2022-2023學(xué)年湖南省長沙市高三（上）適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的除法答案：B解析：，

所以

故選B.2.設(shè)集合，，則的元素個數(shù)是（

）A.

B.

C.

D.

知識點：交集按元素的屬性分（點集、數(shù)集）答案：C解析：聯(lián)立，即，解得：或，

即，

故的元素個數(shù)為

故選C.3.已知，，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：對數(shù)的運算性質(zhì)不等式比較大小利用函數(shù)單調(diào)性比較大小答案：C解析：，

所以，所以

，所以

所以有

故選：C.4.的展開式中，常數(shù)項為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：展開式中的特定項或特定項的系數(shù)答案：D解析：展開式的通項公式為，

所以的展開式中，常數(shù)項為

，

故選D.5.在平行六面體中，已知，，，，，則的值為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：空間向量的數(shù)量積空間向量的線性運算答案：A解析：由題意得，，

因為，，，，，

所以

，

故選.

6.若，則的值為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合應(yīng)用兩角和與差的正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：A解析：由可得，，

所以，

所以

故選A.7.斐波那契數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為兔子數(shù)列，該數(shù)列滿足，且．盧卡斯數(shù)列是以數(shù)學(xué)家愛德華盧卡斯命名，與斐波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即，且，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：數(shù)列的遞推公式數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題答案：C解析：因為，

所以當(dāng)時，，

所以，

故，

因為，

所以，，

故，

所以

故選C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，若該平面中存在點，同時滿足兩個條件與，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定與圓有關(guān)的軌跡問題答案：C解析：由題知，不妨設(shè)，

因為，所以，

化簡可得，故點在以為圓心，為半徑的圓上，

又因為，所以，

化簡可得，即點在以為圓心，為半徑的圓上，

故只需圓與圓有交點即可，

即，

同時平方化簡可得，

即，

解得

故選.9.已知雙曲線的方程為，則（

）A.

漸近線方程為

B.

焦距為C.

離心率為

D.

焦點到漸近線的距離為知識點：雙曲線的離心率雙曲線的漸近線雙曲線的頂點、長軸、短軸、焦點、焦距答案：B；C解析：焦點在軸上，故漸近線方程為，錯誤；

，故，故焦距為，正確；

離心率為，正確；

焦點坐標(biāo)為，故焦點到漸近線的距離為，錯誤

故選BC.10.自然環(huán)境中，大氣壓受到各種因素的影響，如溫度、濕度、風(fēng)速和海拔等方面的改變，都將導(dǎo)致大氣壓發(fā)生相應(yīng)的變化，其中以海拔的影響最為顯著．下圖是根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)得到海拔千米～千米的大氣壓強散點圖，根據(jù)一元線性回歸模型得到經(jīng)驗回歸方程為，決定系數(shù)為；根據(jù)非線性回歸模型得到經(jīng)驗回歸方程為，決定系數(shù)為，則下列說法正確的是（

）

A.

由散點圖可知，大氣壓強與海拔高度負(fù)相關(guān)B.

由方程可知，海拔每升高千米，大氣壓強必定降低C.

由方程可知，樣本點的殘差為D.

對比兩個回歸模型，結(jié)合實際情況，方程的預(yù)報效果更好知識點：殘差直線擬合散點圖與正相關(guān)、負(fù)相關(guān)答案：A；C；D解析：對于項，由圖象知，海拔高度越高，大氣壓強越低，所以大氣壓強與海拔高度負(fù)相關(guān)，故項正確；

對于項，回歸直線得到的數(shù)據(jù)為估計值，而非精確值，故項錯誤；

對于項，當(dāng)時，，又由散點圖知觀測值為，所以樣本點的殘差為，故項正確；

對于項，隨著海拔高度的增加，大氣壓強越來越小，但不可能為負(fù)數(shù)，因此方程的預(yù)報效果更好，故項正確

故選ACD.11.已知函數(shù)與相交于，兩點，與相交于，兩點，若，，，四點的橫坐標(biāo)分別為，，，，且，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：反函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)零點的值或范圍問題答案：A；B；D解析：由題意可知是方程的一個根，則，將代入得，所以也是方程的一個根，所以，故，故正確，

由題意可知是方程的一個根，則，則，所以也是方程的一個根，所以，故，故正確，

設(shè)點在函數(shù)上，則滿足，即，點關(guān)于直線的對稱點為，將代入得，即可，因此可知在函數(shù)上，即關(guān)于直線的對稱，又關(guān)于直線的對稱，因此可知對稱，對稱，

故和，

所以，，故正確，

由于，，故錯誤，

故選.

12.如圖，已知是邊長為的等邊三角形，，分別是，的中點，將沿著翻折，使點到點處，得到四棱錐，則（

）

A.

翻折過程中，該四棱錐的體積有最大值為B.

存某個點位置，滿足平面平面C.

當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值為D.

