傳染病傳播擴(kuò)散的微分方程模型

傳染病是人類健康面臨的重要因素之一，長期以來一直受到世界各國的關(guān)注。全球經(jīng)濟(jì)一體化促進(jìn)了人類頻繁交流和接觸、環(huán)境水環(huán)境惡化等因素，加劇了傳染病的傳播。幾乎所有受影響的疾病都消失了，并且有擴(kuò)大的趨勢。例如，2003年春天在中國和鄰國發(fā)生的大規(guī)模“非典型肺炎”（ss）嚴(yán)重危害了人類的健康。因此，研究傳染病的傳播過程、內(nèi)部規(guī)律以及控制措施是非常重要的。文建立了傳染病的動(dòng)力學(xué)模型,利用定性分析的方法討論了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.但如何根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)模型中的參數(shù),沒有討論.本文首先分析了傳染病傳播的特點(diǎn),提出合理的假設(shè),構(gòu)建了一個(gè)微分方程模型,并根據(jù)模型中參數(shù)的特點(diǎn),給出了參數(shù)的具體估計(jì)方法,從而得到了一個(gè)簡單實(shí)用的數(shù)學(xué)模型.并以2003年我國衛(wèi)生部公布的北京市SARS疫情數(shù)據(jù),對模型進(jìn)行了具體的驗(yàn)證,所得結(jié)果與實(shí)際情況基本一致.此模型的建立,為如何控制傳染病的傳播提供了理論依據(jù).2分析與建模2.1傳染病傳播特點(diǎn)在一般的傳染病傳播過程中人口總數(shù)可以近似看作常量(傳染病傳播時(shí)間比較短,例如3到5個(gè)月,在短時(shí)間內(nèi),人口總數(shù)變化很小);人群均勻分布,個(gè)體沒有差異;原發(fā)病人與他所傳染的病人人數(shù)相比數(shù)量非常小,因此可以假定病人是由于傳染而得病(例如SARS傳染病);病人的潛伏期相差不大,可以認(rèn)為潛伏期近似相同.另外,病人一旦發(fā)現(xiàn)有傳染病的特征即使是疑似(例如,SARS具有咳嗽、發(fā)熱等現(xiàn)象),立即隔離,使其不再傳染他人;根據(jù)傳染病的傳播特點(diǎn),我們將人群分為五類:易感人群(容易被傳染的人)、傳染人群(已經(jīng)具有傳染能力的人)、疑似人群(具有傳染病的癥狀的人)、治愈人群、死亡人群.他們之間數(shù)量變化關(guān)系如下:各類人群在單位時(shí)間內(nèi)的數(shù)量變化均具有線性性質(zhì).為了建立數(shù)學(xué)模型方便,引入一些符號:N:人口總數(shù);Y:易感人群的人口總數(shù)(通過N減“已確診病例累計(jì)”和“現(xiàn)有疑似病例”得到)I:現(xiàn)有已確診病例人數(shù)(同日期“已確診病例累計(jì)”減去“死亡累積”和“治愈出院累計(jì)”);H:現(xiàn)有疑似患病人數(shù);R:已治愈人數(shù);D:已死亡人數(shù);q:易感染人群向疑似病人的轉(zhuǎn)化率;p:易感染人群向患病人群的轉(zhuǎn)化率;r:疑似人群的排除率;s:疑似人群向確診人群的轉(zhuǎn)化率;d:患病人群的死亡率;v:患病人群的治愈率.2.2主要基本參數(shù)的確定根據(jù)各類人群的關(guān)系建立以下微分方程組:???????????????????????????dYdt=rH?(p+q)YdIdt=sH+pY?dI?vIdHdt=qY?rH?sHdDdt=dIdRdt=vIY+H+I+D+R=N(1){dYdt=rΗ-(p+q)YdΙdt=sΗ+pY-dΙ-vΙdΗdt=qY-rΗ-sΗdDdt=dΙdRdt=vΙY+Η+Ι+D+R=Ν(1)要解方程組,關(guān)鍵是確定出方程組中的參數(shù).2.3基于參數(shù)的散點(diǎn)圖估計(jì)傳染病的傳播帶有一定的隨機(jī)性,假設(shè)模型中的參數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量.