第一章行列式第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1

二階與三階行列式

二元線性方程組與二階行列式

用消元法解二元線性方程組(1)為消去未知數(shù)x2,以a22與a12分別乘上列兩方程的兩端，然后兩個方程相減，得類似的，消去x1,得當(dāng)時。求得方程組(1)的解為，(2)第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1

二階與三階行列式(2)式中的分子、分母都是四個數(shù)分別兩對相乘再相減而得，其中分母是由方程組(1)的四個系數(shù)確定的，把這四個數(shù)按它們在方程組(1)中的位置，排乘二行二列（橫排乘行，豎排稱列）的數(shù)表

a11

a12

a21

a22(3)表達式稱為數(shù)表(3)所確定的二階行列式，并記作(4)數(shù)aij(i=1,2;j=1,2)稱為行列式(4)的元素,元素aij的第一個下標i

稱為行標,表明該元素位于第i行，第二個下標j

稱為列標，表明該元素位于第j行.第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1

二階與三階行列式上述二階行列式的定義，可用對角線法則來記憶。參看圖1.1，把a11到a22的實聯(lián)線稱為主對角線，a12到a21的虛聯(lián)線稱為副對角線，于是二階行列式便是主對角線上的兩元素之積減去副對角線上的兩元素之積所得的差。第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1

二階與三階行列式利用二階行列式的概念，(2)式中的x1、x2的分子也可寫成二階行列式，即記那么(2)式可寫成注意這里的分母D是由方程組(1)的系數(shù)所確定的二階行列式(稱系數(shù)行列式)，x1的分子D1是用常數(shù)項b1、b2替換D中x1的系數(shù)a11、a21所得的二階行列式。x2的分子D2是用常數(shù)項b1、b2替換D中x2的系數(shù)a12、a22所得的二階行列式。

第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求解二元線性方程組解

由于

因此

第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1

二階與三階行列式三階行列式

定義設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表

(5)記

(6)(6)式稱為數(shù)表(5)所確定的三階行列式

第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1

二階與三階行列式上述定義表明三階行列式含6項，每項均為不同行不同列的三個元素的乘積再冠以正負號，其規(guī)律遵循圖1.2所示的對角線法則：圖中有三條實線看作是平行于主對角線的聯(lián)線，三條虛線看作是平行于負對角線的聯(lián)線，實線上三元素的乘積冠正號，虛線上三元素的乘積冠負號。第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計算三階行列式解

按對角線法則，有例3求解方程解

方程左端的三階行列式由解得x=2或x=3

第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1

二階與三階行列式

二階、三階行列式這種規(guī)定稱為對角線法則。二階、三階行列式是一個數(shù)，即是取遍不同行不同列元素乘積的代數(shù)和，反過來一個數(shù)也可表示成某個行列式。對角線法則只適用于二階、三階行列式。比如：四階行列式

這四個數(shù)也位于不同行不同列，但對角法則不適用。第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2全排列，逆序數(shù)，對換

對角線法則只適用于二階、三階行列式，為研究四階或更高階行列式，下面先介紹有關(guān)全排列的知識，然后引出n階行列式的概念。1．

全排列

把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列（也稱作排列）①一個元素排隊，隊列只一種，

注意：1！=1②二個元素排隊，隊列有二種，注意：2！=2③n個元素排隊，采用編號（用自然數(shù)表示）

所以n個元素排隊，變成n個數(shù)排隊。第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2全排列，逆序數(shù)，對換

④3個數(shù)排隊，（1，2，3代表3個不同的元素）排出的隊列

共有6種。注意：3!=6

n個數(shù)的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示，可知這樣繼續(xù)下去，第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2全排列，逆序數(shù)，對換

2．逆序數(shù)設(shè)P1、P2、……Pn

為這n個自然數(shù)的一個排列，考慮元素Pi(i=1,2,……n),如果比Pi大的且排在Pi前面的元素有ti個，就說Pi這個元素的逆序數(shù)是ti。全體元素的逆序數(shù)之總和

即是這個排列的逆序數(shù)。

第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例4求排列32514的逆序數(shù)解在排列32514種，3排在首位，逆序數(shù)為0；2的前面比2大的數(shù)有一個（3），故逆序數(shù)為1；5是最大數(shù)，逆序數(shù)為0；1的前面比1大的數(shù)有三個（3、2、5），故逆序數(shù)為3；4的前面比4大的數(shù)有一個（5），故逆序數(shù)為1，于是這個排列得逆序數(shù)為第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2全排列，逆序數(shù)，對換

