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文檔簡介
第第頁北師版選擇性必修·第二冊第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用全章教學(xué)課件(10份打包)(共35張PPT)
§5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
新知初探·課前預(yù)習(xí)
題型探究·課堂解透
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一復(fù)合函數(shù)的概念
一般地,對于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果給定x的一個(gè)值,就得到了u的值,進(jìn)而確定了y的值,那么y可以表示成____________,稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)的____________,記作____________,其中u為中間變量.
要點(diǎn)二復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=φ(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′=_______.即y對x的導(dǎo)數(shù)是__________________________.
x的函數(shù)
復(fù)合函數(shù)
y=f(φ(x))
yu′·ux′
y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積
狀元隨筆
(1)復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).
(2)中學(xué)階段不涉及較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題,只研究y=f(ax+b)型復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),不難得到y(tǒng)′=(ax+b)′·f′(ax+b)=af′(ax+b).
[基礎(chǔ)自測]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)函數(shù)y=log3(x+1)是由y=log3t及t=x+1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的.()
(2)函數(shù)f(x)=e-x的導(dǎo)數(shù)是f′(x)=e-x.()
(3)函數(shù)f(x)=ln(1-x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)=.()
(4)函數(shù)f(x)=sin2x的導(dǎo)數(shù)是f′(x)=2cos2x.()
√
×
×
√
2.(多選題)下列所給函數(shù)為復(fù)合函數(shù)的是()
A.y=ln(x-2)B.y=lnx+x-2
C.y=(x-2)lnxD.y=ln2x
答案:AD
解析:函數(shù)y=ln(x-2)是由函數(shù)y=lnu和u=g(x)=x-2復(fù)合而成的,A符合;函數(shù)y=ln2x是由函數(shù)y=lnu和u=2x復(fù)合而成的,D符合,B與C不符合復(fù)合函數(shù)的定義.故選AD.
3.若函數(shù)f(x)=3cos(2x+),則f′()等于()
A.-3B.3
C.-6D.6
答案:B
解析:由題意得f′(x)=-6sin(2x+),
∴f′()=-6sin
=6sin
=6×
=3.
4.曲線y=e-x在點(diǎn)(0,1)的切線方程為__________.
x+y-1=0
解析:∵y=e-x,
∴y′=-e-x,
∴y′|x=0=-1,
∴切線方程為y-1=-x,
即x+y-1=0.
題型探究·課堂解透
題型一求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)y=;
(2)y=cos(2021x+8);
(3)y=e1-3x;
(4)y=ln(2x-6).
解析:(1)設(shè)u=φ(x)=3-4x,則y=f(u)==u-4,
∴y′x=y(tǒng)′u·u′x=(u-4)′·(3-4x)′=(-4u-5)·(-4)==.
(2)設(shè)u=φ(x)=2021x+8,則y=f(u)=cosu,
∴y′x=f′(u)·φ′(x)=(cosu)′·(2021x+8)′
=(-sinu)·2021
=-2021sin(2021x+8).
(3)設(shè)u=φ(x)=1-3x,則y=f(u)=eu,
∴y′x=f′(u)·φ′(x)=(eu)′·(1-3x)′=eu·(-3)=-3e1-3x.
(4)設(shè)u=φ(x)=2x-6,則y=f(u)=lnu,∴y′x=f′(u)·φ′(x)=(lnu)′·(2x-6)′=×2==.
方法歸納
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟
跟蹤訓(xùn)練1(1)y=(2x-1)4;
(2)y=;
(3)y=sin(-2x+);
(4)y=102x+3.
解析:(1)設(shè)u=φ(x)=2x-1,則y=f(u)=u4,
∴y′x=f′(u)·φ′(x)=(u4)′·(2x-1)′=4u3·2=8(2x-1)3.
(2)設(shè)u=φ(x)=1-2x,則y=f(u)==,
∴y′x=f′(u)·φ′(x)=)′·(1-2x)′=)·(-2)
==.
(3)設(shè)u=φ(x)=-2x+,則y=f(u)=sinu,
∴y′x=f′(u)·φ′(x)=(sinu)′·(-2x+)′=cosu·(-2)
=-2cos(-2x+).
(4)設(shè)u=φ(x)=2x+3,則y=f(u)=10u,
∴y′x=f′(u)·φ′(x)=(10u)′·(2x+3)′=(10u·ln10)×2=(2ln10)102x+3.
題型二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與曲線的切線問題
例2(1)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是________.
2x-y=0
解析:設(shè)x>0,則-x,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,+∞).
題型三復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例3某港口在一天24小時(shí)內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系s(t)=3sin(t+)(0≤t≤24),其中s的單位是m,t的單位是h,求函數(shù)在t=18時(shí)的導(dǎo)數(shù),并解釋它的實(shí)際意義.
解析:設(shè)f(x)=3sinx,x=φ(t)=t+.
由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得
s′(t)=f′(x)·φ′(t)=3cosx·=cos.
將t=18代入s′(t),
得s′(18)=cos=(m/h).
它表示當(dāng)t=18h時(shí),潮水的高度上升的速度為m/h.
方法歸納
將復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義結(jié)合,旨在鞏固函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率,體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)揭示物體某時(shí)刻的變化狀況.
跟蹤訓(xùn)練3放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱為衰變.假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中,其含量M(單位:太貝克)與時(shí)間t(單位:年)滿足函數(shù)關(guān)系:M(t)=,其中M0為t=0時(shí)銫137的含量.已知t=30時(shí),銫137含量的變化率是-10ln2(太貝克/年),則M(60)=()
A.5太貝克B.75ln2太貝克
C.150ln2太貝克D.150太貝克
答案:D
解析:M′(t)=,
由M′(30)==-10ln2,
解得M0=600,
所以M(t)=,
所以t=60時(shí),銫137的含量為M(60)==600×=150(太貝克).故選D.
易錯(cuò)辨析對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不完全致錯(cuò)
例4函數(shù)y=xe1-2x的導(dǎo)數(shù)y′=____________.
(1-2x)e1-2x
解析:y′=e1-2x+x(e1-2x)′
=e1-2x+xe1-2x·(1-2x)′
=e1-2x+xe1-2x(-2)
=(1-2x)e1-2x.
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得
對e1-2x的求導(dǎo)沒有按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行,導(dǎo)致求導(dǎo)不完全致錯(cuò).復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù),分步計(jì)算時(shí),每一步都要明確是對哪個(gè)變量求導(dǎo).
[課堂十分鐘]
1.y=5的導(dǎo)數(shù)是()
A.54
B.5
C.104
D.54
答案:A
解析:令u=3x2+2x,則y=u5,∴u′x=6x+2,y′u=5u4,
∴y′x=y(tǒng)′u·u′x=5.故選A.
2.函數(shù)y=e2x-4在點(diǎn)x=2處的切線方程為()
A.2x-y-3=0
B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0
D.ex+y+2e-1=0
答案:A
解析:∵y=e2x-4,求導(dǎo)得y′=2e2x-4,
則當(dāng)x=2時(shí),y′=2e0=2,所以切線的斜率為2.
又當(dāng)x=2時(shí),y=e2x-4=e0=1,所以切點(diǎn)為(2,1).
所以切線方程為2x-y-3=0.
故選A.
