年上海市秋季高考理科數(shù)學(xué)一、填空題1．計(jì)算：【解答】根據(jù)極限運(yùn)算法則，．2．設(shè)，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則【解答】．3．若，則【解答】．4．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，若，則角C的大小是_______________（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【解答】，故．5．設(shè)常數(shù)，若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則【解答】，故．6．方程的實(shí)數(shù)解為________【解答】原方程整理后變?yōu)椋?．在極坐標(biāo)系中，曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為__________【解答】聯(lián)立方程組得，又，故所求為．8．盒子中裝有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是___________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）【解答】9個(gè)數(shù)5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為．9．設(shè)AB是橢圓的長軸，點(diǎn)C在上，且，若AB=4，，則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為________【解答】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是可算得，得．10．設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，則方差【解答】，．11．若，則【解答】，，故．12．設(shè)為實(shí)常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)一切成立，則的取值范圍為________【解答】，故；當(dāng)時(shí)，即，又，故．13．在平面上，將兩個(gè)半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤怼⒁粋€(gè)平放的圓柱和一個(gè)長方體，得出的體積值為__________【解答】根據(jù)提示，一個(gè)半徑為1，高為的圓柱平放，一個(gè)高為2，底面面積的長方體，這兩個(gè)幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個(gè)平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為．14．對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)有反函數(shù)，且，若方程有解，則【解答】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，而化簡得，。。。。。②由①②得，但此時(shí)，因?yàn)?，即①式不成立；?dāng)時(shí)，①式也不成立綜上，直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”．23．（3

分+6分+9分）給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對(duì)任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.【解答】：（1）因?yàn)?，，故，?）要證明原命題，只需證明對(duì)任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；若，則顯然成立綜上，恒成立，即對(duì)任意的，（3）由（2）知，若為等差數(shù)列，則公差，故n無限增大時(shí)，總有此時(shí)，即故，即，當(dāng)時(shí)，等式成立，且時(shí)，，此時(shí)為等差數(shù)列，滿足題意；若，則，此時(shí)，也滿足題意；綜上，滿足題意的的取值范圍是．22．（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題．第1小題滿分6分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分．如圖，已知雙曲線：，曲線：．是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)的直線與、都有公共點(diǎn)，則稱為“型點(diǎn)”．（1）在正確證明的左焦點(diǎn)是“型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；（2）設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“型點(diǎn)；（3）求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”．22．解：（1）C1的左焦點(diǎn)為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”，且直線可以為；（2）直線與C2有交點(diǎn)，則，若方程組有解，則必須；直線與C2有交點(diǎn)，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”。（3）顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn)，則斜率必存在；根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)，則直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn)，故化簡得，。。。。。。。。。。。。①若直線與曲線C1有交點(diǎn)，則化簡得，。。。。。②由①②得，但此時(shí)，因?yàn)?，即①式不成立；?dāng)時(shí)，①式也不成立綜上，直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”。23．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題．第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分．給定常數(shù)，定義函數(shù)．?dāng)?shù)列，，，…滿足．（1）若，求及；（2）求證：對(duì)任意，；（3）是否存在，使得，，，…，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由．23．解：（1）因?yàn)?，，故，?）要證明原命題，只需證明對(duì)任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；若，則顯然成立綜上，恒成立，