永磁同步直線電機推力波動建模與前饋補償器設(shè)計

為了實現(xiàn)高速、高速汽車、高精度運動和大型汽機的發(fā)展趨勢，通常采用帶有鐵芯永和同步線性電機的驅(qū)動元件。直線電機鐵芯在提高推力密度的同時,也加大推力波動等一些非線性擾動的影響。對于氣浮導(dǎo)軌支承、直線電機驅(qū)動的平臺,由于阻尼非常小,這些擾動無緩沖地作用在直線電機上,因此嚴(yán)重影響了超精密工作臺的動態(tài)特性。推力紋波、齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)是引起有鐵芯永磁同步直線電機推力波動的最主要原因,目前已有很多控制方法用于推力波動的抑制。文采用在線和離線補償?shù)姆绞?使得電機的速度穩(wěn)定性大為提高;文采用推力波動與位置關(guān)系建模,設(shè)計相應(yīng)的前饋控制器抑制擾動以降低系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差。文采用迭代學(xué)習(xí)的方式提高了系統(tǒng)的軌跡跟蹤性能。本文在分析推力波動特性的基礎(chǔ)上,對推力波動進行了關(guān)于速度與位置的建模,通過前饋的方式對推力波動進行補償。1直線電機推力波動的抑制直線電機推力波動的大小、波動頻率與直線電機的機械結(jié)構(gòu)和電機運動速度、位置密切相關(guān)。對于結(jié)構(gòu)已經(jīng)固定的工作臺而言,推力波動的大小主要取決于電機的運動速度和位置,且與速度和位置有著較復(fù)雜的非線性關(guān)系。直線電機在運動過程中,由于速度與位置不斷變化,導(dǎo)致了推力波動也不斷變化,這加大了推力波動抑制的難度,不利于工作臺的精度補償。由于工作臺運動軌跡是已知的,因而可以預(yù)先計算出電機在各個時間的位置與速度。如果直線電機在整個行程上推力波動的模型已知,那么利用已有的軌跡就能計算出直線電機在運動過程中受到的推力紋波。將推力紋波反向后作為前饋補償器,就能抑制推力波動在電機運動過程中造成的擾動。在實際的系統(tǒng)中,由于直線電機3相繞組不對稱,永磁體充磁不均勻以及永磁體磁場的不均勻等非線性不確定因素的存在,往往很難通過理論的方式精確地建立推力波動模型。本文的研究重點就是通過實驗建立推力波動的模型,從而設(shè)計相應(yīng)的前饋補償器降低推力紋波對系統(tǒng)的影響。2對線性電機的推力波動分析2.1p的定位條件及加速度前饋直線電機的傳統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)的框圖見圖1。圖1中C為反饋控制器,P為系統(tǒng)模型,ff為加速度前饋控制器,Fr為直線電機所受到的推力波動紋波力,r為系統(tǒng)輸入,y為系統(tǒng)輸出,e為系統(tǒng)跟蹤誤差。在閉環(huán)反饋控制器C的作用下,系統(tǒng)構(gòu)成閉環(huán)控制系統(tǒng),能夠?qū)Σ环€(wěn)定的P進行鎮(zhèn)定,達到閉環(huán)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定。從圖1中可以看到,在直線電機負(fù)載不變的情況下,誤差e的表達式為e=11+CΡr-Ρ1+CΡrff-Ρ1+CΡFr.(1)為了消除由輸入r帶來的誤差影響,則需要使式(1)中前兩項之差為0,即ff=1Ρ=ms2?(2)其中:m為平臺質(zhì)量,s為Laplace算子。利用加速度前饋ff消除了由輸入r帶來的誤差,從而由Fr到系統(tǒng)誤差e之間的傳遞函數(shù)為Η=-eFr=Ρ1+CΡ.(3)進而可以獲得Fr=-Η-1e=-(Ρ1+CΡ)-1e.(4)從式(4)可以看到,利用系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差,可以反求得推力波動的波形,即可得到推力波動對于位置與速度的數(shù)學(xué)表達式,Fr=f(x,˙x).(5)在計算過程中,首先需要知道傳遞函數(shù)H的逆。本論文中采用脈沖傳遞矩陣的方法獲得傳遞函數(shù)H的逆。2.2基于約束的約束擾動的激發(fā)律設(shè)計考慮有限時間輸入離散線性定常系統(tǒng){x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)?y(t)=Cx(t).(6)則在初始狀態(tài)為x(0)時,系統(tǒng)在u(t)的作用下的解析解可以表達為y(t)=CAtx(0)+t-1∑i=0CAt-1-iBu(i)?t=1,2,?,n.(7)定義:u=[u(1),u(2),…,u(n)]T,(8)y=[y(1),y(2),…,y(n)]T,(9)y0=[(CA)T,(CA2)T,…,(CAn)T]Tx(0),(10)G=[CBCABCBΟCA2BCABCB????CAt-1BCAt-2B?CABCB]?