3.(多選題)下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有()
A.′=
B.′=(x+1)ex
C.′=2e2x
D.′=
答案:BC
解析:對于A,′=′=-x-2=-,故錯(cuò)誤;
對于B,′=x′ex+x′=(x+1)ex,故正確;
對于C,′=′e2x=2e2x,故正確;
對于D,′=′=,故錯(cuò)誤.
故選BC.
4.已知f(x)=sin,則f′=____________.
-
解析:由f(x)=sin,可得f′(x)=cos·′=,
故f′==-.
5.設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+.
(1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x);
(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2,求a,b的值.
解析:(1)由f(x)=aexlnx+,
得f′(x)=(aexlnx)′+′
=aexlnx+.
(2)由于切點(diǎn)既在曲線y=f(x)上,又在切線y=e(x-1)+2上,
將x=1代入切線方程得y=2,
將x=1代入函數(shù)f(x)得f(1)=b,
∴b=2.
將x=1代入導(dǎo)函數(shù)f′(x)中,
得f′(1)=ae=e,
∴a=1.(共40張PPT)
7.1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義
7.2實(shí)際問題中的最值問題
新知初探·課前預(yù)習(xí)
題型探究·課堂解透
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義
在日常生活和科學(xué)領(lǐng)域中,有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來理解的量.以中學(xué)物理為例,速度是________關(guān)于________的導(dǎo)數(shù),線密度是________關(guān)于________的導(dǎo)數(shù),功率是________關(guān)于________的導(dǎo)數(shù)等.
要點(diǎn)二最優(yōu)化問題
在實(shí)際問題中,經(jīng)常會遇到解決一些如面積最小、體積最大、成本最低、時(shí)間最少等問題,這些問題通稱為最優(yōu)化問題.導(dǎo)數(shù)是解決最優(yōu)化問題的一個(gè)重要工具.
路程
時(shí)間
質(zhì)量
長度
功
時(shí)間
[基礎(chǔ)自測]
1.如果物體做直線運(yùn)動的方程為s(t)=2(1-t)2,則其在t=4s時(shí)的瞬時(shí)速度為()
A.12B.-12
C.4D.-4
答案:A
解析:s′(t)=-4(1-t).
t=4s時(shí),s′(4)=12.
所以瞬時(shí)速度為12.
故選A.
2.將8分為兩數(shù)之和,使其立方之和為最小,則分法為()
A.2和6B.4和4
C.3和5D.以上都不對
答案:B
解析:設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x,則另一個(gè)數(shù)為8-x,y=x3+(8-x)3,0≤x≤8,y′=3x2-3(8-x)2,
令y′=0,即3x2-3(8-x)2=0,得x=4.
當(dāng)0≤x≤4時(shí),y′0.
所以當(dāng)x=4時(shí),y最?。?/p>
故選B.
3.要做一個(gè)圓錐形的漏斗,其母線長為20cm,要使其體積最大,則高為()
A.B.
C.D.
答案:D
解析:設(shè)圓錐的高為xcm,體積為V(x),則底面半徑為cm,
V(x)=πx(202-x2)(00;
當(dāng)0,f(x)在區(qū)間(36,720)內(nèi)為增函數(shù),
所以f(x)在x=36處取得最小值,
此時(shí)n=-1=19,即需要新建19個(gè)增壓站才能使y最小.
方法歸納
利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題.當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)=0時(shí),如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小)值.
跟蹤訓(xùn)練2某商場為了獲得更大的利潤,每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調(diào)查,每年投入廣告費(fèi)t(百萬元),可增加的銷售額為-t2+5t(百萬元)(0≤t≤3).
(1)若該商場將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在三百萬元以內(nèi),則應(yīng)投入多少廣告費(fèi),才能使公司由廣告費(fèi)而產(chǎn)生的收益最大.(注:收益=銷售額-投入費(fèi)用)
(2)現(xiàn)在該商場準(zhǔn)備投入三百萬元,分別用于廣告促銷和技術(shù)改造.經(jīng)預(yù)算,每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬元),可增加的銷售額約為+x2+3x(百萬元),請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案,使該商場由這兩項(xiàng)共同產(chǎn)生的收益最大.
解析:(1)設(shè)投入廣告費(fèi)t(百萬元)后由此增加的收益為f(t)(百萬元),則f(t)=-t2+5t-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3).所以當(dāng)t=2時(shí),f(t)max=4,即當(dāng)商場投入兩百萬元廣告費(fèi)時(shí),才能使商場由廣告費(fèi)而產(chǎn)生的收益最大.
(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元),則用于廣告促銷的費(fèi)用為(3-x)(百萬元),則由此兩項(xiàng)所增加的收益為g(x)=-x3+x2+3x+[-(3-x)2+5(3-x)]-3=+4x+3.
對g(x)求導(dǎo),得g′(x)=-x2+4,令g′(x)=-x2+4=0,得x=2或x=-2(舍去).
當(dāng)00,即g(x)在[0,2)上單調(diào)遞增;
當(dāng)2ln2-1且x>0時(shí),ex>x2-2ax+1.
構(gòu)造函數(shù)
g(x)=ex-x2+2ax-1.
解析:(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,得f′(x)=ex-2,x∈R,令f′(x)=0,得x=ln2.于是當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
故f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,ln2),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2,+∞).
f(x)在x=ln2處取得極小值,極小值f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a),無極大值.
x(-∞,ln2)ln2(ln2,+∞)
f′(x)-0+
f(x)2(1-ln2+a)
(2)證明:設(shè)g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知當(dāng)a>ln2-1時(shí),g′(x)最小值為g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是對任意x∈R,都有g(shù)′(x)>0,
所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.
于是當(dāng)a>ln2-1時(shí),對任意x∈(0,+∞),
都有g(shù)(x)>g(0).
又g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
方法歸納
關(guān)于證明問題
首先分析要證明的命題是否與函數(shù)的最值、單調(diào)性等性質(zhì)有關(guān),如果有關(guān)則轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的問題證明;其次是針對要證明的命題構(gòu)造函數(shù),再通過構(gòu)造的函數(shù)性質(zhì)證明,函數(shù)的證明問題往往都比較復(fù)雜,需要綜合應(yīng)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識進(jìn)行構(gòu)造、轉(zhuǎn)化等方式證明.
角度2函數(shù)的零點(diǎn)問題
例4若函數(shù)f(x)=ex-ax2,a∈R在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析:由f(x)=0可得=,令k(x)=(x∈(0,+∞)),
則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即直線y=與函數(shù)k(x)的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),k′(x)==,令k′(x)=0得x=2,
當(dāng)x∈(0,2)時(shí),k′(x)>0,當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),k′(x)2時(shí),>0,所以當(dāng)0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
所以,若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
方法歸納
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法
(1)分離參數(shù)法:首先分離出參數(shù),然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值,根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.
(2)分類討論法:結(jié)合單調(diào)性,先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn),在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意,將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起,即為所求參數(shù)范圍.
跟蹤訓(xùn)練3(1)若函數(shù)f(x)=lnx+-a有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為________.
1
解析:由f(x)=lnx+-a,(00時(shí),x2ln2時(shí),f′(x)>0,f(x)在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=ln2時(shí),f(x)取得極小值,
且極小值為f(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2,
f(x)無極大值.