當(dāng)時，該四棱錐的五個頂點所在球的表面積為知識點：與球有關(guān)的切、接問題立體幾何中的折疊問題平面與平面垂直的判定定理棱柱、棱錐、棱臺的體積球的表面積直線與平面所成的角答案：A；C；D解析：

如圖，設(shè)，分別是，的中點則，，，且

對于項，當(dāng)平面平面時，四棱錐的體積最大的高為，四邊形是高為的梯形，梯形面積，體積，故項正確；

對于項，設(shè)平面平面，則，有，，可得平面，即為平面與平面所成的二面角，由可知，，故項錯誤；

對于項，如圖，過點作，垂足為由分析可得，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面所以即為直線與平面所成的角由題意可知，，，，在中，由余弦定理可得，所以；在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為；

對于項，當(dāng)時，由，可知，即，又，且，則平面，又平面，則平面平面四棱錐的外接球球心為，的外心為，則平面如圖，易知點為等腰梯形的外心，則平面，

則四邊形為矩形，且，從而有，從而該四棱錐的五個頂點所在球的表面積為，故項正確

故選13.已知，，，若，則

?．知識點：用向量的坐標(biāo)表示兩個向量垂直的條件平面向量坐標(biāo)運算的綜合應(yīng)用答案：解析：因為已知，，，

所以，

又因為，

所以，解得

故答案為：.14.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，且關(guān)于直線軸對稱，則的最小值為

?．知識點：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值范圍正弦曲線的對稱中心正弦曲線的對稱軸答案：解析：由題知的圖象關(guān)于點中心對稱，且關(guān)于直線軸對稱,

則與之間的距離為,

即,,

即，,

因為,

所以當(dāng)時，的最小值為

故答案為:.15.已知為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，過點作傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點（其中點在第一象限）．若直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點，設(shè)，的面積分別為，，則

?．知識點：拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線直線與拋物線的綜合應(yīng)用答案：解析：

由題意知，，直線方程為設(shè)，

聯(lián)立直線方程與拋物線的方程，解得或

因為點在第一象限，所以，，

直線方程為，點坐標(biāo)為

因為，所以軸

所以，

，

所以

故答案為：.16.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)根，且，則的取值范圍是

?．知識點：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題分段函數(shù)的圖象答案：解析：函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，

當(dāng)，即時，，且，

當(dāng)，即時，，且，

當(dāng)，即時，，且，

因此，在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，

再作出直線，則方程有兩個不等實根，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，

觀察圖象知方程有兩個不等實根，當(dāng)且僅當(dāng)，

此時，且，即，且，則有，

令，求導(dǎo)得，令，

當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，而，于是當(dāng)時，，有，

所以的取值范圍是

故答案為.17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．知識點：錯位相減法求和等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用答案：(1)設(shè)的公差為，的公比為，，，

聯(lián)立，整理可得，解得，

所以，.(2)由（1）知，

則，①

，②

①-②，得.

所以.解析：(1)略(2)略18.在銳角中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，已知．(1)求角的值；(2)若，求的周長的取值范圍．知識點：正弦定理及其應(yīng)用用余弦定理、正弦定理解三角形解三角形中的最值（范圍）問題答案：(1)，由正弦定理得：，

即，

由余弦定理得：，

因為，

所以；(2)銳角中，，，

由正弦定理得：，

故，

則，

因為銳角中，，

則，，

解得：，

故，，

則，

故，

所以三角形周長的取值范圍是.解析：(1)略(2)略19.如圖，在以，，，，，為頂點的六面體中（其中平面），四邊形是正方形，平面，，且平面平面．

(1)設(shè)為棱的中點，證明：四點共面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值．知識點：立體幾何中的四點共面、三點共線直線與平面垂直的判定定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理用空間向量研究兩個平面所成的角基本事實的推論答案：(1)連接，由于四邊形是正方形，所以,

又平面，平面，所以,

平面，所以平面，

由于為棱中點，，所以,

又平面平面，平面平面，平面,

所以平面,

因此，所以四點共面，

(2)由于兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，設(shè)，

由（1）知，故，解得，故,

,

設(shè)平面，的法向量分別為，則

即，取，則，

即，取，則，

設(shè)平面與平面的夾角為，則，

所以平面與平面的夾角的余弦值為.解析：(1)略(2)略20.為了調(diào)動大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識的競賽．初賽采用兩輪制方式進行，要求每個單位派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.(1)若該單位獲得決賽資格的小組個數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；(2)已知甲、乙兩個小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進行．假設(shè)這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個小組搶到該題的可能性分別是，，該題如果被答對，計算恰好是甲小組答對的概率．知識點：離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)互斥事件的概率加法公式離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望相互獨立事件的概率條件概率的概念及公式答案：(1)設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件，則

由題意可得，的取值有

，

，

，

則的分布列為：

所以(2)設(shè)甲乙兩組對每個問題回答正確的概率分別為，兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，由（1）知，設(shè)一個題被甲小組搶到為事件，則，，

設(shè)一個題答對為事件，則

，

該題如果被答對，恰好是甲小組答對即為.解析：(1)略(2)略21.設(shè)，是橢圓上異于的兩點，且直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，直線，分別交直線于兩點．(1)求證：直線，，的斜率成等差數(shù)列；(2)求面積的最小值．知識點：兩點間的斜率公式等差數(shù)列的定義與證明點與橢圓的位置關(guān)系圓錐曲線的最值（范圍）問題答案：(1)設(shè)，則，，

直線的斜率，直線的斜率為，直線的斜率為，

，

故直線的斜率成等差數(shù)列；(2)直線的方程為，與聯(lián)立得：，

同理可得：直線的方程為，與聯(lián)立得：，

故，

因為，設(shè)，

故，

其中，

故當(dāng)時，取得最小值，最小值為，

又點到直線的距離，

故面積的最小值為.解析：(1)略(2)略22.已知函數(shù)，其中．(1)求的最大值；(2)若不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．知識點：導(dǎo)數(shù)與最值導(dǎo)數(shù)與極值導(dǎo)數(shù)中不等式恒成立與存在性問題答案：(1)，，

令，解得：或，

令，解得：，

故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故在處取得極大值，，

令，即當(dāng)時，恒成立，

故在處取得最大值，；(2)設(shè)，其中，

①當(dāng)時，，符合題意，

②當(dāng)時，，且，

由（1）知：在單調(diào)遞增，故，

若，，則單調(diào)遞減，有，符合題意，

若，，符合題意，