根據(jù)在傳染病傳播過程中實(shí)際數(shù)據(jù),畫出散點(diǎn)圖.通過對實(shí)際情況和各個(gè)參數(shù)的散點(diǎn)圖的分析,根據(jù)其特點(diǎn),選擇隨機(jī)變量的分布函數(shù),對參數(shù)進(jìn)行估計(jì),最后確定這些參數(shù)的取值.例如SARS傳播過程中這些參數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,選擇威爾分布.再利用極大似然估計(jì)對參數(shù)進(jìn)行估計(jì),從而得到傳染病傳播數(shù)學(xué)模型的具體形式.3示例：ps傳染擴(kuò)散模型3.1實(shí)際數(shù)據(jù)的離散模式圖3-1是根據(jù)中華人民共和國衛(wèi)生部2003年公布的北京市疫情數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖,可以對各類實(shí)際數(shù)據(jù)的分布有個(gè)直觀的了解.3.2mems傳播的三階段在SARS暴發(fā)初期,由于沒有得到足夠的認(rèn)識(shí),這使得SARS在早期傳播很快.但隨著患病人數(shù)的增加已及SARS病情的嚴(yán)重性,人們對其危害的嚴(yán)重性有了一定認(rèn)識(shí).同時(shí),政府也加大了控制力度,人為因素對SARS傳播的影響占據(jù)了主導(dǎo)地位,使SARS傳播得到有效控制.從圖3-1“實(shí)際數(shù)據(jù)圖”中可以看出:現(xiàn)有患者人數(shù)(即當(dāng)日病人數(shù))在時(shí)間t=20至t=30之間達(dá)到高峰,所以把t=20作為一個(gè)分界點(diǎn).綜合考慮SARS傳染病在我國傳播擴(kuò)散的特點(diǎn),把SARS傳播過程分為以下四個(gè)階段:第1階段(上升階段):t=0至t=20此段時(shí)間病情基本沒有人為因素干預(yù),屬于快速上升階段.第2階段(意識(shí)階段):t=20至t=25此段時(shí)間人們逐漸意識(shí)到此病的危害性和嚴(yán)重性,開始自覺自發(fā)的防護(hù),政府也在制定應(yīng)對措施.第3階段(緩沖階段):t=25至t=30政府制定的措施已經(jīng)頒布,正在層層落實(shí)過程中,疫情有所控制和緩沖.第4階段(下落階段):t=30至t=65疫情在政府嚴(yán)格有效的控制和人們的自覺防范過程中,處于快速而略有起伏的衰退階段.3.3疫情情況下,2.2風(fēng)險(xiǎn)性人群p、c.p的下降和死亡率p的下降v:逐漸上升隨著人們對非典型肺炎(SARS)認(rèn)識(shí)理解程度的加深,治愈率應(yīng)該是上升的.p:逐漸下降隨政府采取措施的強(qiáng)度和人們警惕性的提高,非典患者大部分都會(huì)經(jīng)過疑似期的觀察與隔離,所以,易感人群向患病人群的轉(zhuǎn)化率p應(yīng)該是下降的.q:先升后降在疫情發(fā)展高峰期人們很容易因患其他病(如普通的感冒發(fā)燒)而被疑為非典,在控制期,人接觸到感染源的機(jī)會(huì)減少,自然從易感人群向疑似病人的轉(zhuǎn)化率也就下降了.r:基本不變在疫情高峰期由于政府和民間都高度重視,因患其他病而被疑為非典的人數(shù)及非典疑似患者數(shù)同比例上升,故疑似排除率基本不變.s:逐漸下降到后期,疫情得到控制,疑似人群向確診人群的轉(zhuǎn)化率是逐漸下降的.d:逐漸下降隨著人們對非典理解程度的加深,醫(yī)療水平的提高,死亡率下降.3.4大似然估計(jì)法結(jié)果分析根據(jù)以上分析,我們以疑似排除率r為例,r=排除疑似病例人數(shù)/現(xiàn)有疑似病例人數(shù),依此做出r的散點(diǎn)圖3-2.