②證明:令g(x)=ex-x2,則g′(x)=ex-2x.
由①得g′(x)=f(x)≥f(ln2)>0,
故g(x)在R上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)=1>0,即x20,函數(shù)在(-1,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),y′0,當(dāng)x∈(6,8)時(shí),g′(x)0,可得01,
即有f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+∞).
(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),由(1)可得f(x)=lnx-x+1在(1,+∞)遞減,
可得f(x)0,所以x∈(0,1].故選D.
2.函數(shù)f(x)=x3+ax-2在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.[3,+∞)B.[-3,+∞)
C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)
答案:B
解析:f′(x)=3x2+a,由題意知3x2+a≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,所以a≥-3x2在x∈(1,+∞)上恒成立.所以a≥-3.故選B.
3.已知函數(shù)f(x)=+lnx,則有()
A.f(e)0,
所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
又20,則3x2-3>0.
即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x0時(shí),令f′(x)>0,則x2>b,所以x>或x0恒成立,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞).
方法歸納
(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先要確定函數(shù)的定義域,解決問題的過程中只能在定義域內(nèi),通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè),那么這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“∪”連結(jié),而只能用“逗號”或“和”字隔開.
跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
(1)y=ln(2x+3)+x2;
(2)y=x2+alnx(a∈R,a≠0).
解析:(1)函數(shù)y=ln(2x+3)+x2的定義域?yàn)?-,+∞).
y′=+2x==.
令y′>0,解得--.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
令y′0時(shí),函數(shù)的定義域是(0,+∞),于是有f′(x)=x+>0,所以函數(shù)只有單調(diào)遞增區(qū)間(0,+∞).
②當(dāng)a0,得x>;
由f′(x)=x+0時(shí),f(x)只有單調(diào)遞增區(qū)間(0,+∞);當(dāng)a有解,而當(dāng)x∈[1,4]時(shí),=-1(此時(shí)x=1),所以a>-1,又因?yàn)閍≠0,所以a的取值范圍是(-1,0)
變式探究3本例中的條件“h(x)在[1,4]上單調(diào)遞減”改為“h(x)在[1,4]上不單調(diào),”則實(shí)數(shù)a的取值范圍又如何呢?
解析:因?yàn)閔(x)在[1,4]上不單調(diào),所以h′(x)=0在(1,4)上有解,即a==-1在(1,4)上有解,
令m(x)=,x∈(1,4),則-10,得x>2或x0,若f(x)在(0,1]上是增函數(shù),則a的取值范圍為__________.
解析:由題意知f′(x)=2a-3x2,且方程f′(x)=0的根為有限個(gè),則f(x)在(0,1]上為增函數(shù)等價(jià)于f′(x)=2a-3x2≥0對x∈(0,1]恒成立.即a≥x2對x∈(0,1]恒成立,只需a≥即可.由x∈(0,1]得x2∈,從而a≥.所以a的取值范圍為.
題型三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題
角度1比較大小
例3(1)若函數(shù)f(x)=cosx+2xf′,則f與f的大小關(guān)系是()
A.f=f
B.f>f
C.f0的解集為()
A.(-∞,-4)
B.(-∞,-1)
C.(-1,4)
D.(-4,1)
答案:C
解析:由題意可知,函數(shù)f(x)的定義域是R.
因?yàn)閒′(x)=1-cosx≥0,所以函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù).
因?yàn)閒(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
因?yàn)椴坏仁絝(1-x2)+f(3x+3)>0可轉(zhuǎn)化為f(1-x2)>-f(3x+3)=f[-(3x+3)],
所以1-x2>-(3x+3),即x2-3x-40,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)0成立,
∴F(x)在區(qū)間(-∞,0)上是增函數(shù),
可得它在區(qū)間(0,+∞)上也是增函數(shù).
∵g(-3)=0,可得F(-3)=0,∴F(3)=0.
當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)(x)=f(x)g(x)f(x),則當(dāng)a>0時(shí),f(a)與eaf(0)的大小關(guān)系為()
A.f(a)eaf(0)
C.f(a)=eaf(0)D.不能確定
答案:B
解析:令F(x)=,則F′(x)=.
∵f′(x)>f(x),∴F′(x)>0,∴F(x)在R上單調(diào)遞增.
∴當(dāng)a>0時(shí),則有F(a)>F(0),即>,
即f(a)>eaf(0),故選B.
(2)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f′(x)>f(x),則不等式ex-1f(x)f(x),∴F′(x)>0.
∴函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞增.
∵ex-1f(x)1,
故不等式ex-1f(x)0在R上恒成立,解得a>.設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則當(dāng)f′(x)>0時(shí),f(x)為增函數(shù),其解集為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)f′(x)0(f′(x)0(f′(x)0,解得x≥1.所以單調(diào)增區(qū)間是[1,+∞).
2.若f(x)=,eA.f(a)>f(b)B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
答案:A
解析:因?yàn)閒′(x)==.當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),1-lnxf(b).
3.已知函數(shù)f(x)=x-sinx,則不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是()
A.B.
C.(-∞,3)D.(3,+∞)
答案:C
解析:因?yàn)閒(x)=x-sinx,所以f(-x)=-x+sinx=-f(x),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=1-cosx≥0,則函數(shù)f(x)是增函數(shù),則不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等價(jià)為f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x-1,
∴b≤-1.
5.已知f(x)=aex-x-1.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
解析:(1)因?yàn)閒′(x)=aex-1,
當(dāng)a≤0時(shí),有f′(x)0時(shí),令f′(x)≥0,得ex≥,有x≥-lna.
f′(x)<0,得x<-lna.
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞),
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-lna,+∞),遞減區(qū)間是(-∞,-lna).
(2)f′(x)=aex-1.若f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,
則aex-1≤0在(-∞,0]上恒成立,即a≤,
而當(dāng)x∈(-∞,0]時(shí),≥1,所以a≤1;
若f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以aex-1≥0在[0,+∞)上恒成立.
即a≥,而當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),≤1.所以a≥1.
綜上可得a=1,故存在a=1滿足條件.(共41張PPT)
6.3函數(shù)的最值
新知初探·課前預(yù)習(xí)
題型探究·課堂解透
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
1.最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)
函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的最大值點(diǎn)x0指的是:函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)處的函數(shù)值都________f(x0).
函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的最小值點(diǎn)x0指的是:函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)處的函數(shù)值都________f(x0).
不超過
不低于
2.最大值與最小值
最大(小)值或者在______________取得,或者在______________取得.因此,要想求函數(shù)的最大(小)值,應(yīng)首先求出函數(shù)的極大(小)值點(diǎn),然后將所有極大(小)值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的________進(jìn)行比較,其中____________即為函數(shù)的最大(小)值.
函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為________.
極大(小)值點(diǎn)
區(qū)間的端點(diǎn)
函數(shù)值
最大(小)的值
最值
狀元隨筆
(1)函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念.函數(shù)極值是在局部區(qū)間上對函數(shù)值的比較,具有相對性;而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況,是對整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較.
(2)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值,則最大值或最小值只能各有一個(gè),具有唯一性,而極大值和極小值可能多于一個(gè),也可能沒有,例如:常數(shù)函數(shù)就既沒有極大值也沒有極小值.
