2021年山東省春季高考高校招生考試

數(shù)學(xué)試題

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題20個小題，每題3分，共60分.在每題列出的四個選項中，只有一項

符合題目要求，請將符合題目要求的選項字母選出，填涂在答題卡上）

1.假設(shè)集合A={1,2,3},8={1,3},那么4nB等于（）

A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2}

2.x-l<5的解集是（)

A.(-6,4)B.(<6)

C.(-oo,-6)U(4,+oo)D.(-00,-4)U(6,+00)

3.函數(shù)y=Jx+1+—的定義域為（）

X

A.且xwO}B.{小2-1}

C.{x|x>-l且XHO}D.{小>-1}

4.“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的（）

A.充分沒必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也沒必要條件

5.在等比數(shù)列{?}中，4=1，4=3,則4等于)

A.B.5C.-9D.9

6.如下圖，M是線段08的中點，設(shè)向量礪=￡,OB=b>那么麗7能夠表示為（）

B

M

A

-1

A.uH—brB.-a+—b

22

一1r一1r

C.a——bD.-a——b

22

7.終邊在y軸的正半軸上的角的集合是（）

Tl.

A.<xx=—+2kn,k^Z>B.<XX=—+KJI>

2、2,

Tt71,,_

C.<xx=----1-2kji,keZD.<xx=——+kjt,ksZ>

2

8.關(guān)于函數(shù)y=—f+2x,以下表達錯誤的選項是（）

A.函數(shù)的最大值是1B.函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=l

C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是［-1,+8）D.函數(shù)圖象過點（2,0）

9.某值日小組共有5名同窗，假設(shè)任意安排3名同窗負責(zé)教室內(nèi)的地面衛(wèi)生，其余2名同窗負責(zé)教室外的

走廊衛(wèi)生，那么不同的安排方式種數(shù)是（）

A.10B.20C.60D.100

B.y/3x-2y-y/3=0

C傷-3y-1=0D.x-島-1=0

11.關(guān)于命題〃，q,假設(shè)“〃八4為假命題”，且為真命題，那么（）

A.P,夕都真命題B.P,4都是假命題

C.P,夕一個是真命題一個是假命題D.無法判定

12.已知函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，當x>0時，/（x）=/+2,那么/（一1）的值是（）

A-3B.-1C.1D.3

13.已知點尸（加,—2）在函數(shù)1=1°8；X的圖象上，點人的坐標是（4,3）,那么|Q|的值是（）

A.曬B.2MC.6V2D.572

14.關(guān)于x,）'的方程/+加/2=],給出以下命題;

①當機＜0時，方程表示雙曲線；②當加=0時，方程表示拋物線；③當0＜?。?時，方程表示橢圓；④

當m=1時，方程表示等軸雙曲線；⑤當機＞1時，方程表示橢圓.

其中，真命題的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

15.。-尤）5的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和是（）

A.0B.-1C.-32D.32

x—y+1＜0

16.不等式組《'八八表示的區(qū)域（陰影部分）是（）

x+y-3＞0

AV

17.甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽,約定每人從泰山、孔府這兩處景點中任選一處，那么甲、

乙兩位同學(xué)恰好選取同一處景點的概率是（）

D.

2

18.已知向量。=COS=,sin：,b=\cos—,sin—,那么〃.〃等于()

A.B.D.0

22

19.已知a,僅表示平面，加，〃表示直線，以下命題中正確的選項是()

A.假設(shè)/,那么〃〃a

B.假設(shè)〃?uc,nu/3,a〃力，那么相〃”

C.假設(shè)all/3,mea,那么mll(3

D,假設(shè)機ua,〃ua,m//(3,n//(5,那么a///?

22

20.已知耳是雙曲線=—1=1(a>0,b>0)的左焦點，點P在雙曲線上，直線尸片與％軸垂直，且

ah

|「耳|=a,那么雙曲線的離心率是()

A.72B.百C.2D.3

第n卷(非選擇題，共6。分)

二、填空題(本大題共5個題，每題4分，共20分，請將答案填在答題卡上相應(yīng)題號的橫線

上)

21.直棱柱的底面是邊長為a的菱形，側(cè)棱長為〃，那么直棱柱的側(cè)面積是.

