條件概率為背景的概率模型1.求條件概率的常用方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).2.利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計(jì)算．【典例1】（2023·菏澤高三模擬）設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%，35%，20%，各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%，2%，5%，現(xiàn)從中任取一件．(1)求取到的是次品的概率；(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率．【解題指導(dǎo)】（1）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解．（2）利用條件概率公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解．【典例2】（2022·湖北·房縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）亞運(yùn)會(huì)將在2022年9月10日至25日在浙江省杭州舉辦，為此，浙江省開展了青少年亞運(yùn)會(huì)知識(shí)問答競賽，參賽人員所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為，，，，由此得到總體的頻率統(tǒng)計(jì)表：分?jǐn)?shù)區(qū)間頻率0.10.40.30.2(1)若從總體中利用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)研.從這10名參賽學(xué)生中依次抽取3名進(jìn)行調(diào)查分析，求在第一次抽出1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的條件下，后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)在的概率；(2)視樣本的頻率為概率，在該市所有參賽學(xué)生中任取3人，記取出的3人中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解題指導(dǎo)】（1）分別計(jì)算出第一次抽出1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的概率和后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間內(nèi)的概率，然后，利用條件概率公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，符合二項(xiàng)分布的特征，然后，列出相應(yīng)的分布列，利用相關(guān)的概率和期望公式，計(jì)算即可求解.條件概率的內(nèi)含(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關(guān)系．(2)P(A1)稱為先驗(yàn)概率，P(A1|B)稱為后驗(yàn)概率，其反映了事情A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重．1．【與生活實(shí)踐融合】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）某批規(guī)格相同的產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)工廠共同生產(chǎn)，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為2%，乙廠和丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率均為4%，三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品混放在一起，已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的40%，40%，20%.(1)任選一件產(chǎn)品，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的產(chǎn)品是次品，分別計(jì)算此次品出自甲廠、乙廠和丙廠的概率.2．【與頻率分布直方圖融合】（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測）為了保障學(xué)生們的合法權(quán)益，并保證高考的公平性，重慶市施行的新高考方案中再選科目的高考成績采用賦分制.賦分制在一定程度上縮小了試題難度不同帶來的分?jǐn)?shù)差，也在一定程度上減少了學(xué)科難度不一造成的分?jǐn)?shù)差.2022年高考成績公布后，重慶市某中學(xué)收集了部分學(xué)生的高考成績，其中地理成績均在（單位：分），將收集到的地理成績按分組，得到頻率分布直方圖如下.(1)求，并估計(jì)該校2022年高考地理科的平均成績；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)已知該校2022年所有參加高考的學(xué)生中歷史類考生占20%，物理類考生占80%，歷史類考生中選考地理的占90%，物理類考生中選考地理的占5%，歷史類考生中高考地理成績不低于90分的占8%，若從該校2022年高考地理成績不低于90分的學(xué)生中任選1名代表進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流，求選到歷史類考生的概率（以樣本中各區(qū)間的頻率作為相應(yīng)事件的概率）.3．【與黨的建設(shè)融合】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開，增進(jìn)全體教職工對黨史知識(shí)的了解，組織開展黨史知識(shí)競賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率.4．【與統(tǒng)計(jì)圖表融合】（2021·廣東深圳·統(tǒng)考一模）某校將進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測試，規(guī)則為：每人至多投次，先在處投一次三分球，投進(jìn)得分，未投進(jìn)不得分，以后均在處投兩分球，每投進(jìn)一次得分，未投進(jìn)不得分.測試者累計(jì)得分高于分即通過測試，并終止投籃.甲、乙兩位同學(xué)為了通過測試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每人每輪在處和處各投次，根據(jù)他們每輪兩分球和三分球的命中次數(shù)情況分別得到如圖表：若以每人五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測試時(shí)每次投籃命中的概率.（1）求甲同學(xué)通過測試的概率；（2）在甲、乙兩位同學(xué)均通過測試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.5．【決策問題】（2020·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┕锌倓?wù)處的老師要購買學(xué)校教學(xué)用的粉筆，并且有非常明確的判斷一盒粉筆是“優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”和“非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”的方法.某品牌的粉筆整箱出售，每箱共有20盒，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，其中會(huì)有某些盒的粉筆為非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，其余的都為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品.并且每箱含有0，1，2盒非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品粉筆的概率為0.7，0.2和0.1.為了購買該品牌的粉筆，?？倓?wù)主任設(shè)計(jì)了一種購買的方案：欲買一箱粉筆,隨機(jī)查看該箱的4盒粉筆，如果沒有非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則購買，否則不購買.