(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值則可以在端點(diǎn)處取得;有極值的不一定有最值,有最值的也未必有極值;極值有可能成為最值,最值只要不在端點(diǎn)處取必定是極值.
[基礎(chǔ)自測]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值,一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得.()
(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.()
(3)在定義域內(nèi),若函數(shù)有最值與極值,則極大(小)值就是最大(小)值.()
(4)若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值,則最大(小)值最多有一個(gè);若有極值,則可有多個(gè).()
×
√
×
√
2.函數(shù)f(x)=4x-x4在x∈[-1,2]上的最大值、最小值分別是()
A.f(1)與f(-1)B.f(1)與f(2)
C.f(-1)與f(2)D.f(2)與f(-1)
答案:B
解析:f′(x)=4-4x3,令f′(x)>0,
即4-4x3>0x1.
∴f(x)=4x-x4在x=1時(shí)取得極大值,且f(1)=3,而f(-1)=-5,f(2)=-8,
∴f(x)=4x-x4在[-1,2]上的最大值為f(1),最小值為f(2),故選B.
3.函數(shù)f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上()
A.無最值B.有極值
C.有最大值D.有最小值
答案:A
解析:f′(x)=2+sinx>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,無極值,也無最值.
4.已知函數(shù)f(x)=sinx-2x-a,若f(x)在[0,π]上的最大值為-1,則實(shí)數(shù)a的值是________.
1
解析:f′(x)=cosx-20,解得:x>,
令y′0時(shí),f(x)在[0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(a)=-a3.
②當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以=f(0)=0.
③當(dāng)a0時(shí),f(x)min=-a3;
當(dāng)a=0時(shí),f(x)min=0;當(dāng)a0”這一條件,求函數(shù)f(x)在[-a,2a]上的最值.
解析:f′(x)=(3x+a)(x-a)(a>0),
令f′(x)=0,得x1=-0)在x=1處取得極值-3-c,其中a,b,c為常數(shù).若對任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范圍.
解析:由題意知f(1)=-3-c
因此b-c=-3-c,從而b=-3.
對f(x)求導(dǎo),得f′(x)=4ax3lnx+ax4·+4bx3=x3(4alnx+a+4b).
由題意,知f′(1)=0,得a+4b=0,解得a=12,
從而f′(x)=48x3lnx(x>0).令f′(x)=0,解得x=1.
當(dāng)01時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)為增函數(shù).
所以f(x)在x=1處取得極小值f(1)=-3-c,
并且此極小值也是最小值.
所以要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立,只需-3-c≥-2c2即可.
整理得2c2-c-3≥0,解得c≥或c≤-1.
所以c的取值范圍為(-∞,-1].
易錯(cuò)辨析混淆極值與最值致錯(cuò)
例4已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+5,在x=-2和x=處取得極值.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)求函數(shù)f(x)在[-4,1]上的最值.
解析:(1)因?yàn)閒(x)=x3-ax2+bx+5,所以f′(x)=3x2-2ax+b,因?yàn)樵趚=-2和x=處取得極值,
所以解得
所以f(x)=x3+2x2-4x+5.
(2)因?yàn)閒′(x)=3x2+4x-4,所以由f′(x)=0,解得x=-2或x=,所以f(x)在[-4,-2)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
因?yàn)閒(-4)=-11,f(-2)=13,f=,f(1)=4.所以f(x)max=f(-2)=13,f(x)min=f(-4)=-11.
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得
沒有比較端點(diǎn)值和極值的大小,錯(cuò)誤認(rèn)為極值就是最值.求區(qū)間的端點(diǎn)值和極值,并比較大小,取得最大的為最大值,最小的為最小值.
[課堂十分鐘]
1.函數(shù)f(x)=x2ex,x∈[-2,1]的最大值為()
A.4e-2B.0
C.e2D.e
答案:D
解析:因?yàn)閒′(x)=(x2+2x)·ex=x(x+2)·ex,令f′(x)=0,x=0或x=-2,所以f(x)在(-2,0)單調(diào)遞減,在(0,1)單調(diào)遞增.又f(-2)=1,所以f(x)max=e.故選D.
2.函數(shù)y=x+2cosx在[0,]上取最大值時(shí),x的值為()
A.0B.
C.D.
答案:B
解析:y′=1-2sinx,
令y′=1-2sinx=0,
得sinx=.
又x∈[0,],
∴x=.
當(dāng)x∈(0,)時(shí),f′(x)>0,
當(dāng)x∈()時(shí),f′(x)0,
所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,無最小值.
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=3(x-)(x+).
當(dāng)x∈(-∞,-)和(,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(-)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)0單調(diào)________
f′(x)0B.f′(3)0時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x0;命題乙:f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞增的,則甲是乙的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案:A
解析:例如取f(x)=x3(-10(即全部在x軸上方),故排除A、C.從原函數(shù)圖象上可以看出,在區(qū)間(0,x1)上原函數(shù)是增函數(shù),f′(x)>0;在區(qū)間(x1,x2)上原函數(shù)是減函數(shù),f′(x)0,故排除B,故選D.
(2)(多選題)設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y=f(x)和y=f′(x)的圖象畫在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,正確的是()
答案:ABC
解析:A,B,C均有可能;對于D,若C1為導(dǎo)函數(shù),則y=f(x)應(yīng)為增函數(shù),不符合;若C2為導(dǎo)函數(shù),則y=f(x)應(yīng)為減函數(shù),也不符合,D不可能,故選ABC.
方法歸納
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間的關(guān)系
判斷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間的對應(yīng)關(guān)系時(shí),首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象,其次再注意以下兩個(gè)方面:
(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),若f′(x)>0,則y=f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增;如果f′(x)0且越來越大f′(x)>0且越來越小
函數(shù)值減少得越來越快函數(shù)值減少得越來越慢
f′(x)0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則由導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可知:f(x)先單調(diào)遞減,再單調(diào)遞增,然后單調(diào)遞減,最后單調(diào)遞增,排除A、C,且f′(0)>0,所以在x=0附近函數(shù)應(yīng)單調(diào)遞增,排除B.故選D.
(2)已知y=x·f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象可能是()
答案:D
解析:當(dāng)x>0時(shí),y=x·f′(x)在[0,b]上恒大于等于零f′(x)≥0,在[0,b]上恒成立,故f(x)在[0,b]上遞增,當(dāng)x≤0時(shí),f′(x)≤0在(-∞,0]上恒成立,故f(x)在(-∞,0]上遞減,只有D滿足,故選D.
題型二用導(dǎo)數(shù)研究不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性
例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性
(1)f(x)=x2-lnx;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=x3+.
解析:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
f′(x)=2x-=,
因?yàn)閤>0,所以x+1>0,
令f′(x)>0,解得x>,
所以函數(shù)f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增,
令f′(x)0,(x-2)2>0,
令f′(x)>0,得x>3,所以函數(shù)f(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞增;
令f′(x)0,得x1,
所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增;
令f′(x)0(或f′(x)0且x∈(0,5),可得0,試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
解析:函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=ax-(a+1)+==,
①當(dāng)01,
∴x∈(0,1)和(,+∞)時(shí),f′(x)>0;
x∈時(shí),f′(x)1時(shí),00;
x∈)時(shí),f′(x)1時(shí),函數(shù)f(x)在和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
變式探究本例中的條件“a>0”改為“a∈R”,結(jié)果如何?
