.取得的10毫升種子可看作構(gòu)成事件的區(qū)域,1升種子可看作是試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域.

(2)要注意使用“幾何概型”的條件.返回如圖3-4-7所示,有一杯2升的水,其中含有一個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.解:設(shè)A={小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌}.則μΩ=2升,μA=0.1升,∴P(A)=圖3-4-7返回學(xué)點(diǎn)四與角度有關(guān)的幾何概型的求法如圖3-4-8,在等腰Rt△ABC中,過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,求AM＜AC的概率.

【分析】考查與角度有關(guān)的幾何概型的求法.圖3-4-8

【解析】在AB上取AC′=AC,則∠ACC′==67.5°.設(shè)A={在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,AM＜AC},則μΩ=90°,μA=67.5°.∴P(A)=

返回

【評(píng)析】(1)射線CM隨機(jī)地落在∠ACB內(nèi)部,故∠ACB為所有試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,當(dāng)射線CM落在∠ACC′內(nèi)部時(shí)AM＜AC,故∠ACC′為構(gòu)成事件的區(qū)域.

(2)事件區(qū)域是角域,可用角度刻畫(huà).返回若題目改為:在等腰Rt△ABC中,在斜邊AB上取一點(diǎn)M,求AM＜AC的概率,答案一樣嗎?解:在AB上截取AC′=AC,AC′=設(shè)A={在斜邊AB上取一點(diǎn)M,AM＜AC},則

μΩ=AB,μA=

,∴P(A)=故不一樣.返回學(xué)點(diǎn)五用隨機(jī)數(shù)模擬法估算幾何概率取一根長(zhǎng)度為3m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,用隨機(jī)模擬法估算剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大?

【分析】在任意位置剪斷繩子,則剪斷位置到一端點(diǎn)的距離取遍［0,3］內(nèi)的任意實(shí)數(shù),并且每一個(gè)實(shí)數(shù)被取到的可能性相等,因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果(即基本事件)對(duì)應(yīng)［0,3］上的均勻隨機(jī)數(shù),其中［1,2］上的均勻隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點(diǎn)的距離在［1,2］內(nèi),也就是剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m,這樣取得的［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)與［0,3］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)之比就是事件A發(fā)生的頻率.返回

【解析】記事件A={剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m}.

(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND.

(2)經(jīng)過(guò)伸縮變換,a=a1*3.

(3)統(tǒng)計(jì)出試驗(yàn)總次數(shù)N和［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N1.

(4)計(jì)算頻率fn(A)=N1/N即為概率P(A)的近似值.

【評(píng)析】用隨機(jī)模擬法估算幾何概率的關(guān)鍵是把事件A及基本事件空間對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍.返回甲、乙兩輛貨車?？空九_(tái)卸貨的時(shí)間分別是6小時(shí)和4小時(shí),用隨機(jī)模擬法估算有一輛貨車停靠站臺(tái)時(shí)必須等待一段時(shí)間的概率.解:記事件A“有一輛貨車?？空九_(tái)時(shí)必須等待一段時(shí)間”.

(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù),x1=RAND,y1=RAND.返回

(2)經(jīng)過(guò)伸縮變換,x=x1*24,y=y1*24得到兩組［0,24］上的均勻隨機(jī)數(shù).

(3)統(tǒng)計(jì)出試驗(yàn)總次數(shù)N和滿足條件-4≤x-y≤6的點(diǎn)(x,y)的個(gè)數(shù)N1.

(4)計(jì)算頻率fn(A)=

,即為概率P(A)的近似值.返回學(xué)點(diǎn)六用隨機(jī)數(shù)模擬法近似計(jì)算不規(guī)則圖形的面積利用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算圖形(如圖3-4-9所示)中陰影部分的面積:y=x2+1與y=6所圍成區(qū)域的面積.

【分析】在坐標(biāo)系中畫(huà)出矩形(x=

,x=-

,y=1和y=6所圍成的部分),用隨機(jī)模擬的方法可以得到陰影部分的面積的近似值.圖3-4-9返回

【解析】(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0至1之間的均勻隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b1=RAND;

(2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=5*b1+1;

(3)數(shù)出落在陰影內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)N1,總試驗(yàn)次數(shù)為N,用幾何概型公式計(jì)算陰影部分的面積為S=

.多做幾次試驗(yàn),得到的面積會(huì)更精確.