設(shè)“買下所查看的一箱粉筆”為事件，“箱中有件非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”為事件.（1）求，，；（2）隨機(jī)查看該品牌粉筆某一箱中的四盒，設(shè)為非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的盒數(shù)，求的分布列及期望；（3）若購買100箱該品牌粉筆，如果按照主任所設(shè)計(jì)方案購買的粉筆中，箱中每盒粉筆都是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的箱數(shù)的期望比隨機(jī)購買的箱中每盒粉筆都是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的箱數(shù)的期望大10，則所設(shè)計(jì)的方案有效.討論該方案是否有效.6．【決策問題】（2023·河南·校聯(lián)考二模）2020年席卷全球的新冠肺炎給世界人民帶來了巨大的災(zāi)難，面對新冠肺炎，早發(fā)現(xiàn)、早診斷、早隔離、早治療是有效防控疾病蔓延的重要舉措之一.某社區(qū)對位居民是否患有新冠肺炎疾病進(jìn)行篩查，先到社區(qū)醫(yī)務(wù)室進(jìn)行口拭子核酸檢測，檢測結(jié)果成陽性者，再到醫(yī)院做進(jìn)一步檢查，已知隨機(jī)一人其口拭子核酸檢測結(jié)果成陽性的概率為%，且每個(gè)人的口拭子核酸是否呈陽性相互獨(dú)立.（1）假設(shè)該疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈陽性的概率為%，設(shè)這位居民中有一位的口拭子核酸檢測呈陽性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，口拭子核酸檢測采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將位居民分成若干組，先取每組居民的口拭子核酸混在一起進(jìn)行檢測，若結(jié)果顯示陰性，則可斷定本組居民沒有患病，不必再檢測；若結(jié)果顯示陽性，則說明本組中至少有一位居民患病，需再逐個(gè)進(jìn)行檢測，現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：方案一：將位居民分成組，每組人；方案二：將位居民分成組，每組人；試分析哪一個(gè)方案的工作量更少？（參考數(shù)據(jù)：，）7．【與回歸方程融合】（2022·江西新余·新余四中校聯(lián)考二模）某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款，舉行“一元錢，一片心，誠信用水”活動(dòng)，學(xué)生在購水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)天的售出和收益情況，如下表：售出水量（單位：箱）收益（單位：元）（1）若每天售出箱水，求預(yù)計(jì)收益是多少元？（2）期中考試以后，學(xué)校決定將誠信用水的收益，以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級前名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金元；考入年級前名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金元；考入年級名以后的特困生不獲得獎(jiǎng)學(xué)金．甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為.①在學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金的條件下，求他獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率；②已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等第的獎(jiǎng)學(xué)金是相互獨(dú)立的，求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望附：8．【決策問題】（2022·廣東佛山·統(tǒng)考一模）單位計(jì)劃組織55名職工進(jìn)行一種疾病的篩查,先到本單位醫(yī)務(wù)室進(jìn)行血檢,血檢呈陽性者再到醫(yī)院進(jìn)一步檢測．已知隨機(jī)一人血檢呈陽性的概率為1%,且每個(gè)人血檢是否呈陽性相互獨(dú)立.(Ⅰ)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),采用分組檢測法可有效減少工作量,具體操作如下：將待檢人員隨機(jī)等分成若干組,先將每組的血樣混在一起化驗(yàn),若結(jié)果呈陰性,則可斷定本組血樣全部為陰性,不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽性,則本組中至少有一人呈陽性,再逐個(gè)化驗(yàn)．現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：方案一:將55人分成11組,每組5人；方案二：將55人分成5組,每組11人；試分析哪一個(gè)方案工作量更少？(Ⅱ)若該疾病的患病率為0.4%,且患該疾病者血檢呈陽性的概率為99%,該單位有一職工血檢呈陽性,求該職工確實(shí)患該疾病的概率.(參考數(shù)據(jù):)9．【與獨(dú)立事件融合】（2022·遼寧大連·統(tǒng)考二模）2022年2月4日至2月20日，北京冬奧會(huì)在我國盛大舉行.在冬奧會(huì)如火如荼地進(jìn)行過程中，不少外國運(yùn)動(dòng)員紛紛化身“干飯人”，在社交媒體上發(fā)布沉浸式“吃播”，直呼“好吃到舍不得回家”.其中麻辣燙?豆沙包?宮保雞丁?餃子……不少傳統(tǒng)中國美食也借此機(jī)會(huì)頻頻亮相.2月16日美聯(lián)社稱麻辣燙成為歐洲部分運(yùn)動(dòng)員眼中最好吃的冬奧會(huì)美食.荷蘭速滑運(yùn)動(dòng)員尤塔·里爾達(dá)姆（juttaleerdam）就對麻辣燙贊不絕口，在社交媒體上發(fā)布的視頻獲得20多萬點(diǎn)贊.西班牙冰舞選手奧利維亞·斯馬特（oliviasmart）和搭檔阿德里安·迪亞斯（adriandiaz）也告訴美聯(lián)社，他們每天都在食堂吃麻辣燙.針對于此，歐洲某中餐館決定在餐廳售賣麻辣燙.該中餐館通過中國美食協(xié)會(huì)共獲得兩種不同地方特色麻辣燙配方（分別稱為A配方和B配方），并按這兩種配方制作售賣.由于不熟悉當(dāng)?shù)鼐用袷欠衲艹岳?，故按照麻辣程度定義了每碗麻辣燙的麻辣值（麻辣值越大表明越麻辣），得到下面第一天的售賣結(jié)果：A配方的售賣頻數(shù)分布表麻辣值分組頻數(shù)1020421810B配方的售賣頻數(shù)分布表麻辣值分組頻數(shù)1822381210定義本餐廳麻辣燙的“麻辣度指數(shù)”如下表：麻辣值麻辣度指數(shù)345(1)試分別估計(jì)第一天A配方，B配方售賣的麻辣燙的麻辣值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），并比較大小.(2)用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，從當(dāng)?shù)赝瑫r(shí)吃過兩種配方麻辣燙的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其評價(jià)A配方的“麻辣度指數(shù)”比B配方的“麻辣度指數(shù)”高的概率.10．【與數(shù)列融合】（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時(shí)間（即發(fā)動(dòng)一次攻擊后需經(jīng)過一段時(shí)間才能再次發(fā)動(dòng)攻擊）.其擁有兩個(gè)技能，技能一是每次發(fā)動(dòng)攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動(dòng)，該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過冷卻時(shí)間持續(xù)發(fā)動(dòng)攻擊；技能二是每次發(fā)動(dòng)攻擊時(shí)有的概率使得本次攻擊以及接下來的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉?/p>