解析:a>0時(shí),討論同上;
當(dāng)a≤0時(shí),ax-10,x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)1時(shí),函數(shù)f(x)在和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
方法歸納
在討論含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性時(shí),若f′(x)中的參數(shù)不容易判斷其正負(fù)時(shí),需要對參數(shù)進(jìn)行分類,分類的標(biāo)準(zhǔn):
(1)按導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)分大類;
(2)在大類中再按導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的大小分小類;
(3)在小類中再按零點(diǎn)是否在定義域中分類.
跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x,討論f(x)的單調(diào)性.
解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),
f′(x)=ex(ex-a)+ex·ex-a2=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,則f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
②若a>0,則由f′(x)=0得x=lna.
當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f′(x)0.
故f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.
③若a0.
故f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
易錯(cuò)辨析討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)忽略定義域致錯(cuò)
例4已知函數(shù)f(x)=,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)
f′(x)=.
由f′(x)=0,可得x=e.
則當(dāng)0e時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù).
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得
忽略了函數(shù)f(x)的定義域.在討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要特別注意函數(shù)的定義域.
[課堂十分鐘]
1.已知f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象可能是()
答案:C
解析:由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x0,即函數(shù)f(x)為增函數(shù);當(dāng)0x1時(shí),f′(x)>0,即函數(shù)f(x)為增函數(shù),觀察選項(xiàng)易知C正確,故選C.
2.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且在(-∞,0)上f′(x)<0,則在(0,+∞)上f(x)的單調(diào)性是()
A.遞增B.遞減
C.先減后增D.先增后減
答案:A
解析:∵在(-∞,0)上f′(x)<0,故f(x)在(-∞,0)上遞減,
又函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,∴在(0,+∞)上f(x)遞增.故選A.
3.“m0),
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)0時(shí),令f′(x)=0,則x=,
∴當(dāng)0時(shí),f′(x)>0,
∴f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞),無單調(diào)遞增區(qū)間;
當(dāng)a>0時(shí),f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增是(,+∞).(共31張PPT)
§1平均變化率與瞬時(shí)變化率
新知初探·課前預(yù)習(xí)
題型探究·課堂解透
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一平均變化率
對一般的函數(shù)y=f(x)來說,當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時(shí),函數(shù)值從f(x1)
變?yōu)閒(x2),它的平均變化率為____________.通常我們把自變量的變化________稱作自變量x的________,記作________,函數(shù)值的變化________稱作函數(shù)值y的________,記作________.這樣,函數(shù)的平均變化率就可以表示為________的改變量與________的改變量之比,
即=____________.我們用它來刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的________.
x2-x1
改變量
Δx
f(x2)-f(x1)
改變量
Δy
函數(shù)值
自變量
快慢
狀元隨筆
函數(shù)的平均變化率可正可負(fù),反映函數(shù)y=f(x)在[x1,x2]上變化的快慢,變化快慢是由平均變化率的絕對值決定的,且絕對值越大,函數(shù)值變化得越快.
要點(diǎn)二瞬時(shí)變化率
對于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中,若設(shè)Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),則函數(shù)的平均變化率是=____________=________________.
當(dāng)Δx趨于0時(shí),平均變化率就趨于函數(shù)在________的瞬時(shí)變化率.瞬時(shí)變化率刻畫的是函數(shù)在________變化的快慢.
x0點(diǎn)
一點(diǎn)處
狀元隨筆
平均速度和瞬時(shí)速度都是反映運(yùn)動物體的位移隨時(shí)間變化而變化的情況.平均速度是運(yùn)動物體在一個(gè)時(shí)間段里位移的改變量與這段時(shí)間的比值,而瞬時(shí)速度是運(yùn)動物體在某一時(shí)刻的速度,當(dāng)一個(gè)時(shí)間段趨于0時(shí)的平均速度就是瞬時(shí)速度.
[基礎(chǔ)自測]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)Δx趨近于0表示Δx=0.()
(2)平均速度與瞬時(shí)速度有可能相等.()
(3)平均變化率是刻畫某函數(shù)在某區(qū)間上變化快慢的物理量.()
(4)一物體的運(yùn)動方程是S=at2(a為常數(shù)),則該物體在t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度是at0.()
×
√
√
√
2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律s(t)=t2+3,則從3到3.3內(nèi),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的平均速度為()
A.6.3B.36.3
C.3.3D.9.3
答案:A
解析:s(3)=12,s(3.3)=13.89
∴===6.3,故選A.
3.如果質(zhì)點(diǎn)M按照規(guī)律s=3t2運(yùn)動,則在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為()
A.6B.18
C.54D.81
答案:B
解析:==18+3Δt,
s′===18,故選B.
4.函數(shù)f(x)=8x-6在區(qū)間[m,n]上的平均變化率為________.
8
解析:平均變化率為==8.
題型探究·課堂解透
題型一求函數(shù)的平均變化率
例1已知函數(shù)f(x)=2x2+1,
(1)求函數(shù)f(x)在[2,2.01]上的平均變化率;
(2)求函數(shù)f(x)在[x0,x0+Δx]上的平均變化率.
解析:(1)由f(x)=2x2+1
得Δy=f(2.01)-f(2)=0.0802
Δx=2.01-2=0.01
∴==8.02.
(2)∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=-1=2Δx(2x0+Δx)
∴==4x0+2Δx.
方法歸納
1.求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟
第一步,求自變量的增量Δx=x2-x1.
第二步,求函數(shù)值的增量Δy=f(x2)-f(x1).
第三步,求平均變化率=.
2.求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)
求點(diǎn)x0附近的平均變化率,可用的形式.
跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均變化率是()
A.2B.2x
C.2+ΔxD.2+(Δx)2
答案:C
解析:∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,
∴==2+Δx.
故選C.
題型二平均變化率的實(shí)際應(yīng)用
例2甲、乙兩人走過的路程s1(t),s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示,試比較兩人的速度哪個(gè)快?
解析:在t0處,s1(t0)=s2(t0),
但s1(t0-Δt)>s2(t0-Δt),
故0)
∴Δs=s(3+Δt)-s(3)
=5×(3+Δt)2-5×32
=5×Δt×(6+Δt)
∴==30+5Δt,
當(dāng)Δt趨于0時(shí),趨于30,
∴在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為30m/s.
方法歸納
求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率的步驟
1.求Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
2.計(jì)算,并化簡,直到當(dāng)Δx=0時(shí)有意義為止;
3.將Δx=0代入化簡后的即得瞬時(shí)變化率.
跟蹤訓(xùn)練3一輛汽車按規(guī)律s=at2+1做直線運(yùn)動,若汽車在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為12,求a.
解析:∵s=at2+1,
∴s(2+Δt)=a(2+Δt)2+1=4a+4a·Δt+a·(Δt)2+1.
于是Δs=s(2+Δt)-s(2)=4a+4a·Δt+a·(Δt)2+1-(4a+1)-4a·Δt+a·(Δt)2,
∴==4a+a·Δt,
當(dāng)Δt趨于0時(shí),趨于4a.
依據(jù)題意有4a=12.
∴a=3.