22.在△ABC中，ZA=105°,ZC=45°,AB=2yfl>8C等于_

23.打算從500名學(xué)生中抽取50名進行問卷調(diào)查，擬采納系統(tǒng)抽樣方式，為此將他們一一編號為b500,

并對編號進行分段，假設(shè)從第一個號碼段中隨機抽出的號碼是2,那么從第五個號碼段中抽出的號碼應(yīng)是

24.已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點與圓/+對/一6如一7=0的圓心重合，長軸長等于圓的直徑，

那么短軸長等于―.

25.集合M,N,S都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運算：MG^B={X|XW(MCN)U(NCS)5SCM)

且x^McNcS}.假設(shè)集合A={x[a<x<Z?},8={x[c<x<d},C-^x\e<x<,其中實數(shù)a,

b，c,d,e,f滿足：(1)?/;<0,cd<0；ef；⑵b-a=d-c=f-e；(3)b+a<d+c</+e.計

算AOBOC=.

三、解答題(本大題共5個小題，共40分，請在答題卡相應(yīng)的題號處寫出解答進程)

26.某學(xué)校合唱團參加演出，需要把120名演員排成5排，而且從第二排起，每排比前一排多3名，求第一

排應(yīng)安排多少名演員.

27.已知函數(shù)y=2sin(2x+0),xwR,0<?9<|,函數(shù)的部分圖象如下圖，求

（1）函數(shù)的最小正周期T及9的值:

（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

28.已知函數(shù)/（x）=a*（a>0且"1）在區(qū)間［-2,4］上的最大值是16,

（1）求實數(shù)。的值；

⑵假設(shè)函數(shù)g（x）=log2（%2—3x+2a）定義域是R,求不等式log“（l—2f）Wl的實數(shù)，的取值范圍.

29.如下圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABC。是正方形，平面SAO1■平面ABC。，S4=SO=2,

AB=3.

（1）求SA與所成角的余弦值；

（2）求證：AB1SD.

30.已知拋物線的頂點是坐標原點。，焦點尸在x軸的正半軸上，。是拋物線上的點，點。到焦點尸的距

離為I,且到y(tǒng)軸的距離是?.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）假設(shè)直線/通過點加（3,1）,與拋物線相交于A,5兩點，且。4_LO3,求直線/的方程.

山東省2021年一般高校招生（春天）考試

數(shù)學(xué)試題

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題20個小題，每題3分，共60分.在每題列出的四個選項中，只有一項

符合題目要求，請將符合題目要求的選項字母選出，填涂在答題卡上）

1.假設(shè)集合A={1,2,3},B={1,3},那么4nB等于（）

A,{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2}

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】???A={1,2,3},B={1,3},

Ac8={1,3}.

故選：B.

2.|x-1|<5的解集是（）

A.（-6,4）B.(-4,6)

C.-6）u（4,+oo）D.(-co,-4)D(6,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】應(yīng)用公式法解絕對值不等式，即可求解集.

【詳解】由忖一1|<5得：一5<%一1<5，解得T<x<6.

，解集為（-4,6）.

故選：B

3.函數(shù)y=Jx+1+,的定義域為（）

x

A.{#2-1且X/。}B.

C.{x|x>-l且x/()}D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義的要求列不等式求函數(shù)定義域.

【詳解】由函數(shù)解析式有意義可得

x+120且x00

所以函數(shù)的定義域是卜,2-1且XRO｝,

故選：A.

4.“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的（）

A.充分沒必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也沒必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】由直線與圓相切的等價條件，易判斷

【詳解】由于“圓心到直線的距離等于圓的半徑”="直線與圓相切”，因此充分性成立;

“直線與圓相切”="圓心到直線的距離等于圓的半徑”，故必要性成立；

可得“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切'’的充要條件

故選：C

5.在等比數(shù)列｛4｝中，4=1，4=3,則為等于（）

A.-5B.5C.-9D.9

【答案】D

【解析】

【分析】由等比數(shù)列的項求公比，進而求牝即可.

【詳解】由題設(shè)，q2=%=3,

a2

ab=a應(yīng)2=9.

