2022-2023學年安徽省蕪湖市八年級（下）期中數(shù)學試卷（1）一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若式子x+2在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是(

)A.x>?2 B.x<?2 C.x≠?2 D.x≥?22.下列二次根式，不能與2合并的是(

)A.12 B.8 C.3.點O為矩形ABCD對角線AC與BD的交點，若AC=6，則OD的長為(

)A.1

B.2

C.3

D.64.下列式子中，為最簡二次根式的是(

)A.44 B.5 C.15.在直角三角形中，兩直角邊的長分別為6和12，則斜邊上中線的長為(

)A.33 B.35 C.6.在△ABC中，∠A，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列條件中，能判定△ABC是直角三角形的是(

)A.a2=(c?b)(c+b) B.a=1，b=2，c=3

C.∠A=∠C D.∠A：∠B：∠C=3：47.將一個有45°角的三角尺的直角頂點C放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點A在紙帶的另一邊沿上，測得三角尺的一邊AC與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角尺的最長邊的長為(

)A.6 B.3C.42 8.數(shù)學家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等(如圖所示)”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復原了《海島算經(jīng)》九題古證，則下列說法不一定成立的是(

)A.S△ABC=S△ADC B.S△AEF=9.如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，點D為BC的中點，E是AC上的一點，且AB+AE=EC.若DE=2，則AB的長是(

)A.23 B.C.33 10.如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG.下列結論：①CE⊥DF；②AG=DG；③∠CHG=∠DAG；④2HG=AD.正確的有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個二、填空題（本大題共4小題，共20分）11.“對頂角相等”這個命題的逆命題是______．12.如圖所示，在四邊形ABCD中，∠1=∠2，請?zhí)砑右粋€條件使四邊形ABCD是平行四邊形．可添加的條件是______.(只填一個即可)13.已知實數(shù)?1<a<3，化簡|a+1|+(a?214.劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家，他在《九章算術注》中指出：“勾、股冪合為弦冪，明矣.”也就是說，圖1中直角三角形的三邊a、b、c存在a2+b2=c2的關系.他在書中構造了一些基本圖形來解決問題.如圖2，分別將以a為邊長的正方形和b為邊長的正方形置于以c為邊長的大正方形的左下角和右上角，則圖中陰影部分面積等于

(用含字母a的代數(shù)式表示)；若(c?a)(c?b)=18，則a+b?c=三、解答題（本大題共8小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.(本小題10.0分)

如圖，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長．16.(本小題8.0分)

計算：

(1)218?2117.(本小題8.0分)

如圖，在菱形ABCD中，CE=CF，求證：AE=AF．18.(本小題8.0分)

已知x=5+2，求代數(shù)式x19.(本小題8.0分)

如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點．

(1)在圖1中以格點為頂點畫△ABC，使△ABC的三邊長分別為3、4、5；

(2)在圖2中以格點為頂點畫△DEF，使△DEF的三邊長分別為5、10、20.(本小題10.0分)

閱讀材料：

分析探索題：細心觀察如圖，認真分析各式，然后解答問題．

OA22=(2)2+4=8，S1=2；

QA32=(8)2+4=12，S2=282=8=2221.(本小題12.0分)

如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且∠OBC=∠OCB．

(1)求證：四邊形ABCD為矩形；

(2)過B作BE⊥AO于E，∠CBE=3∠ABE，BE=2，求AE的長．

22.(本小題12.0分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．

(1)求證：△AEH≌△CGF．

(2)若∠EFG=90°.求證：四邊形EFGH是正方形．23.(本小題14.0分)

綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關系，并加以證明；

【思考嘗試】

(1)同學們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補全圖形，解答老師提出的問題．

【實踐探究】

(2)希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點(點E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題．

【拓展遷移】

(3)突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點(點E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接DP.知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值．當AB=4時，請你求出△ADP周長的最小值．