易錯(cuò)辨析不能正確識圖致誤
例4A,B兩機(jī)關(guān)單位開展節(jié)能活動,活動開始后兩機(jī)關(guān)的用電量W1(t),W2(t)與時(shí)間t(天)的關(guān)系如圖所示,則一定有()
A.兩機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果一樣好
B.A機(jī)關(guān)單位比B機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果好
C.A機(jī)關(guān)單位的用電量在[0,t0]上的平均變化率
比B機(jī)關(guān)單位的用電量在[0,t0]上的平均變化率大
D.A機(jī)關(guān)單位與B機(jī)關(guān)單位自節(jié)能以來用電量總是一樣大
答案:B
解析:由題可知,A機(jī)關(guān)單位所對應(yīng)的圖象比較陡峭,B機(jī)關(guān)單位所對應(yīng)的圖象比較平緩,且用電量在[0,t0]上的平均變化率都小于0,故一定有A機(jī)關(guān)單位比B機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果好.故選B.
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得
兩機(jī)關(guān)單位在(0,t0)上用電量的平均變化率都取負(fù)值,平均變化率比較大小易錯(cuò),易錯(cuò)選C.識圖時(shí),一定要結(jié)合題意弄清圖形所反映的量之間的關(guān)系,特別是單調(diào)性,增長(減少)的快慢要弄清.
[課堂十分鐘]
1.如圖,函數(shù)y=f(x)在A,B兩點(diǎn)間的平均變化率等于()
A.1B.-1
C.2D.-2
答案:B
解析:平均變化率為=-1.
故選B.
2.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方程為s=5-3t2,則在一段時(shí)間[1,1+Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()
A.3Δt+6B.-3Δt+6
C.3Δt-6D.-3Δt-6
答案:D
解析:==-6-3Δt.
故選D.
3.設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(x)=1100+,其中x為產(chǎn)量數(shù),生產(chǎn)900個(gè)單位到1000個(gè)單位時(shí)總成本的平均變化率為________.
解析:==.
4.在F1賽車中,賽車位移s與比賽時(shí)間t存在函數(shù)關(guān)系s=10t+5t2(s的單位為m,t的單位為s),求:
(1)t=20,Δt=0.1時(shí)Δs與;
(2)t=20時(shí)的瞬時(shí)速度.
解析:(1)Δs=s(20+Δt)-s(20)
=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-10×20-5×202
=1+20+5×0.01=21.05(m),
==210.5(m/s).
(2)∵=
=5Δt+210,
當(dāng)Δt趨于0時(shí),趨于210,
所以在t=20時(shí)的瞬時(shí)速度為210m/s.(共27張PPT)
§2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
新知初探·課前預(yù)習(xí)
題型探究·課堂解透
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念
設(shè)函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x從x0變到x1時(shí),函數(shù)值y從f(x0)變到f(x1),函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為=___________=.
當(dāng)x1趨于x0,即Δx趨于0時(shí),如果平均變化率趨于一個(gè)________,那么這個(gè)值就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率,在數(shù)學(xué)中,稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),通常用符號f′(x0)表示,記作f′(x0)==.
固定的值
要點(diǎn)二割線的定義
函數(shù)y=f(x)在[x0,x0+Δx]的平均變化率為,它是過A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))兩點(diǎn)的直線的________,這條直線稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的一條割線.
要點(diǎn)三切線的定義
當(dāng)Δx趨于零時(shí),點(diǎn)B將沿著曲線y=f(x)趨于________,割線AB將繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動最后趨于直線l,直線l和曲線y=f(x)在點(diǎn)A處“相切”,稱直線l為曲線y=f(x)在________處的切線.
要點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的___________.
斜率
點(diǎn)A
點(diǎn)A
切線的斜率
[基礎(chǔ)自測]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域與函數(shù)f(x)的定義域相同.()
(2)在導(dǎo)數(shù)的定義中,Δx,Δy都不可能為零.()
(3)直線與曲線相切,則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).()
(4)函數(shù)f(x)=0沒有導(dǎo)函數(shù).()
×
×
×
×
2.函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是()
A.在該點(diǎn)的函數(shù)的增量與自變量的增量的比
B.一個(gè)函數(shù)
C.一個(gè)常數(shù),不是變數(shù)
D.函數(shù)在這一點(diǎn)到它附近一點(diǎn)之間的平均變化率
答案:C
解析:由導(dǎo)數(shù)的定義可知,函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限值,是個(gè)常數(shù).
故選C.
3.設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo),則等于()
A.f′(1)B.3f′(1)
C.f′(1)D.以上都不對
答案:A
解析:由f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)的定義知,應(yīng)選A.
故選A.
4.拋物線y=x2+4在點(diǎn)(-2,8)處的切線方程為________.
y=-4x
解析:
=
=
=-4+Δx
令Δx趨于0,則f′(-2)=-4,
在點(diǎn)(-2,8)處的切線方程為:y-8=-4(x+2),
即y=-4x.
題型探究·課堂解透
題型一在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義
例1建造一幢面積為xm2的房屋需要成本y萬元.假設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=100處的導(dǎo)數(shù)為f′(100)=0.1,請解釋它們的實(shí)際意義.
解析:f′(100)=0.1表示建筑面積為100m2時(shí),成本增加的速度為1000元/m2,也就是說當(dāng)建筑面積為100m2時(shí),每增加1m2的建筑面積,成本就要增加1000元.
方法歸納
結(jié)合實(shí)例,明確在實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的含義以及需要用導(dǎo)數(shù)概念來理解的量.
跟蹤訓(xùn)練1某河流在一段時(shí)間xmin內(nèi)流過的水量為ym3,y是x的函數(shù),若函數(shù)y=f(x)在x=27處的導(dǎo)數(shù)f′(27)=,試解釋它的實(shí)際意義.
解析:當(dāng)時(shí)間為27min時(shí),水流量增加的速度為m3/min,也就是說當(dāng)時(shí)間為27min時(shí),每增加1min,水流量增加m3.
題型二求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
例2利用導(dǎo)數(shù)的定義,求函數(shù)y=f(x)=+2在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù).
解析:∵Δy=
=
∴=
當(dāng)Δx趨于0,知函數(shù)f(x)=+2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為-2,
∴f′(1)=-2.
方法歸納
求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法
(1)求Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求=;
(3)當(dāng)Δx趨于0時(shí),得f′(x0).
跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)f(x)=2x2+4x在x=3處的導(dǎo)數(shù).
解析:∵Δy=f(3+Δx)-f(3)=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)
=12Δx+2(Δx)2+4Δx
=2(Δx)2+16Δx
∴==2Δx+16.
當(dāng)Δx趨于0時(shí),=16,∴f′(3)=16.
題型三求曲線在某點(diǎn)處的切線方程
例3已知曲線C:y=x3+,求曲線C上的橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程.
解析:將x=2代入曲線C的方程得y=4,
∴切點(diǎn)P(2,4),
∵==,
∴當(dāng)Δx趨于0時(shí),
曲線y=x3+在x=2處的導(dǎo)數(shù)y′=4,
∴曲線y=x3+在點(diǎn)(-2,-1)處的切線方程為:y-4=4(x-2).
即4x-y-4=0.