故選：D

6.如下圖，M是線段OB的中點，設(shè)向量方=￡,OB^b，那么就"能夠表示為（）

B

-1r

A.clH—bB.-a+—b

22

-1r-1r

C.a—hD.-a——b

22

【答案】B

【解析】

【分析】由向量的線性運算，可得解

【詳解】由題意，AM^OM-OA=-b-a.

2

故選：B

7.終邊在y軸的正半軸上的角的集合是（）

A.4xx=—+2kjt,kJZ>B.x=一+攵兀>

22

71[兀

C.<xx=--卜2kn,kD.\xx=——+kn,keZ>

2

【答案】A

【解析】

【分析】利用終邊落在坐標軸上角的表示方法即可求解

7T

【詳解】終邊在y軸正半軸上的角的集合是＜％一+2E,%eZ卜

2

故選：A

8.關(guān)于函數(shù)y=—/+2x,以下表達錯誤選項是（）

A.函數(shù)的最大值是1B.函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=l

C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是［-1,+8）D.函數(shù)圖象過點（2,0）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，直接進行求解即可.

【詳解】y=-x2+2x=-（x-l）2+l.最大值是1,A正確;

對稱軸是直線x=l,B正確；

單調(diào)遞減區(qū)間是［1,+8）,故C錯誤；

令x=2的y=—22+2x2=0,故（2,0）在函數(shù)圖象上，故D正確，

故選：C

9.某值日小組共有5名同窗，假設(shè)任意安排3名同窗負責(zé)教室內(nèi)的地面衛(wèi)生，其余2名同窗負責(zé)教室外的

走廊衛(wèi)生，那么不同的安排方式種數(shù)是（）

A.10B.20C.60D.100

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)組合的定義計算即可.

【詳解】從5人當選取3人負責(zé)教室內(nèi)的地面衛(wèi)生，共有C；=10種安排方式（選取3人后剩下2名同窗

干的活就定了）

故選：A

B.>/3x-2j->/3=0

C.V3x-3y-l=oD.x->/3y-l=0

【答案】D

【解析】

【分析】由圖得到直線的傾斜角為30,進而得到斜率，然后由直線/與X軸交點為（1,0）求解.

【詳解】由圖可得直線的傾斜角為30°,

所以斜率2=tan30。=正，

3

所以直線/與x軸的交點為（1,0）,

所以直線的點斜式方程可得/：y-0=—（x-1）.

即x-V3y-l=0.

故選：D

11.關(guān)于命題P,q,假設(shè)“〃八4為假命題”，且，vq為真命題，那么（）

A.P,夕都是真命題B.P,?都是假命題

C.P,4一個是真命題一個是假命題D.無法判定

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)邏輯聯(lián)合詞“或”，“且”連接的命題的真假性，容易判斷出0,q的真假性.

【詳解】由"人4是假命題可知p,夕至少有一個假命題，由pvq是真命題可知P,q至少有一個真命題,

：.p,夕一個是真命題一個是假命題.

故選：c

12.已知函數(shù)”X）是奇函數(shù)，當x>0時，〃x）=f+2,那么〃—1）的值是（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】?.?函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，當x>0時，/（X）=X2+2,

.?./（-1）=-/（1）=-（12+2）=-3.

故選：A.

13.已知點尸（相2）在函數(shù)>=l°g廣的圖象上，點A的坐標是（4,3）,那么府|的值是（）

A.MB.2MC.6夜D.5夜

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)尸（％—2）在函數(shù)y=l°g；x的圖象上代入可得加=9,再利用向量的模長公式求解即可.

【詳解】?.?點p（〃-2）在函數(shù)y=i°g；x圖象上，

.?.log/=-2,機/4=9,

3⑴

二尸點坐標為（9,—2）,AP=（5,-5）,|/1=55?+（—5）2=5起.

故選：D

14.關(guān)于x,＞的方程/+加），2=1,給出以下命題；

①當機＜0時，方程表示雙曲線；②當加=0時，方程表示拋物線；③當0＜加＜1時，方程表示橢圓；④

當m=1時，方程表示等軸雙曲線；⑤當機＞1時，方程表示橢圓.

其中，真命題的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)曲線方程，討論，”的取值確定對應(yīng)曲線的類別即可.

