考點24數(shù)列求和及綜合應用一、選擇題1.(2019·浙江高考·T10)設a,b∈R,數(shù)列{an}中a1=a,an+1=an2+b,n∈N*,則 (A.當b=12時,a10>10 B.當b=14時,aC.當b=-2時,a10>10 D.當b=-4時,a10>10【解析】選A.由an+1=an2+ban+1-an=an2+b-an=(an-12)2+(b當b=12時an+1-an=(an-12)2+14數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,a2=a12+12a3=a22+12≥(12)2+a4=a32+12≥(34)2+1a5=a42+12>12+1a6=a52+12>(32)2+a7=a62+12>(114)2+1a8=a72+12>82+所以:a10>a9>a8>10.二、解答題2.(2019·全國卷Ⅰ文科·T18)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通項公式.(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍.【命題意圖】該題考查的是有關數(shù)列的問題,涉及的知識點有等差數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列的求和公式,在解題的過程中,需要認真分析題意,熟練掌握基礎知識是正確解題的關鍵.【解題指南】(1)首先設出等差數(shù)列的公差,根據(jù)題的條件,建立關于a1和d的方程組,求得a1和d的值,利用等差數(shù)列的通項公式求得結(jié)果.(2)根據(jù)題意有a5=0,根據(jù)a1>0,可知d<0,根據(jù)Sn≥an,得到關于n的不等式,從而求得結(jié)果.【解析】(1)設{an}的公差為d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通項公式為an=10-2n.(2)由S9=-a5得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(由a1>0知d<0,故Sn≥an等價于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}.3.(2019·天津高考理科·T19)設{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{an}和{bn}的通項公式.(2)設數(shù)列{cn}滿足c1=1,cn=1,2k<n<①求數(shù)列{a2n(c2n②求∑i=12naici(n∈【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解能力.【解析】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意得6q=6+2故an=4+(n-1)×3=3n+1,bn=6×2n-1=3×2n.所以{an}的通項公式為an=3n+1,{bn}的通項公式為bn=3×2n.(2)①a2n(c2n-1)=a2n(bn-1)=(3×2n+1)(3×2n所以數(shù)列{a2n(c2n-1)}的通項公式為a2n(c②∑i=12naici=∑i=12n[ai=∑i=12nai+∑=2n×4+2n(2n=(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1=27×22n-1+5×2n-1-n-12n∈4.(2019·天津高考文科·T18)設{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求{an}和{bn}的通項公式.(2)設數(shù)列{cn}滿足cn=1,n為奇數(shù),bn2,n為偶數(shù),求a1c1+a2c2+…+a2nc【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式等基礎知識.考查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力.【解題指南】(1)首先設出等差數(shù)列的公差,等比數(shù)列的公比,根據(jù)題意,列出方程組,求出公差和公比,進而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式.(2)根據(jù)題中所給的cn所滿足的條件,將a1c1+a2c2+…+a2nc2n表示出來,之后應用分組求和法,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式,以及錯位相減法求和,最后求得結(jié)果.【解析】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,依題意,得3q=3+2故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n,所以{an}的通項公式為an=3n,{bn}的通項公式為bn=3n.(2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn)=n×3+n(n-1)2×6+(6×31+12×32=3n2+6×(1×31+2×32+…+n×3n),記Tn=1×31+2×32+…+n×3n①則3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1②②-①得2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=-3(1-3n)1-所以a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3×(=(2n-1)3n5.(2019·浙江高考·T20)(本小題滿分15分)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=4,a4=S3,數(shù)列{bn}滿足:對每個n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式.(2)記cn=an2bn,n∈N*,證明:c1+c2+…+cn<2n,n【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)學歸納法等基礎知識,同時考查運算求解能力和綜合應用能力.【解析】(1)設數(shù)列{an}的公差為d,由題意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得a1=0,d=2.從而an=2n-2,n∈N*.由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).解得bn=1d(Sn+12-SnS所以bn=n2+n,n∈N*.(2)cn=an2bn=2n-22我們用數(shù)學歸納法證明.①當n=1時,c1=0<2,不等式成立;②假設n=kk∈N*時不等式成立,即c1+c2+…+ck那么,當n=k+1時,c1+c2+…+ck+ck+1<2k+k<2k+1k+1<2k=2k+2(k+1-k)=2k即當n=k+1時不等式也成立.根據(jù)①和②,不等式c1+c2+…+cn<2n對任意n∈N*成立.6.(2019·江蘇高考·T20)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”.(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足:b1=1,1Sn=2bn-2bn+1,其中Sn為數(shù)列{①求數(shù)列{bn}的通項公式.②設m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn}(n∈N*),對任意正整數(shù)k,當k≤m時,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.【命題意圖】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎知識,考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學知識探究與解決問題的能力.【解題指南】(1)由題意分別求得數(shù)列的首項和公比即可證得題中的結(jié)論.(2)①由題意利用遞推關系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,據(jù)此即可確定其通項公式;②由①確定bk的值,將原問題進行等價轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值.【解析】(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q,所以a1≠0,q≠0.由a2a4=因此數(shù)列{an}為“M—數(shù)列”.(2)①因為1Sn=2bn-2bn+1由b1=1,S1=b1,得11=21-2b2,則由1Sn=2bn-2bn+1當n≥2時,由bn=Sn-Sn-1,得bn=bnbn整理得bn+1+bn-1=2bn.所以數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列.因此,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n(n∈N*).②由①知,bk=k,k∈N*.因為數(shù)列{cn}為“M-數(shù)列”,設公比為q,所以c1=1,q>0.因為ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.當k=1時,有q≥1;當k=2,3,…,m時,有l(wèi)nkk≤lnq≤設f(x)=lnxx(x>1),則f'(x)=令f'(x)=0,得x=e.列表如下:x(1,e)e(e,+∞)f'(x)+0-f(x)↗極