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。再來看

第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2全排列，逆序數(shù)，對換

3．對換在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換，將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換。定理1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性證:先證相鄰對換的情形設(shè)排列為，對換a和b,變成。顯然，；這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過對換并不改變，而a，b兩元素的逆序數(shù)改變?yōu)椋寒?dāng)a<b時，經(jīng)對換后a的逆序數(shù)增加1而b的逆序數(shù)不變，當(dāng)a>b時，經(jīng)對換后a的逆序數(shù)不變而b的逆序數(shù)減少1。所以排列與排列的奇偶性不同。

第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2全排列，逆序數(shù)，對換

再證一般對換的情形設(shè)排列為，把它作m次相鄰對換，調(diào)成，再作m+1次相鄰對換，調(diào)成，總之，經(jīng)2m+1次相鄰對換，排列調(diào)成排列，所以這兩個排列的奇偶性相反。推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。

證

由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標準排列是偶排列（逆序數(shù)為0），因此知推論成立。

證畢。

第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3n階行列式的定義為了作出n階行列式的定義，先來研究三階行列式的結(jié)構(gòu)，三階行列式定義為：(6)容易看出：

（?。?6)式右邊的每一項都恰是三個元素的乘積，這三個元素位于不同的行、不同的列。因此,(6)式右端的任一項除正負號外可以寫成。這里第一個下標（行標）排成標準次序123，而第二個下標（列標）排成，它是1、2、3三個數(shù)的某個排列，這樣的排列共有6種，對應(yīng)(6)式右端共含6項。第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3n階行列式的定義（ⅱ）各項的正負號與列標的排列對照：帶正號的三項列標排列是：123，231，132；帶負號的三項列標排列是：132，213，321；經(jīng)計算可知前三個排列都是偶排列，而后三個排列都是奇排列，因此各項所帶的正負號可以表示為,其中t為列標排列的逆序數(shù)?？傊A行列式可以寫成

其中t為排列的逆序數(shù)，∑表示對1、2、3三個數(shù)的所有排列取和。

第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3n階行列式的定義仿此，可以把行列式推廣到一般情形定義設(shè)有n2個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表作出表中不同行不同列的n個數(shù)的乘積，并冠以符號，得到形如（7）的項，其中為自然數(shù)的一個排列，t為這個排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有n!個，因此形如（7）式的項共有n!項。

第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3n階行列式的定義所有這n!項的代數(shù)和

稱為n階行列式，記作簡記作det(aij)。數(shù)aij稱為行列式det(aij)的元素

按此定義的二階、三階行列時，與§1中對角線法則定義的二階、三階行列時，顯然是一致的。當(dāng)n=1時，一階行列式，注意不要與絕對值記號相混淆。

第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例5證明對角行列式（其中對角線上的元素是，未寫出的元素都是0）證第一式是顯然的，下面只證第二式。若記，則依行列式定義其中t為排列的逆序數(shù)，故

第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月對角線以下（上）的元素都為0的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的值與對角行列式一樣。例6證明三角形行列式證由于當(dāng)j>i時，aij=0,故D中可能不為0的元素，其下標應(yīng)有即在所有排列中，能滿足上述關(guān)系的排列只有一個自然排列，所以D中可能不為0的項只有一項。此項的符號,所以第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3n階行列式的定義利用定理1，下面來討論行列式定義的另一種表示法。對于行列式的任一項其中為自然排列，t為排列的逆序數(shù)，對換元素與成這時，這一項的值不變，而行標排列與列標同時作了一次相應(yīng)的對換。設(shè)新的行標排列的逆序數(shù)為r,則r為奇數(shù)；設(shè)新的列標排列的逆序數(shù)為t1,則故，于是

第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3n階行列式的定義這就表明，對換乘積中兩元素的次序，從而行標排列與列標排列同時作了相應(yīng)的對換，則行標排列與列標排列的逆序數(shù)之和并不改變奇偶性。經(jīng)一次對換是如此，經(jīng)多次對換當(dāng)然還是如此，于是，經(jīng)過若干次對換，使：

列標排列（逆序數(shù)為t）變?yōu)樽匀慌帕校嫘驍?shù)為0）；行標排列則相應(yīng)地從自然排列變?yōu)槟硞€新的排列，設(shè)此新排列為，其逆序數(shù)為s,則有又，若，則（即）。可見排列由排列所唯一確定。第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3n階行列式的定義定理2n階行列式也可定義為

其中t為行標排列的逆序數(shù)證按行列式定義有記按上面討論知：對于D中任一項，總有且僅有D1中的某一項與之對應(yīng)并相等；反之，對于D1中的任一項也總有且僅有D中的某一項與之對應(yīng)并相等，于是D與D1中的項可以一一對應(yīng)并相等，從而D=D1第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4行列式的性質(zhì)記