【詳解】當機＜0時，方程表示雙曲線；

當機=0時，方程表示兩條垂直于X軸的直線；

當0＜“＜1時，方程表示焦點在y軸上的橢圓；

當加=1時，方程表示圓；

當相＞1時，方程表示焦點在8軸上的橢圓.

①③⑤正確.

故答案：B

15.。-x）5的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和是（）

A.0B.-1C.-32D.32

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)（a+b）"的二項展開式系數(shù)之和為2"求解即可

【詳解】（l-x）5的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為2、=32

故選：D

y+1<0

16.不等式組｛）.c表示的區(qū)域（陰影部分）是（）

x+y-3>0

IV

【答案】D

【解析】

【分析】用特殊點（0,0）進行驗證和邊界的虛實線進行排除可得答案.

【詳解】將點（0,0）代入x-y+l<0不成立，則點（0,0）不在不等式x-y+l<0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，

將點（0,0）代入x+y—320不成立，則點（0,0）不在不等式x+y-320所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以表示

的平面區(qū)域不包括原點，排除AC；

x-y+l<0不包括邊界，用虛線表示，x+y—320包括邊界，用實線表示,

故選：D.

17.甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點中任選一處，那么甲、

乙兩位同學(xué)恰好選取同一處景點的概率是（）

22

A.-B.-C.-D.—

9342

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用古典概型的概率求法，求甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率即可.

【詳解】甲、乙兩位同窗選取景點的種數(shù)為2x2=4,其中甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的種數(shù)為2,

21

...甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率為一=一

42

故選：D

ru4月一\571.5兀7T.兀

18.已知向量a=(cos五,sin五cos—,sin—，那么等于（）

1212

RG

D.--C.1D.0

2

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標運算和兩角和的正弦公式可得答案.

“、乂，”--\5兀.5兀、r(兀兀.兀兀、

【詳國軍】。二cos—,sin—,b—cos—,sin—,

(1212)(1212J

_5兀71.571.71711

abr=cos—cos--1-sin—sin——=cos—=—.

1212121232

故選：A.

19.已知a,￡表示平面，m,”表示直線，以下命題中正確的選項是（）

A.假設(shè)加_L。，m±n,那么〃〃a

B.假設(shè)mua,nu。,all/3,那么m//n

C.假設(shè)allp,mua,那么mllp

D.假設(shè)機ua,〃ua,mlip,n//0,那么all[5

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可判斷A；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可判斷B、C；根據(jù)面面平行的

判定定理，可判定D

【詳解】選項A：假設(shè)加_1_。，那么〃〃?；颉ㄔ赼內(nèi)，故選項A錯誤；

選項B：假設(shè)機ucz,〃u￡,all/3,那么加//〃或加與〃異面，故選項B錯誤；

選項D：假設(shè)帆ua,z?ua,加//￡,〃〃萬，且“、“相交才能判定a〃力，故選項C錯誤；

選項C：依照兩平面平行的性質(zhì)可知C正確.

故選：C

r2v2

20.已知可是雙曲線與一與=（?>0,b>0）的左焦點，點P在雙曲線上，直線與x軸垂直，且

a2b2

|P耳卜a,那么雙曲線的離心率是（）

A.y/2B.百C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】易得士的坐標為（—c,0）,設(shè)P點坐標為（一G%）,求得先=且，由歸用=a可得a=8,

a

然后由a,〃，c的關(guān)系求得c2=2/,最后求得離心率即可.

【詳解】￡的坐標為（一c,0）,設(shè)P點坐標為（-G%），

易得匕蓼一耳=1，解得%=々，

a"b-a

因直線P耳與X軸垂直，且|P用=4,

所以可得乙=a,則”2=/，即。=人

所以,2=屋+廬=2/，離心率為e=J5.

故選：A.

第II卷（非選擇題，共60分）

二、填空題（本大題共5個題，每題4分，共20分，請將答案填在答題卡上相應(yīng)題號的橫線

±）

21.直棱柱的底面是邊長為。的菱形，側(cè)棱長為〃，那么直棱柱的側(cè)面積是.

【答案】4ah

【解析】

【分析】直棱柱的四個側(cè)面都是長為a,寬為〃的矩形，依此計算側(cè)面積即可.