答案和解析1.【答案】D

解：根據(jù)題意得：x+2≥0，解得x≥?2．

故選：D．

根據(jù)二次根式的定義可知被開方數(shù)必須為非負數(shù)，即可求解．

主要考查了二次根式的意義和性質．

概念：式子a(a≥0)叫二次根式．

2.【答案】C

解：A、12=22，能與2合并；

B、8=22，能與2合并；

C、12=23，不能與23.【答案】C

解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴OA=OB=OC=OD，AC=BD，

∵AC=6，

∴OD=3．

故選：C．

利用矩形的對角線相等可以解決問題．

本題主要考查了矩形的對角線相等，比較簡單．

4.【答案】B

解：A、44=4×11=211，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；

B、5是最簡二次根式，符合題意；

C、15=55，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；5.【答案】B

解：∵兩直角邊的長分別為6和12，

∴斜邊=122+62=65，

∴斜邊上的中線=16.【答案】A

解：A.∵a2=(c?b)(c+b)，

∴a2=c2?b2，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC是直角三角形，故本選項符合題意；

B.∵12+22=1+4=5，32=9，

∴12+22≠32，

∴△ABC不是直角三角形，故本選項不符合題意；

C.∵∠A=∠C，

∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本選項不符合題意；

D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，7.【答案】D

解：如圖作AH⊥CH．

在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，

∴AC=2AH=6，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=62+62=62．

故選D．8.【答案】D

解：∵四邊形ABCD是矩形，AC為對角線，

∴△ABC面積=△ADC面積．

所以A選項內容正確，不符合題意；

根據(jù)作圖過程可知四邊形AEFN是矩形，AF為其對角線，

所以△AEF面積=△ANF面積．

所以B選項內容正確，不符合題意；

因為△ABC面積=△ADC面積，△AEF面積=△ANF面積，△FMC面積=△FGC面積，

所以△ABC面積?△AEF面積?△FMC面積=△ADC面積?△ANF面積?△FGC面積，

所以矩形NFGD面積=矩形EFMB面積，C選項內容正確，不符合題意；

因為△ANF面積=12NF×AN，矩形NFGD面積=NF×ND，

若△ANF面積=矩形NFGD面積，則AN=2ND，

而已知不一定AN=2ND，所以D選項內容錯誤，D符合題意．

故選：D．

根據(jù)矩形的性質：一條對角線分成的兩個三角形面積相等，可知A和B選項內容正確，不符合題意；

根據(jù)△ABC面積=△ADC面積，△AEF面積=△ANF面積，△FMC面積=△FGC面積，陰影部分面積即可判斷C選項；

因為△ANF面積=12NF×AN，矩形NFGD面積=NF×ND，若△ANF面積=矩形NFGD面積，則AN=2ND，而已知不一定AN=2ND，所以D9.【答案】B

解：延長CA至F，使AF=AB，連接BF，

∵AB+AE=CE，

∴FE=CE，

∵D為BC的中點，

∴BD=CD，

∴DE是△BCF的中位線，

∴BF=2DE=4，

∵∠BAC=120°，

∴∠BAF=60°，

又∵AB=AF，

∴△ABF是等邊三角形，

∴AB=BF=4，

故選：B．

延長CA至F，使AF=AB，連接BF，證出DE是△BCF的中位線，得出BF=2DE=4，證明△ABF是等邊三角形，由等邊三角形的性質可得出答案．

本題主要考查等邊三角形的判定與性質，三角形外角的性質，三角形中位線，證明DE是△BDF的中位線是解題的關鍵．

10.【答案】C

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，

∵點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，

∴BE=CF，

在△BCE與△CDF中，

BE=CF∠B=∠DCFBC=CD，

∴△BCE≌△CDF(SAS)，

∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠CDF=90°，

∴∠CGD=90°，

∴CE⊥DF；故①正確；

在Rt△CGD中，H是CD邊的中點，

∴HG=12CD=12AD，

即2HG=AD；故④正確；

連接AH，如圖所示：

同理可得：AH⊥DF，

∵HG=HD=12CD，

∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD；

若AG=DG，則△ADG是等邊三角形，

則∠ADG=60°，∠CDF=30°，

而CF=12CD≠12DF，

∴∠CDF≠30°，

∴∠ADG≠60°，

∴AG≠DG，故②錯誤；

∴∠DAG=2∠DAH，

同理：△ADH≌△DCF，

∴∠DAH=∠CDF，

∵GH=DH，

∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

∴∠CHG=∠DAG；故③正確；

正確的結論有3個，

故選：C．

連接AH，由四邊形ABCD是正方形與點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，易證得△BCE≌△CDF與△ADH≌△DCF11.【答案】如果兩個角相等，那么它們是對頂角

解：“對頂角相等”的條件是：兩個角是對頂角，結論是：這兩個角相等，

所以逆命題是：如果兩個角相等，那么它們是對頂角．

故答案為：如果兩個角相等，那么它們是對頂角．

本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．把一個命題的題設和結論互換即可得到其逆命題據(jù)此解答即可．

12.【答案】AB=CD(答案不唯一)