方法歸納
求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟
(1)求斜率:求出曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率f′(x0);
(2)寫方程:用點(diǎn)斜式y(tǒng)-f(x0)=f′(x0)(x-x0)寫出切線方程;
(3)變形式:將點(diǎn)斜式變?yōu)橐话闶剑?/p>
跟蹤訓(xùn)練3求曲線f(x)=在點(diǎn)(-2,-1)處的切線方程.
解析:===
當(dāng)Δx趨于0時(shí),f(x)=在x=-2處的導(dǎo)數(shù)為f′(-2)=-,
∴曲線y=在點(diǎn)(-2,-1)處的切線方程為y+1=-(x+2),
即x+2y+4=0.
易錯(cuò)辨析對切線的理解不全面致誤
例4已知曲線f(x)=上的一點(diǎn)P(0,0),求曲線在點(diǎn)P處的切線方程.
解析:===,
當(dāng)Δx趨于0時(shí),割線的傾斜角無限趨近于,
斜率不存在,故曲線在點(diǎn)P處的切線為y軸,
即切線方程為x=0.
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得
誤認(rèn)為函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)不存在,則曲線在該點(diǎn)處的切線就不存在.函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)是曲線在該點(diǎn)處存在切線的充分不必要條件.因此,在求曲線上某點(diǎn)處的切線方程時(shí),如果導(dǎo)數(shù)不存在,可由切線的定義來求切線方程.
[課堂十分鐘]
1.函數(shù)y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為()
A.2xB.2+Δx
C.2D.1
答案:C
解析:==2+Δx,
當(dāng)Δx趨于0時(shí),函數(shù)y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為2.
故選C.
2.設(shè)f′(x0)=0,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線()
A.不存在B.與x軸平行或重合
C.與x軸垂直D.與x軸斜交
答案:B
解析:∵f′(x0)=0,
∴點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率為0.
故選B.
3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是()
A.0>f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)f′(xB)>0
答案:B
解析:f′(xA)和f′(xB)分別表示函數(shù)圖象在點(diǎn)A,B處的切線斜率,故f′(xA)0,所以y=f(x)在x=0處切線的斜率大于0,故C不正確.故選AD.
3.函數(shù)y=(x2-1)3+1的極值點(diǎn)是()
A.極大值點(diǎn)x=-1B.極大值點(diǎn)x=0
C.極小值點(diǎn)x=0D.極小值點(diǎn)x=1
答案:C
解析:y′=6x(x2-1)2=0有三個(gè)根,x1=-1,x2=0,x3=1,由解y′>0得x>0;由解y′0得04
所以函數(shù)y=-x3+6x2+m在(-∞,0)和(4,+∞)上單調(diào)遞減,在(0,4)上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)y=-x3+6x2+m在x=4處取得極大值.
所以-43+6×42+m=13.
解得m=-19.
題型探究·課堂解透
題型一求函數(shù)的極值(點(diǎn))
例1(1)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1-x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是()
A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)
C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)
D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)
答案:D
解析:由函數(shù)的圖象可知,f′(-2)=0,f′(2)=0,并且當(dāng)x0;當(dāng)-22時(shí),f′(x)>0,則函數(shù)f(x)有極小值f(2),故選D.
(2)求下列函數(shù)的極值:
①f(x)=x3-x2-3x;
②f(x)=x4-4x3+5;
③f(x)=.
解析:①函數(shù)的定義域?yàn)镽.
f′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.
由此可知當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表所示:
當(dāng)x=-1時(shí),f(x)有極大值.
當(dāng)x=3時(shí),f(x)有極小值-9.
x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)極大值極小值
②因?yàn)閒(x)=x4-4x3+5,
所以f′(x)=4x3-12x2=4x2(x-3).
令f′(x)=4x2(x-3)=0,得x1=0,x2=3.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x)與f(x)的變化情況如下表:
故當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)取得極小值,且f(3)=-22,無極大值.
x(-∞,0)0(0,3)3(3,+∞)
f′(x)-0-0+
f(x)不是極值極小值
③函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?0,+∞),
且f′(x)=.
令f′(x)==0,得x=e.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x)與f(x)的變化情況如下表:
故當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)取得極大值,且f(e)=,無極小值.
x(0,e)e(e,+∞)
f′(x)+0-
f(x)極大值
方法歸納
(1)求函數(shù)極值的步驟
(2)求函數(shù)的極值需嚴(yán)格按照求函數(shù)極值的步驟進(jìn)行,重點(diǎn)考慮兩個(gè)問題:一是函數(shù)的定義域,注意判斷使導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是否在定義域內(nèi),如果不在定義域內(nèi),需要舍去;二是檢查導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號,若異號,則該點(diǎn)是極值點(diǎn),否則不是極值點(diǎn).
跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為f′(x),如圖是函數(shù)y=xf′(x)的圖象,則下列說法正確的是()
A.函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(-2,0),(2,+∞)
B.函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(-∞,-2),(2,+∞)
C.x=-2是函數(shù)的極小值點(diǎn)
D.x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn)
答案:BD
解析:由題意,當(dāng)02,f′(x)>0;當(dāng)-20
即函數(shù)f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,2)上單調(diào)遞減,
因此函數(shù)f(x)在x=2時(shí)取得極小值,在x=-2時(shí)取得極大值;
故A、C錯(cuò),B、D正確.
故選BD.
(2)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為()
A.-1B.-2e-3
C.5e-3D.1
答案:A
解析:∵f(x)=(x2+ax-1)ex-1,∴f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.又x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1.
∴f′(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1,令f′(x)=0得x=-2或x=1,令f′(x)0,解得a0)在(-∞,+∞)上無極值點(diǎn)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何?
解析:若f(x)在(-∞,+∞)上無極值點(diǎn)
則f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù)
即f′(x)=3ax2-4x+1≥0或f′(x)=3ax2-4x+1≤0恒成立
因?yàn)閍>0,所以f′(x)=3ax2-4x+1≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
則有Δ=(-4)2-4×3a×1≤0.
解得a≥,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
變式探究3本例條件“函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-1有極值點(diǎn)”改為“函數(shù)f(x)=-x(lnx-1)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍又如何?
解析:由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=ax-lnx
令f′(x)=ax-lnx=0,可得a=
令h(x)=,則由題意可知直線y=a與函數(shù)h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
h′(x)=,令h′(x)=0得x=e
可知h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.
∴h(x)≤h(e)=,當(dāng)x趨向于+∞時(shí),h(x)趨向于零.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
方法歸納
(1)已知函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍的一般思路:求導(dǎo)后分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問題.
(2)對于函數(shù)無極值的問題,往往轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題,此時(shí)需注意不等式中的等號是否成立.
跟蹤訓(xùn)練2(1)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1時(shí)有極值0,則a=________,b=________.
2
9
解析:因?yàn)閒(x)在x=-1時(shí)有極值0,且f′(x)=3x2+6ax+b,
所以即
解得或
當(dāng)a=1,b=3時(shí),f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,所以f(x)在R上是增函數(shù),無極值,故舍去.
當(dāng)a=2,b=9時(shí),f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
因?yàn)楫?dāng)x∈(-3,-1)時(shí),f(x)是減函數(shù);當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),所以f(x)在x=-1時(shí)取得極小值,因此a=2,b=9.
(2)若函數(shù)f(x)=x2+alnx在區(qū)間(1,+∞)上存在極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
a1,得a0時(shí),令f′(x)>0,得x>a或x0).