【詳解】直棱柱的四個側(cè)面都是長為寬為力的矩形，該直棱柱的側(cè)面積為四個矩形面積之和，

所以直棱柱的側(cè)面積是4a/i.

故答案為：4ah.

22.在△ABC中，ZA=105°,ZC=45°,AB=2&8C等于.

【答案】V6+V2

【解析】

【分析】由和角正弦公式求sinlO5°函數(shù)值，再應(yīng)用正弦定理求6C即可.

［詳解1sin105。=sin（60°+45°）=sin60°cos450+cos60°sin45°=心乎，

由正弦定理可知，，絲=匹",

sinCsinA

==2后胃05。=#+。

??sinCV2-

T

故答案為：+V2

23.打算從500名學(xué)生中抽取50名進行問卷調(diào)查，擬采納系統(tǒng)抽樣方式，為此將他們一一編號為1~500,

并對編號進行分段，假設(shè)從第一個號碼段中隨機抽出的號碼是2,那么從第五個號碼段中抽出的號碼應(yīng)是

【答案】42

【解析】

【分析】由題設(shè)，根據(jù)等距抽樣的特點確定第五個號碼段中抽出的號碼即可.

【詳解】從500名學(xué)生中抽取50名，那么每兩相鄰號碼之間的距離是10,

第一個號碼是2,那么第五個號碼段中抽取的號碼應(yīng)是2+4x10=42.

故答案為：42

24.已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點與圓/+相）,2—6/初一7=0的圓心重合，長軸長等于圓的直徑,

那么短軸長等于.

【答案】2幣

【解析】

【分析】由于x?-6mx-7=0是圓，可得〃?=1,通過圓心和半徑計算a,》,c,即得解

【詳解】由于d+加;尸-6mx-7=0圓，.?.機=1

即：圓x?+y~—6x—7=0

其中圓心為（3,0）,半徑為4

那么橢圓的長軸長為8,即c=3,a=4,b7a2—d=幣,

那么短軸長為2J7

故答案為：2S

25.集合M,N,S都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運算：MGNB={X|X?MCN)U(NCS)D(SCM)

且xeA/cNcS}.假設(shè)集合A={x[a<x<。},8={x|c<x<1},C={x[e<x</},其中實數(shù)a,

b,c,d,e,/滿足：(l)a/?<0,〃<0；^<0；(2)8一4="一。=/一6；(3)匕+6!<4+。</+6.計

算AO80C=.

【答案】{x|c<x?e或6?x<d}

【解析】

【分析】由題設(shè)條件求。，b，c,d,e,7的大小關(guān)系，再根據(jù)集合運算新定義求ACB0C即可.

【詳解】a+b<c+d<得a—c<d-b；a-b-c-d>得a—c=b-d；

：.b-d<d-b,bed；同理d</,

b<d<f.由(1)(3)可得a<c<e<O<b<d<f,

AcB={x[c<x<",8cC={x[e<x<d},CnA=<x<b^.

AOB0C={x[c<xWe或。Wx<d}.

故答案為：{x[c<xWe或

三、解答題(本大題共5個小題，共40分，請在答題卡相應(yīng)的題號處寫出解答進程)

26.某學(xué)校合唱團參加演出，需要把120名演員排成5排，而且從第二排起，每排比前一排多3名，求第一

排應(yīng)安排多少名演員.

【答案】18

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，利用等差數(shù)列的前〃項和公式求第一排的演員數(shù)量即可.

【詳解】由題意，各排人數(shù)組成等差數(shù)列{4}，

設(shè)第一排人數(shù)是卬，公差d=3,前5項和05=120,

由5“=〃(+?(；7)d知：120=5q+等x3,解得4=18.

第一排應(yīng)安排18名演員.

27.已知函數(shù)y=2sin（2x+°）,xeR,0<<o<|,函數(shù)的部分圖象如下圖，求

（1）函數(shù)的最小正周期T及夕的值：

（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

TTTI71

【答案】（1）最小正周期7=兀；（p--\（2）一彳+%兀,工+&兀,keZ.

636

【解析】

【分析】（1）根據(jù)解析式可直接求出最小正周期，代入點（（）4）可求出9；

TT7TJT

（2）令---b2EW2x+—W—+2E可解出單調(diào)遞增區(qū)間.