【評(píng)析】要記住公式.其中N為總的試驗(yàn)次數(shù),N1為落在不規(guī)則圖形內(nèi)的試驗(yàn)次數(shù).返回利用隨機(jī)方法計(jì)算如圖3-4-10中陰影部分(曲線y=2x與x軸,x=±1圍成的部分)的面積.解:(1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b1=RAND.

(2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一組［-1,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)和一組［0,2］上的均勻隨機(jī)數(shù).圖3-4-10返回

(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(滿足條件b<2a的點(diǎn)(a,b)數(shù)).

(4)計(jì)算頻率,即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值.

(5)用幾何概率公式求得點(diǎn)落在陰影部分的概率為P=.∴.∴,即為陰影部分面積的近似值.返回課堂檢測(cè)1.兩根相距6m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,則燈與兩端距離都大于2m的概率為()B解析:如下圖所示,設(shè)AB=6m,C?D把AB三等分,所以AC=CD=DB=2m.當(dāng)燈掛在CD上時(shí),距兩端的距離都大于2m,因此所求概率為2.如右圖所示在一個(gè)邊長(zhǎng)為a、b(a>b>0)的矩形內(nèi)畫(huà)一個(gè)梯形,梯形上下底分別為,高為b,向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn),則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為()課堂檢測(cè)C解析:由幾何概型知,所求的概率為梯形面積與矩形面積之比,即

課堂檢測(cè)3.設(shè)A為圓周上一定點(diǎn),在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接,求弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率為()D4.已知實(shí)數(shù)x,y可以在0<x<2,0<y<2的條件下隨機(jī)取數(shù),那么取出的數(shù)對(duì)滿足x2+(y-1)2<1的概率是()課堂檢測(cè)解析:如下圖所示,x,y的取值在正方形OABD內(nèi),適合條件的x,y在以(0,1)為圓心,半徑為1的半圓內(nèi).因此由幾何概型得,

5.(2009·福建)點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn).若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為_(kāi)_____.課堂檢測(cè)解析:把圓周三等分,每份的弧長(zhǎng)都等于1.如下圖,當(dāng)點(diǎn)B在優(yōu)弧CD上時(shí)都滿足題意,故所求的概率為P=

.

6.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=2cm,在圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,則黃豆落在圓內(nèi)(陰影部分)的概率是________.課堂檢測(cè)7.在1000mL水中有一個(gè)草履蟲(chóng),現(xiàn)從中隨機(jī)取出3mL水樣放到顯微鏡下觀察,則發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率是________.課堂檢測(cè)8.假設(shè)你在如圖所示的圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率是________.課堂檢測(cè)能力提升1.如圖,平面上一長(zhǎng)12cm,寬10cm的矩形ABCD內(nèi)有一半徑為1cm的圓O(圓心O在矩形對(duì)角線交點(diǎn)處).把一枚半徑1cm的硬幣任意擲矩形內(nèi)(硬幣完全落在矩形內(nèi)),則硬幣不與圓O相碰的概率為_(kāi)____.解析:由題意可知,只有硬幣中心投在陰影部分時(shí)才符合要求.2.一個(gè)路口的紅綠燈,紅燈的時(shí)間為30秒,黃燈的時(shí)間為5秒,綠燈的時(shí)間為40秒,當(dāng)你到達(dá)路口時(shí),看見(jiàn)下列三種情況的概率各是多少?(1)紅燈;(2)黃燈;(3)不是紅燈.能力提升品味高考11.(2009·遼寧)ABCD為長(zhǎng)方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點(diǎn),在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為()解析:如圖所示,所求概率12.(2010·湖南卷)在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則|x|≤1的概率為_(kāi)_______.

品味高考

(1)幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn):一是無(wú)限性,即在一次試驗(yàn)中,基本事件的個(gè)數(shù)可以是無(wú)限的;二是等可能性,即每一基本事件發(fā)生的可能性是均等的.因此,用幾何概型求解的概率問(wèn)題和古典概型的思路是相同的,同屬于“比例解法”.即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長(zhǎng)度)”與“試驗(yàn)的基本事件空間所占總面積(總體積、長(zhǎng)度)”之比來(lái)表示.

(2)基本事件的“等可能性”的判斷很容易被忽略,從而導(dǎo)致各種錯(cuò)誤.1.如何理解幾何概型?返回