當(dāng)a≤0,x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.
當(dāng)a>0,x∈時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,
x∈時(shí),g′(x)0時(shí),函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由(1)知f′(1)=0.
①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)單調(diào)遞增,
所以x∈(0,1)時(shí),f′(x)0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.
②當(dāng)01,由(1)知f′(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,所以x∈(0,1)時(shí),f′(x)0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.
③當(dāng)a=時(shí),=1,f′(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意.
④當(dāng)a>時(shí),00,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x).
易錯(cuò)辨析對函數(shù)取極值的充要條件把握不準(zhǔn)致誤
例5已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R)在x=1處取得極值10,則f(2)的值為________.
18
解析:f′(x)=3x2+2ax+b.
由題意,得即
解得或
當(dāng)a=4,b=-11時(shí),令f′(x)=0,得x1=1,x2=-.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
X(-∞,-)-(-,1)1(1,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增
顯然函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,符合題意,此時(shí)f(2)=18.
當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
此時(shí)f(x)沒有極值,不符合題意.
綜上可知,f(2)=18.
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得
認(rèn)為f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的充要條件,得到或,事實(shí)上,當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f(x)沒有極值,從而得到錯(cuò)誤答案.一般地,若f′(x0)=0,且f′(x)在x=x0兩側(cè)符號相反,則函數(shù)f(x)在x=x0處存在極值;若f′(x)在x=x0兩側(cè)符號相同,則函數(shù)f(x)在x=x0處不存在極值.因此,在根據(jù)極值條件求參數(shù)的值的問題中,應(yīng)按照函數(shù)在這一點(diǎn)處取得極值所對應(yīng)的條件進(jìn)行檢驗(yàn),檢驗(yàn)每一組解對應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處是否能取得極值,從而進(jìn)行取舍.
[課堂十分鐘]
1.設(shè)函數(shù)f(x)=xex+1,則()
A.x=1為f(x)的極大值點(diǎn)
B.x=1為f(x)的極小值點(diǎn)
C.x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)
D.x=-1為f(x)的極小值點(diǎn)
答案:D
解析:f′(x)=ex+xex=ex(x+1)
令f′(x)=0,得x=-1,
易知x=-1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),故選D.
2.已知函數(shù)f(x)=2lnx+ax在x=1處取得極值,則實(shí)數(shù)a=()
A.-2B.2
C.0D.1
答案:A
解析:f′(x)=+a,由題意知f′(1)=2+a=0.
解得a=-2
故f(x)=2lnx-2x,f′(x)=-2,令f′(x)>0得01,故f′(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以x=1是極大值點(diǎn),符合題意,故選A.
3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.-1C.a(chǎn)6D.a(chǎn)2
答案:C
解析:f′(x)=3x2+2ax+(a+6)
由題意知3x2+2ax+(a+6)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
所以Δ=4a2-4×3×(a+6)>0
解得a6.
故選C.
4.函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為________.
y=-
解析:令y=f(x)=xex
則f′(x)=(1+x)ex
令f′(x)=0得x=-1
此時(shí)f(-1)=-
故函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為y=-.
5.設(shè)f(x)=alnx+x+1,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于y軸.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
解析:(1)因?yàn)閒(x)=alnx+x+1.
故f′(x)=.
由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于y軸,故該切線斜率為0,即f′(1)=0,從而a-=0,
解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-lnx+x+1(x>0),
f′(x)=-=
=.
令f′(x)=0,解得x1=1,
x2=-.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)0,故f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù).
故f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3,無極大值.(共32張PPT)
§3導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
新知初探·課前預(yù)習(xí)
題型探究·課堂解透
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
函數(shù)導(dǎo)數(shù)
f(x)=c(c為常數(shù))f′(x)=________
f(x)=xf′(x)=________
f(x)=x2f′(x)=________
f(x)=x3f′(x)=________
f(x)=
f′(x)=________
f(x)=
f′(x)=________
0
1
2x
3x2
-
要點(diǎn)二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)
f(x)=c(c為常數(shù))f′(x)=________
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f′(x)=________
f(x)=sinxf′(x)=________
f(x)=cosxf′(x)=________
f(x)=ax(a>0,且a≠1)f′(x)=________
f(x)=exf′(x)=________
f(x)=logax(a>0且a≠1)
f′(x)=________
f(x)=lnx
f′(x)=________
0
αxα-1
cosx
-sinx
axlna
ex
狀元隨筆(1)幾個(gè)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的特點(diǎn)
①正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以記憶為“正余互換,(符號)正同余反”.
②指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于指數(shù)函數(shù)本身乘以底數(shù)的自然對數(shù).
③對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于x與底數(shù)的自然對數(shù)乘積的倒數(shù).
(2)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)奇偶性的關(guān)系
①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0.
②奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).
③偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).
[基礎(chǔ)自測]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)′=.()
(2)(log3x)′=.()
(3)′=cos.()
(4)若y=e3,則y′=e3.()
×
×
×
×
2.(多選題)下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是()
A.(lnx)′=xB.(ax)′=xax-1
C.(sinx)′=cosxD.(x-5)′=-5x-6
答案:CD
解析:由導(dǎo)數(shù)公式得C、D正確.故選CD.
3.曲線y=ex在點(diǎn)A(0,1)處的切線方程是()
A.x+y+1=0B.x-y-2=0
C.x-y+1=0D.x+y-2=0
答案:C
解析:y′|x=0=ex|x=0=1,即切線斜率為1,又切點(diǎn)為A(0,1),故切線方程為y=x+1,即x-y+1=0.故選C.
4.函數(shù)f(x)=sinx,則f′(6π)=________.
1
解析:f′(x)=cosx,所以f′(6π)=1.
題型探究·課堂解透
題型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)y=;(2)y=;(3)y=log3x;(4)y=cos.
解析:(1)y′=(x-2)′=-2x-3=-;
(2)y′=()′=′=;
(3)y′=(log3x)′=;
(4)∵y=cos=sinx,
∴y′=(sinx)′=cosx.
方法歸納
求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有兩種基本方法
(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo),但運(yùn)算比較繁雜;
(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),可以簡化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度.解題時(shí)根據(jù)所給問題的特征,將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整,再選擇合適的求導(dǎo)公式.
跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選題)下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是()
A.(cosx)′=sinxB.′=lnx
C.′=xax-1D.′=
答案:ABC
解析:(cosx)′=-sinx,A錯(cuò)誤;′=-,B錯(cuò)誤;′=axlna,C錯(cuò)誤;′=,D正確.故選ABC.
(2)已知f(x)=,則f′=________.
解析:f′(x)=′=,
∴f′==.
題型二利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
例2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程是s=sint,
(1)求質(zhì)點(diǎn)在t=時(shí)的速度;
(2)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度.
解析:(1)v(t)=s′(t)=cost,∴v=cos=.
即質(zhì)點(diǎn)在t=時(shí)的速度為.
(2)∵v(t)=cost,
∴加速度a(t)=v′(t)=(cost)′=-sint.
方法歸納
1.速度是路程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù),加速度是速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù).
2.求函數(shù)在某定點(diǎn)(點(diǎn)在函數(shù)曲線上)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟是:(1)
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