262

【詳解】（1）函數(shù)的最小正周期丁=?27=r兀，

2

因為函數(shù)的圖象過點（0,1）,因此2sine=l,即sine=—,又因為因此

226

兀71

（2）因為函數(shù)'=5指了的單調(diào)遞增區(qū)間是一,+2E，5+2E,kez.

JiTTTTTTTT

因此---b2hi<2x+—<—4-2fcr,解得----\-kn<x<—+kn,

26236

TT兀

因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是一；+質(zhì),/+E,k&Z

_36

28.已知函數(shù)〃x）=a'（a>0且在區(qū)間［—2,4］上的最大值是16,

（1）求實數(shù)。的值；

（2）假設(shè)函數(shù)8（月=1。82（/一3%+2〃）的定義域是/?,求不等式108“（1一2/）41的實數(shù)，的取值范圍.

【答案】（1）a=2或：；（2）|.

4L，乙）

【解析】

【分析】⑴當0<a<l時，由函數(shù)/（力在區(qū)間［-2,4］上是減函數(shù)求解;，當時，函數(shù)〃力在區(qū)間

［-2,4］上是增函數(shù)求解：

（2）根據(jù)8（%）=1082y_3》+2。）的定義域是/?,由幺―3x+2a>0恒成立求解.

【詳解】⑴當0<。<1時，函數(shù)/（x）在區(qū)間［-2,4］上是減函數(shù)，

因此當x=—2時，函數(shù)〃x）取得最大值16,即片=16，

因此a=L

4

當a>l時，函數(shù)“X）在區(qū)間［—2,4］上是增函數(shù)，

當x=4時，函數(shù)/（x）取得最大值16,即￡=16，

因此。=2.

（2）因為g（x）=log2（f—3x+2a）的定義域是R,

即/一3%+2。>0恒成立.

則方程f-3x+2a=0的判別式/<0,即（-3）2—4x2。<0,

9

解得。>三，

8

又因為a='或。=2,因此。=2.

4

代入不等式得log2（l-2。W1,即0<1—2,W2,

解得---K/<一,

22

-1

因此實數(shù)，的取值范圍是一二,；；.

L21）

29.如下圖，在四棱錐S-43CD中，底面ABC。是正方形，平面平面ABC。，S4=SO=2,

AB=3.

（1）求&4與6c所成角的余弦值；

（2）求證：ABA.SD.

3

【答案】（1）-；（2）證明見解析.

4

【解

【分析】（1）由題意可得NS4O即為SA與BC所成的角，根據(jù)余弦定理計算即可；

（2）結(jié)合面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可證明.

【詳解】【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

【解】（1）因為因此即為SA與5c所成的角，在ASAO中，SA=SD=2,

€42An2-SD222+32-223

又在正方形ABCD中AD==3，因此cos4SAD=+—―=—,

2SAAD2x2x34

3

因此&4與8C所成角的余弦值是

4

（2）因為平面SAQ_L平面A8CQ,平面SAQc平面A3C￡＞=AO,在正方形ABC。中，AB±AD，

因此43,平面SAQ,又因為SDu平面&4。，因此ABLSD.

30.已知拋物線的頂點是坐標原點0,焦點廠在x軸的正半軸上，。是拋物線上的點，點。到焦點F的距

離為1,且到y(tǒng)軸的距離是9.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）假設(shè)直線/通過點M（3,l）,與拋物線相交于A,8兩點，且。4_LOB,求直線/的方程.

【答案】（1）（2）2x-y-5=0.

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合。到焦點、y軸的距離求〃，寫出拋物線方程.

（2）直線/的斜率不存在易得。4與QB不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線/方程聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達定理

求工「尤2，玉+工2，進而求M,%，由題設(shè)向量垂直的坐標表示有為?X2+凹=0求直線方程即可.

【詳解】（1）由己知，可設(shè)拋物線的方程為＞2=2/*,又。到焦點戶的距離是1,

點。到準線的距離是1,又。到y(tǒng)軸的距離是：，

=解得〃=；,則拋物線方程是y2=gx.

