第七節(jié)n次獨立重復試驗與二項分布熱點命題分析學科核心素養(yǎng)本節(jié)是高考的熱點，主要命題點有：(1)相互獨立事件的概率、條件概率，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；(2)二項分布的概念、特征和相關計算，常以解答題的形式出現(xiàn).本節(jié)通過實際問題中二項分布的應用考查考生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、數(shù)學建模核心素養(yǎng).授課提示：對應學生用書第206頁知識點一條件概率條件概率的定義條件概率的性質已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)?溫馨提醒?P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．1．某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是()答案：A2．已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為________．答案：eq\f(1,3)知識點二相互獨立事件事件的相互獨立性(1)定義：設A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．(2)性質：①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立．?溫馨提醒?互斥事件強調兩事件不可能同時發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨立事件則強調一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．1．(2021·金華一中模擬)春節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為eq\f(1,3)，乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少1人回老家過節(jié)的概率為()A.eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,60)答案：B2．天氣預報監(jiān)測到在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為________．答案：知識點三獨立重復試驗與二項分布獨立重復試驗二項分布定義在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率計算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)1．有3位同學參加某項測試，假設每位同學能通過測試的概率都是eq\f(1,2)，且各人能否通過測試是相互獨立的，則至少有二位同學能通過測試的概率為()A.eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C.eq\f(1,2) D．eq\f(7,8)答案：C2．設隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝________.答案：eq\f(5,16)授課提示：對應學生用書第207頁題型一條件概率自主探究1．(2021·桂林調研)某盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球、4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(5,9)C.eq\f(1,10) D．eq\f(2,5)答案：B2．某個電路開關閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為()A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)解析：設“開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).答案：C條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡題型二相互獨立事件的概率合作探究[例](2020·高考全國卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設每場比賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場的概率；(2)求需要進行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．[解析](1)甲連勝四場的概率為eq\f(1,16).(2)根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽．比賽四場結束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為eq\f(1,16)；乙連勝四場的概率為eq\f(1,16)；丙上場后連勝三場的概率為eq\f(1,8).所以需要進行第五場比賽的概率為1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場結束且丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)；比賽五場結束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空結果有三種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).相互獨立事件同時發(fā)生的概率的兩種求法(1)直接法：利用相互獨立事件的概率乘法公式．(2)間接法：從對立事件入手計算.[對點訓練](2019·高考全國卷Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．解析：(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]××0.4＝0.1.題型三獨立重復試驗與二項分布合作探究[例]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)；②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？[解析](1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2(1－p)18.因此f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得pp∈(0,0.1)時，f′(p)>0；當p∈(0.1,1)時，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元．由于E(X)>400，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗．獨立重復試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略(1)在求n次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率．(2)在根據(jù)獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，繼而求得概率．[對點訓練]在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎．已知教師甲投進每個球的概率都是eq\f(2,3).(1)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列；(2)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率．解析：(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.依條件可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3))).P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))6－k(k＝0,1,2,3,4,5,6)X的分布列為：X0123456Peq\f(1,729)eq\f(12,729)eq\f(60,729)eq\f(160,729)eq\f(240,729)eq\f(192,729)eq\f(64,729)(2)設教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，則P(A)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＋Ceq\o\al(1,4)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))6＝eq\f(32,81).所以教師甲在一場比賽中獲獎的概率為eq\f(32,81).二項分布應用中的核心素養(yǎng)數(shù)學建?！椃植嫉膬?yōu)化決策應用[例](2021·太原模擬)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎規(guī)則如下：1．抽獎方案有以下兩種：方案a：從裝有2個紅球、3個白球(僅顏色不同)的甲袋中隨機摸出2個球，若都是紅球，則獲得獎金30元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案b：從裝有3個紅球、2個白球(僅顏色不同)的乙袋中隨機摸出2個球，若都是紅球，則獲得獎金15元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中．2．抽獎條件：顧客購買商品的金額滿100元，可根據(jù)方案a抽獎一次；滿150元，可根據(jù)方案b抽獎一次(例如某顧客購買商品的金額為260元，則該顧客可以根據(jù)方案a抽獎兩次或方案b抽獎一次或方案a，b各抽獎一次)．已知顧客A在該商場購買商品的金額為350元．(1)若顧客A只選擇方案a進行抽獎，求其所獲獎金的期望；(2)要使所獲獎金的期望值最大，顧客A應如何抽獎？[解析](1)按方案a抽獎一次，獲得獎金的概率P＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).顧客A只選擇方案a進行抽獎，則其可以按方案a抽獎三次．此時中獎次數(shù)服從二項分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,10))).設所得獎金為w1元，則E(w1)＝3×eq\f(1,10)×30＝9.即顧客A所獲獎金的期望為9元．(2)按方案b抽獎一次，獲得獎金的概率P1＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).若顧客A按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次，則由方案a中獎的次數(shù)服從二項分布B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,10)))，由方案b中獎的次數(shù)服從二項分布B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,10)))，設所得獎金為w2元，則E(w2)＝2×eq\f(1,10)×30＋1×eq\f(3,10)×15＝10.5.若顧客A按方案b抽獎兩次，則中獎的次數(shù)服從二項分布B3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10))).設所得獎金為w3元，則E(w3)＝2×eq\f(3,10)×15＝9.結合(1)可知，E(w1)＝E(w3)<E(w2)．所以顧客A應該按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次.求解二項分布與統(tǒng)計的交匯問題關鍵在于事件的分析與統(tǒng)計數(shù)據(jù)的準確使用.[對點訓練]空氣質量指數(shù)(AirQualityIndex，簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數(shù)，空氣質量按照AQI大小分為六級：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；300以上為嚴重污染．一環(huán)保人士記錄去年某地六月10天的AQI的莖葉圖如圖所示．(1)利用該樣本估計該地六月空氣