第一章1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示點擊此處進(jìn)入圖書配套內(nèi)容內(nèi)容概覽教材認(rèn)知掌握必備知識點擊進(jìn)入合作探究形成關(guān)鍵能力點擊進(jìn)入【素養(yǎng)導(dǎo)引】1.會利用空間向量的坐標(biāo)運算解決簡單的運算問題.(數(shù)學(xué)運算)2.掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示,會判斷兩個向量是否共線或垂直.(邏輯推理)3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間的距離公式,并能運用這些公式解決簡單幾何體中的問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)教材認(rèn)知掌握必備知識一、空間向量運算的坐標(biāo)表示設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空間向量的坐標(biāo)運算法則如下表所示:運算坐標(biāo)表示加法a+b=_________________減法a-b=_______________數(shù)乘λa=________________數(shù)量積a·b=_____________(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(λa1,λa2,λa3),λ∈Ra1b1+a2b2+a3b3[診斷](教材改編題)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,2,2),則3a+2b等于 (

)

A.(1,4,12) B.(8,-7,5)C.(-8,7,-5) D.(4,1,13)【解析】選D.3a=(6,-3,9),2b=(-2,4,4),所以3a+2b=(4,1,13).二、空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則平行垂直a⊥b?a·b=0?________________(a,b均為非零向量)模a1b1+a2b2+a3b3=0

夾角

(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

學(xué)習(xí)任務(wù)一

空間向量的坐標(biāo)運算(數(shù)學(xué)運算)1.若a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),則a·(b+c)的值為 (

)A.(4,6,-5) B.5C.7 D.36【解析】選B.b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5),a·(b+c)=2×2+3×2+(-1)×5=5.合作探究形成關(guān)鍵能力【思維提升】空間向量坐標(biāo)運算的步驟(1)將空間向量用坐標(biāo)表示出來;(2)運用空間向量坐標(biāo)運算公式計算.

【思維提升】利用平行與垂直求參數(shù)問題的注意事項(1)適當(dāng)引入?yún)?shù),建立關(guān)于參數(shù)的方程;(2)最好選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡化運算的目的.

【一題多變】(1)本例條件不變,求異面直線BE與SC所成角的余弦值.(2)本例條件不變,若OG⊥SC,垂足為G,求證:OG⊥BE.【思維提升】利用空間向量的坐標(biāo)運算求夾角與距離的一般步驟(1)建系:根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)求坐標(biāo):①求出相關(guān)點的坐標(biāo);②寫出向量的坐標(biāo);(3)論證、計算:結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算;(4)轉(zhuǎn)化:轉(zhuǎn)化為夾角與距離問題.

3.如圖,以棱長為1的正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,點P在線段AB上,點Q在線段DC上.(1)當(dāng)PB=2AP,且點P關(guān)于