非凸優(yōu)化算法基于牛頓法的迭代公式，設計計算()的迭代公式并編程實現。初始點需滿足什么條件以保證迭代點列收斂？建議選擇初始點的鄰近值作為初始點，以便更快地達到收斂。在本例中，初始點需選擇3a2．編程實現共軛梯度法，求解線性方程組 (5.11.1)略。3.已知，基于Lagrange乘子法求的最小值。首先，我們需要構建拉格朗日函數。考慮到約束條件a2+b2=1，我們引入拉格朗日乘子λ，定義拉格朗日函數：L(a,b,λ)=(a+1)(b+2)+λ(a2+b2-1)然后，我們求解該最小值問題的駐點，即求解以下方程組：?L/?a=0,?L/?b=0,a2+b2-1=0對拉格朗日函數求偏導數并令其為零：?L/?a=b+2+2aλ=0...(1)?L/?b=a+1+2bλ=0...(2)a2+b2-1=0...(3)從方程(1)和(2)中可以解得：λ=-(a+1)/(2b)將λ代入方程(3)中，可以得到：(a+1)2/(4b2)+b2-1=0化簡上述方程，得到：5a2+12a+8=0解這個二次方程，可以得到a的兩個解：a?=-1，a?=-4/5當a=-1時，由方程(1)可以解得b=-3/2當a=-4/5時，由方程(1)可以解得b=-3/10所以，駐點為(-1,-3/2)和(-4/5,-3/10)。接下來，我們需要判斷這些駐點是極小值還是極大值還是鞍點。我們可以通過二階偏導數的符號來判斷。計算L(a,b,λ)對a的二階偏導數：?2L/?a2=2λ計算L(a,b,λ)對b的二階偏導數：?2L/?b2=2λ計算L(a,b,λ)對a和b的混合二階偏導數：?2L/?a?b=2a由于?2L/?a2=2λ，?2L/?b2=2λ，?2L/?a?b=2a，均滿足二階偏導數存在且不為零。當λ<0時，(a+1)(b+2)取得最小值；當λ>0時，(a+1)(b+2)取得最大值；當λ=0時，無法判斷最小值或最大值。因此，我們需要求出λ的值。將駐點代入方程(1)或(2)，可以得到：λ=-(a+1)/(2b)對于駐點(-1,-3/2)，代入得到λ=1/3>0；對于駐點(-4/5,-3/10)，代入得到λ=2/5>0。由上述結果可知，(a+1)(b+2)的最小值為：(-1+1)(-3/2+2)=0因此，(a+1)(b+2)的最小值為0。證明優(yōu)化問題(5.9.9)的最優(yōu)解集是。略。5．證明BFGS更新的迭代公式為 (5.11.2)略。6．有限存貯BFGS法[2]對于大規(guī)模問題，擬牛頓法的一個主要缺點是需要很大的存儲量。這激發(fā)了僅使用有限數量的向量和(例如，與當前迭代最近的次迭代)來構造擬牛頓方向的方法。這個練習展示了主要的算法設計思路。(a)BFGS迭代公式可以寫成 (5.11.3)其中 (5.11.4)(b)可使用和向量計算方向。略。7．編程實現CCCP算法，求解例5.9.1中的基于指數平方損失的回歸問題。importnumpyasnp#定義指數平方損失函數defloss_function(y_true,y_pred):returnnp.exp(np.square(y_true-y_pred))#計算梯度defgradient(X,y,w):return2*np.dot(X.T,(np.exp(np.dot(X,w))-y)*np.exp(np.dot(X,w)))#CCCP算法defcccp_regression(X,y,iterations=100,learning_rate=0.01):#初始化權重w=np.random.randn(X.shape[1],1)foriinrange(iterations):#優(yōu)化凸函數部分convex_grad=gradient(X,y,w)w-=learning_rate*convex_grad#優(yōu)化凹函數部分y_pred=np.exp(np.dot(X,w))loss_grad=gradient(X,y_pred,w)w+=learning_rate*loss_gradreturnw#示例數據X=np.array([[1,2],[2,3],[