(11)則式(7)又能表示為y=y0+Gu.(12)令hi=CAi-1B(i=1,2,…,n),則矩陣G可以寫為G=[h10?0h2h1?????0hn?h2h1].(13)矩陣(13)稱為Toeplitz矩陣,參數(shù)hi(i=1,2,…,n)稱為Markov參數(shù)。hi可以通過在閉環(huán)狀態(tài)下對系統(tǒng)加入沖擊激勵來獲得。對矩陣G求逆可得到由誤差到波動力模型傳遞函數(shù)H-1(參見文)。根據(jù)式(4)可得到推力波動的擾動波形Fr。若用諧波分量的形式去描述Fr,同時分析各諧波分量與速度之間的關(guān)系,就可得到如下推力波動模型:Fr=∑iΖi(vmm?s-1)sin(ωix+φi)?(14)ωi=2πi1τ?(15)其中:Zi(v)為各諧波分量的幅值隨速度的函數(shù),v為電機速度,ωi為各諧波分量的頻率值,φi為各諧波分量的相位,x為電機的實際位置,τ為電機的定子極距。利用式(14)就能設(shè)計推力波動的前饋補償器,fr=∑Ζi(vmm?s-1)sin(ωix+φi).(16)2.3速度對推力波動的影響設(shè)計超精密工作臺的控制結(jié)構(gòu)見圖2。在閉環(huán)系統(tǒng)的推力上引入脈沖激勵,并采集脈沖響應(yīng),圖3是對系統(tǒng)施加脈沖激勵后獲得的響應(yīng)曲線。從圖3中可以看到,從脈沖激勵開始到100ms(200個采樣點)后,系統(tǒng)已漸趨穩(wěn)定狀態(tài),因此,本文截取前200個采樣時刻的系統(tǒng)輸出,作為脈沖響應(yīng)序列,即h=[h1,h2,h3,?,h200].(17)根據(jù)式(13),可求得誤差到波動力模型傳遞函數(shù)H-1。為考察推力波動與速度間的關(guān)系,在多個勻速段情況下進行了實驗。在這些速度狀態(tài)下分別進行軌跡跟蹤,可得到勻速段的跟蹤誤差e,根據(jù)式(4)可得到各個速度情況下的推力波動波形。以10mm/s的速度為例,對其進行頻譜分析,結(jié)果如圖4。圖4中可以看到,頻譜中有A、B、C、D4個較高的峰值位置,其頻率和幅值分別如表1。表1中基頻=0.625Ηz=v/τ=10mm/s16mm。后3個頻率分量分別為基頻的2倍、3倍和6倍。4倍頻與5倍頻分量對模型的計算結(jié)果影響都很小,所以將它們忽略。在其他的速度情況下,有同樣的現(xiàn)象,因此,根據(jù)式(14)—(15)將推力波動描述為Fr=∑Ζi(vmm?s-1)sin(i2πxτ+φi),i=1,2,3,6.(18)將各個速度下獲得的實驗數(shù)據(jù)綜合起來,結(jié)果見圖5。可見,4個頻率分量的幅值都隨著速度的增加而減小。對圖5中的曲線進行線性擬合可得:Ζ1(vmm?s-1)=-7.25×10-6(vmm?s-1)4+0.0031(vmm?s-1)3-0.39(vmm?s-1)2+8.68(vmm?s-1)+1258.5,Ζ2(vmm?s-1)=2.99×10-6(vmm?s-1)4-0.00151(vmm?s-1)3+0.266(vmm?s-1)2-20.1(vmm?s-1)+736.2,Ζ3(vmm?s-1)=6.71×10-7(vmm?s-1)4-0.00034(vmm?s-1)3+0.062(vmm?s-1)2-4.73(vmm?s-1)+188.5,Ζ6(vmm?s-1)=3.35×10-6(vmm?s-1)4-0.00159(vmm?s-1)3+0.26(vmm?s-1)2-18.62(vmm?s-1)+638.5.(19)利用非線性擬合的方式可以獲得4個頻率處的相位分別為:φ1=2.85,φ2=-0.91,φ3=-1.45,φ6=-2.65.(20)3運動能力測試本文的實驗臺如圖6所示,實驗臺的運動部分為氣浮導(dǎo)軌支撐的有鐵芯直線電機,電機采用KOLLMORGEN公司的永磁同步直線電機及配套的驅(qū)動器,其連續(xù)推力151N,峰值推力375N,動子質(zhì)量4.23kg,極距16mm;其位移由MicroE公司的分辨率為0.1μm光柵尺測得,主控計算機伺服周期為0.5ms。利用3.3節(jié)的計算結(jié)果,根據(jù)式(16)設(shè)計前饋控制器fr,在多個不同運動速度(包括加減速段),進行推力波動補償抑制。以10mm/s的速度為例,實驗結(jié)果見圖7。以移動平均數(shù)(meaningaverage,MA)、移動標(biāo)準(zhǔn)差(movingstandarddeviation,MSD)為指標(biāo)考量補償前后的軌跡跟蹤性能。ΜA=1ΝΝ∑1ei,ΜSD=√1ΝΝ∑1(ΜA-ei)2.(21)根據(jù)圖7,補償前后MSD分別為2.94μm和1.32μm,補償后的MSD為補償前的44.9%。圖8為不同速度下補償前后的MSD比值曲線。從圖8中可以看到在不同速度下補償后軌跡跟蹤誤差的MSD值降低到補償前的40%左右。4基于速度與位置的非線性