解：添加AB=CD，

∵∠1=∠2，

∴AB//CD，

又∵AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

故答案為：AB=CD(答案不唯一)．

根據(jù)平行四邊形的判定定理進行解答．

此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

13.【答案】3

解：∵?1<a<3，

∴a+1>0，a?2<0，

∴原式=a+1+2?a=3，

故答案為：3．

根據(jù)絕對值的意義及二次根式的性質進行化簡．

本題考查絕對值及二次根式的化簡，理解絕對值的意義及二次根式的性質14.【答案】a2

6解：圖中陰影部分面積等于c2?b2=a2+b2?b2=a2，

如圖所示：

AB=c?b，AC=c?a，DE=a?(c?b)=a+b?c，

∵(c?a)(c?b)=c2?bc?ca+ab=18，

∴AB?AC=18，即S矩形ACDB=18，

∵S陰影=2S矩形ACDB+a2?(a+b?c)2=a2，

∴(a+b?c)2=36，15.【答案】解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，

∵折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處

∴AF=AD=10，DE=EF，

在Rt△ABF中，BF=AF2?AB2=102?82=6，

∴FC=BC?BF=4，

設EC=x，則DE=8?x，EF=8?x，

在Rt△EFC【解析】根據(jù)矩形的性質得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根據(jù)折疊的性質得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算出BF=6，則FC=4，設EC=x，則DE=EF=8?x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理得x2+4216.【答案】解：(1)原式=62?2+2

=62；

(2)【解析】(1)先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；

(2)先根據(jù)零指數(shù)冪的意義和完全平方公式計算，然后合并即可．

本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、零指數(shù)冪是解決問題的關鍵．

17.【答案】證明：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．

又∵CE=CF，

∴CD?CE=CB?CF，

即DE=BF．

在△ADE和△ABF中

AD=AB∠D=∠BDE=CF

∴△ADE≌△ABF(SAS)．

∴AE=AF【解析】由四邊形ABCD為菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D.又因為CE=CF，所以CD?CE=CB?CF，即DE=BF.可證△ADE≌△ABF，所以AE=AF．

此題主要考查了菱形的性質以及全等三角形的判斷和性質形，能夠靈活運用菱形知識解決有關問題是解題的關鍵．

18.【答案】解：x=5+2，

∴x2?4x=x(x?4)=(5+2)(5?2)，

【解析】首先對式子x2?4x進行因式分解，然后代入x的值可得到答案．

本題考查了因式分解的應用；解題中代入x19.【答案】解：(1)如圖1所示；

(2)如圖2所示．

【解析】(1)、(2)根據(jù)勾股定理畫出圖形即可．

本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．

20.【答案】2n

解：(1)∵S1=21，

S2=22，

S3=23，

……

∴Sn=2n，

故答案為：2n；

(2)OA22=(2)2+4=8=4×2，

QA32=(8)21.【答案】(1)證明：∵∠OBC=∠OCB，

∴OB=OC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，

∴AC=BD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是矩形；

(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵∠CBE=3∠ABE，

∴∠ABE=14×90°=22.5°，

在EB上取一點H，使得EH=AE，

∴△AEH是等腰直角三角形，∠AHE=45°，

∴∠HAB=45°?22.5°=22.5°=∠ABH，

∴AH=BH，

設AE=EH=x，則AH=BH=2x，

∵BE=2，【解析】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定，矩形的判定與性質，注意：對角線相等的平行四邊形是矩形，等角對等邊，學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題．

(1)根據(jù)等角對等邊得出OB=OC，根據(jù)平行四邊形性質求出OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，推出AC=BD，根據(jù)矩形的判定推出即可．

(2)根據(jù)矩形的性質和∠CBE=3∠ABE，得出∠ABE=22.5°，在EB上取一點H，使得EH=AE，易證AH=BH22.【答案】證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C．

在△AEH與△CGF中，

AE=CG∠A=∠CAH=CF，

∴△AEH≌△CGF(SAS)；

(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．

∵AE=CG，AH=CF，

∴EB=DG，HD=BF．

∴△BEF≌△DGH(SAS)，

∴EF=HG．

又∵△AEH≌△CGF，

∴EH=GF．

∴四邊形HEFG為平行四邊形．

∴EH//FG，

∴∠HEG=∠FGE．

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG=∠FEG，

∴∠FGE=∠FEG，

∴EF=GF，

又∵∠EFG=90°，

∴平行四邊形EFGH是正方形．

∴四邊形EFGH是菱形．【解析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結論；

(2)先證明四邊形EFGH是平行四邊形，再證明有一組鄰邊相等，然后結合∠EFG=90°，即可證得該平行四邊形是正方形．

本題考查了正方形的判定，判定一個四邊形是正方形的方法有：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．

也考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，難度適中．

23.【答案】解：(1)AE=EP，

理由如下：取AB的中點F，連接EF，

∵F、E分別為AB、