根據(jù)此散點(diǎn)圖的特點(diǎn),我們假定r近似服從威布爾分布.利用最大似然估計(jì)法對威布爾分布中參數(shù)進(jìn)行估計(jì),求得r的估計(jì)值為0.0413.為了分析參數(shù)取值的合理性,再假定r服從波松分布,利用最大似然估計(jì)法得r的估計(jì)值為0.0452.可見假定參數(shù)服從不同分布得出結(jié)果區(qū)別不大,而在實(shí)際情況中威布爾分布結(jié)果更合理,故取0.0413為r估計(jì)值.同理,可求出其它幾個(gè)參數(shù)的估計(jì)值,如表3-1所示.將這些參數(shù)代入方程組,用龍格-庫塔法求得從t=1到t=65“當(dāng)日病人數(shù)”的數(shù)值解,其所對應(yīng)圖如圖3-3所示.在同一張圖中再繪出實(shí)際的患病人數(shù)的散點(diǎn)圖,以形成對比.3.5d+v不符合實(shí)際情況觀察圖3-3,發(fā)現(xiàn)第四階段擬合曲線在尾部斜率的絕對值(斜率為負(fù))突然減小,使擬合曲線趨于平坦,從而偏離實(shí)際曲線.其原因分析如下:微分方程:dIdt=sH+pY?dI?vl——(1)dΙdt=sΗ+pY-dΙ-vl——(1)在第四階段I減小,而v明顯增加,此時(shí)再用一個(gè)小的常數(shù)代替d+v不符合實(shí)際情況.解決方法:在此階段把(d+v)看成時(shí)間的函數(shù),設(shè)G=(d+v)=f(t)=k*e(t-λ)/σ+c——(1),其中k,λ,σ,c為待定常數(shù),則方程(1)變?yōu)?dIdt=sH+pY?cI?k*e(t?λ)/σ*I(2)dΙdt=sΗ+pY-cΙ-k*e(t-λ)/σ*Ι(2)由于方程(1)在第四階段首部有較好擬合性,所以我們可以假設(shè)在t<λ=40時(shí)有(1)≈(2)即:-cI-k*e(t-λ)/σ*I=-dI-vI(d,v在第4階段分別取0.0023和0.028).于是我們可以令:c=d+v從而有k*e(t-λ)/σ*I≈0.取c=d+v=0.0023+0.028=0.0303,λ=40.當(dāng)t>40后,首先給出k,σ的一個(gè)初值(例如k=0.005,σ0=3),求出方程的數(shù)值解,再經(jīng)多次調(diào)整兩個(gè)參數(shù)來擬合曲線,最終得到k,σ的較優(yōu)值分別是k=0.01,σ=5.最后用這些參數(shù)得出較好擬合的圖形(圖3-4).3.6累計(jì)患者人數(shù)以五天為例,假設(shè)把各階段(第1階段除外)都提前五天,即提前五天采取嚴(yán)格的隔離措施遏制疫情傳播,那么每天的患者人數(shù)最多達(dá)到1600人左右,累計(jì)患者(累計(jì)患者數(shù)=患者人數(shù)+累計(jì)出院人數(shù)+累計(jì)死亡人數(shù))不會(huì)超過2000;相反,假設(shè)把各階段(第1階段除外)都推后五天,即推后五天采取嚴(yán)格的隔離措施,那么每天的患者人數(shù)可多達(dá)2300人左右,累計(jì)患者可達(dá)3000.由以上討論可知,立即果斷的采取控制措施對于遏制疫情有著至關(guān)重要的意義.從圖3-5可以清晰地看出提前或推后5天采取控制措施對患病人數(shù)的影響.4可擴(kuò)充性模型通過對模型的分析,發(fā)現(xiàn)p(易感染人群向患病人群的轉(zhuǎn)化率)對累計(jì)患者數(shù)的盡快減少有很大作用,所以應(yīng)該加強(qiáng)對p的控制.早期控制降低傳染率,對阻止SARS傳播具有極其重要的意義.傳染病模型不僅能用于傳染病研究本身,還能應(yīng)用到其他種類的社會(huì)和自然科學(xué)問題,如生物的群體分布,新技術(shù)的傳播,社會(huì)上謠言的傳播等等.同時(shí),其他研究領(lǐng)域使用的方法也能被傳染病學(xué)所利用.本模型適用性強(qiáng),它將傳播過程分成了4