（2）假設(shè)直線/的斜率不存在，則直線/的方程為x=3,與＞2=-x聯(lián)立可得交點A、8的坐標分別為

2

3,日（3,-膽］,易得。4.。月=』，可知直線Q4與直線03不垂直，不滿足題意，故假設(shè)不成

I2JI2J2

立，

直線/的斜率存在.設(shè)直線/為y-l=%（x-3）,整理得y=依-3人+1,

y=kx-3k+l

設(shè)A（%，x）,8（馬,必），聯(lián)立直線/與拋物線的方程得1,5，

y=-x

I2

消去y,并整理得42/-（6公一2A+g卜+%2-6%+1=0,于是％.無2=空薩里

.5

6k2-2k+-

2，

玉+工2=------~~

2

X?%=（依?-3攵+1）（依2—3Z+1）=kxtx2一%（34一1）（玉+X2）+（34+1）2=""+5,

2k

又OA工OB,因此O4.0月=0，即％-z+X?%=0，

.9%2—6%+1-l5k+5Cc

-----------+=0，解得攵=一或％=2.

k2----2k----------------------3

當女=；時，直線/的方程是y=；x,不滿足Q4_LQB,舍去.

當左=2時，直線/的方程是＞一1=2（%一3）,即2x-y-5=0,

...直線/的方程是2x—y-5=0.

2020年山東省高校招生春季高考

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本大題20個小題，每小題3分，共60分.在每小題列出的四個選項中，只有一

項符合題目要求，請將符合題目要求的選項字母代號選出，并填涂在答題卡上）

1.已知全集〃=={a,b,c,d],集合M={a,c},則a、等于（）

A.0B,{a,c}C.[b,d]D.[a,b,c,d]

J一的定義域是（）

2.函數(shù)〃x)=

Igx

A.(0,+oo)B.（o,i）u（i，HC.[O,1)U(1,4W)D.(l,+oo)

3.已知函數(shù)/（x）的定義域是R,若對于任意兩個不相等的實數(shù)占，/，總有成立,

馬—X}

則函數(shù)/（X）一定是（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

4.已知平行四邊形ABCO,點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點（如圖所示），設(shè)A豆=d，AD=b，則EF

5.在等比數(shù)列{4}中，q=l,4=-2,則%等于()

A.256B.-256C.512D.-512

6.已知直線/:y=xsin8+cos。圖像如圖所示，則角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

7.已知圓心為(-2,1)的圓與y軸相切，則該圓的標準方程是()

A.(X+2)2+(JV-1)2=1B.(%+2)2+(y-l)2=4

C.(x-2)2+(y+l)2=lD.(x-2)2+(y+l)2=4

8.現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排

方法的種數(shù)是()

A.12B.120C.1440D.17280

9.在的二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)是()

A.56B.-56C.70D.-70

10.直線21+3)，-6=0關(guān)于點(―1,2)對稱直線方程是()

A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0

C.2x+3y-4=0D.2%+3y-2=0

11.已知aeR,若集合M=N={-1,0,1},則“a=0”是“加三%”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.已知二次函數(shù)y=+法+c的圖像如圖所示，則不等式辦2+A+C>O的解集是()

A.(—2,1)B.(―℃>,—2)l,+oo)C.[—2,1]D.(—oo,-2]U[l,+°°)

13.已知函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，當XG(0,+?>)時，y="(()<a<1),則該函數(shù)在(一肛0)上的圖像大

致是()

A.1>0且3>4B.1>2或4>5

C.SxwH,cosx>1D.Vx￡R,x2>0

15.己知點4（4,3）,B（T,2）,點P在函數(shù)y=V-4x-3圖象的對稱軸上，若麗J.麗，則點P的坐標

是（）

A.（2,-6）或（2,1）B.（―2,-6）或（一2,1）

C.（2,6）或（2,—1）D.（-2,6）m（-2,-1）

16.現(xiàn)有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教室的概率是（）

2111

A.—B.—C.—D.—

25162532

17.已知橢圓的長軸長為10,焦距為8,則該橢圓的短軸長等于（）

A.3B.6C.8D.12

18.已知變量x,N滿足某約束條件，其可行域（陰影部分）如圖所示，則目標函數(shù)z=2x+3y的取值范

C.[4,