行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列），行列式變號。推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。

證把這兩行互換，有D=-D，故D=0。第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4行列式的性質(zhì)性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式。第i行（列）乘以k,記作推論行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。第i行（列）提出公因子k,記作性質(zhì)４行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4行列式的性質(zhì)性質(zhì)５若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，例如則Ｄ等于下列兩個行列式之和：第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4行列式的性質(zhì)性質(zhì)６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。例如以數(shù)ｋ乘第ｊ列加到第ｉ列上（記作），有

()（以數(shù)ｋ乘第ｊ行加到第ｉ行上，記作）第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4行列式的性質(zhì)上述性質(zhì)５表明，當(dāng)某一行（列）的元素為兩數(shù)之和時，行列式關(guān)于該行（列）可分解為兩個行列使，若ｎ階行列式每個元素都表示成兩數(shù)之和，則它可分解成個行列式。例如二階行列式性質(zhì)２、３、６介紹了行列式關(guān)于行和關(guān)于列的三種運算，即、、和、、，利用這些運算可簡化行列式的計算，特別是利用運算（）可以把行列式中許多元素化為0，計算行列式常用的一種方法就是利用運算把行列式化為三角形行列式，從而算得行列式的值。第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例7計算解上述解法中,先用了運算,其目的是把a11換成1，從而利用運算,即可把ai1(i=2,3,4)變成0，如果不先作，則由于原式中a11=3,需用運算把ai1變成0，這樣計算時就比較麻煩，第二步把和寫在一起，這是兩次運算，并把第一次運算結(jié)果的書寫省略了。第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例8計算解這個行列式的特點是各列4個數(shù)之和都是6，今把第2、3、4行同時加到第1行，提出公因子6，然后各行減去第一行：第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例9計算解從第4行開始，后行減前行：第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4行列式的性質(zhì)上述諸例中都用到把幾個運算寫在一起的省略寫法，這里要注意各個運算的次序一般不能顛倒，這是由于后一次運算是作用于前一次運算結(jié)果上的緣故。例如可見兩次運算當(dāng)次序不同時所得結(jié)果不同。忽視后一次運算是作用在前一次運算的結(jié)果上，就會出錯，例如這樣的運算是錯誤的，出錯的原因在于第二次運算找錯了對象。第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4行列式的性質(zhì)此外還要注意運算與的區(qū)別，記號不能寫作（這里不能套用加法的交換律）。上述諸例都是利用運算把行列式化為上三角形行列式，用歸納法不難證明（這里不證）任意n階行列式總能利用運算化為上三角行列時，或化為下三角行列式（這時要先把化為0），類似的，利用列運算也可把行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式。第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例10設(shè)證明D=D1D2證對D1作運算，把D1化為下三角形行列，設(shè)為對D2作運算，把D2化為下三角行列式，設(shè)為第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月于是，對D的前k行作運算，再對后n列作運算,把D化為下三角形行列式故第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.5行列式按行(列)展開

一般說來，低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便，于是，我們自然地考慮用低階行列式來表示高階行列式的問題，為此，先引進余子式和代數(shù)余子式的概念。在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij的余子式，記作Mij

；記叫做元素aij的代數(shù)余子式。第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.5行列式按行(列)展開定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即；或推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零?；虻?0頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.5行列式按行(列)展開下面用此法則來計算例7的保留a33,把第3行其余元素變?yōu)?，然后按第3行展開：第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.5行列式按行(列)展開練習(xí)例12證明范德蒙德（Vandermonde）行列式

（8）其中記號“”表示全體同類因子的乘積第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月證用數(shù)學(xué)歸納法，因為所以當(dāng)n=2時（8）式成立?，F(xiàn)在假設(shè)（8）式對于n-1階范德蒙德行列式成立，要證（8）式對n階范德蒙德行列式也成立。為此，設(shè)法把Dn降階：從第n行開始，后行減去前行的x1

倍，有按第1列展開，并把每列的公因子提出，就有上式右端的行列式是n-1階范德蒙德行列式，按歸納法假設(shè)，它等于所有因子的乘積，其中。故

第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.5行列式按行(列)展開綜合定理3及其推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：或其中第44頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.6克拉默法則含有n個未知數(shù)的n個線性方程的方程組

（9）與二、三元線性方程組相類似，它的解可以用n階行列式表示，即有第45頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.6克拉默法則克拉默法則如果線性方程組（9）的系數(shù)行列式不等于零，即那么，方程組（9）有唯一解（10）其中是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列時，即第46頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例13解線性方程組解§1.6克拉默法則第47頁，課件共52頁，創(chuàng)作于20