高中物理模型法解題——板塊模型

【模型概述】板塊模型是多個(gè)物體的多個(gè)過(guò)程問(wèn)題，是最經(jīng)典、最基本的模型之一。板塊模型由木板和物塊組成的相互作用的系統(tǒng)構(gòu)成，涉及到靜力學(xué)知識(shí)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律、動(dòng)能定理和能量的轉(zhuǎn)化和守恒等方面的知識(shí)。板塊類(lèi)問(wèn)題的一般解題方法包括受力分析、物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析、參考系的選擇、繪制v-t圖像、摩擦力做功與動(dòng)能之間的關(guān)系和能量守恒定律的運(yùn)用。一、含作用力的板塊模型問(wèn)題：【例題1】如圖所示，木板靜止于水平地面上，在其最右端放一可視為質(zhì)點(diǎn)的木塊。已知木塊的質(zhì)量為1kg，木板的質(zhì)量為4kg，長(zhǎng)為2.5m，上表面光滑，下表面與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2?，F(xiàn)用水平恒力F=20N拉木板，g取10m/s2，求：（1）木板的加速度；（2）要使木塊能滑離木板，水平恒力F作用的最短時(shí)間；（3）如果其他條件不變，假設(shè)木板的上表面也粗糙，其上表面與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.3，欲使木板能從木塊的下方抽出，需對(duì)木板施加的最小水平拉力是多大？（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）（4）若木板的長(zhǎng)度、木塊質(zhì)量、木板的上表面與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)、木塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都不變，只將水平恒力增加為30N，則木塊滑離木板需要多長(zhǎng)時(shí)間？【解題思路】（1）根據(jù)牛頓第二定律求出木板的加速度。（2）讓木板先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合位移之和等于板長(zhǎng)求出恒力F作用的最短時(shí)間。（3）根據(jù)牛頓第二定律求出木塊的最大加速度，隔離對(duì)木板分析求出木板的加速度，抓住木板的加速度大于木塊的加速度，求出施加的最小水平拉力。（4）應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，根據(jù)相對(duì)加速度求所需時(shí)間?！敬鸢浮浚?）木板的加速度為2.5m/s2；（2）要使木塊能滑離木板，水平恒力F作用的最短時(shí)間為1s；（3）對(duì)木板施加的最小水平拉力為25N；（4）木塊滑離木板需要2s?！窘馕觥浚?）木板受到的摩擦力Ff=μ(M+m)g=10N，從而得到木板的加速度為2.5m/s2。（2）設(shè)拉力F作用t時(shí)間后撤去，木板的加速度為，木板先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)，且a=?a′。有at2=L，解得：t=1s，即F作用的最短時(shí)間是1s。（3）設(shè)木塊的最大加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，有a=Mgμ/(M+m)。隔離對(duì)木板分析，得到木板的加速度為a′=Ff/(M+m)，由于木板的加速度大于木塊的加速度，所以施加的最小水平拉力為F=a′(M+m)=25N。（4）應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，根據(jù)相對(duì)加速度求所需時(shí)間，得到木塊滑離木板需要2s。木板的速度減小。根據(jù)速度—時(shí)間圖像，可得到木板的加速度為2m/s2，物塊的加速度為4m/s2。設(shè)物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ'，則有以下方程組：對(duì)物塊：μmg=ma對(duì)木板：μ'mg-μ(m+M)g=Ma解得：μ=0.2,μ'=0.3(2)從t＝時(shí)刻到物塊與木板均停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，木板的位移為0.5at2，物塊的位移為0.5a(t-t0)2，其中t0為物塊落到木板上的時(shí)刻。將a代入即可得到物塊相對(duì)于木板的位移大小為1.125m。木板和物塊間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，木板減速直到兩者速度相同。根據(jù)圖示，在t=0.5s時(shí)，兩者速度相同。假設(shè)物塊和木板在t到t1時(shí)間間隔內(nèi)的加速度大小分別為a1和a2，則有以下公式：v-v1=a2t1(1)v1=a1t1(2)其中v=5m/s，v1=1m/s分別為木板在t=t1時(shí)速度的大小。假設(shè)物塊和木板的質(zhì)量為m，物塊和木板間、木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2，則根據(jù)牛頓第二定律得：μ1mg=ma1(3)(μ1+2μ2)mg=ma2(4)聯(lián)立公式(1)-(4)得到：μ1=0.20(5)μ2=0.30(6)在t1時(shí)刻后，地面對(duì)木板的摩擦力阻礙木板運(yùn)動(dòng)，物塊與木板之間的摩擦力改變方向。設(shè)物塊與木板之間的摩擦力大小為f，物塊和木板的加速度大小分別為a1'和a2'，則根據(jù)牛頓第二定律得：f=ma1'(7)2μ2mg-f=ma2'(8)假設(shè)f<μ1mg，則a1'=a2'。由公式(5)-(8)得到f=μ1mg，因此a1'等于a1。物塊的v-t圖像如圖中點(diǎn)劃線所示。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，物塊和木板相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)距離分別為：s1=2a1t1^2(10)s2=t1(v+v1)/2+1/2a2t1^2(11)物塊相對(duì)于木板的位移的大小為：s=s2-s1(12)聯(lián)立公式(1)-(6)、(10)-(12)得到：s=1.125m(13)在暴雨時(shí)，山體滑坡或泥石流等地質(zhì)災(zāi)害可能發(fā)生。在某地，有一傾角為θ=37°的山坡C，上面有一質(zhì)量為m的石板B，其上下表面有一碎石堆A(含有大量泥土)，A和B均處于靜止?fàn)顟B(tài)。假設(shè)某次暴雨中，A浸透遇水后總質(zhì)量也為m，在極短時(shí)間內(nèi)，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1減少，B、C間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2減少0.5，A、B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。在2s末，B的上表面突然變光滑，μ2保持不變。已知A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，A離B下邊緣的距離l=27m，C足夠長(zhǎng)，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。取重力加速度大小g=10m/s2。求：(1)在0-2s時(shí)間內(nèi)A和B加速度的大小；(2)A在B上總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。如圖，在光滑的水平面上靜止放有一質(zhì)量為$M=4kg$的長(zhǎng)木板，現(xiàn)有一質(zhì)量為$m=1kg$的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）以$v=10m/s$的初速度從木板的左端滑上木板，已知物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)$\mu=0.4$，要使物塊不能從木板上滑下，求木板的長(zhǎng)度至少為多少？【解析】設(shè)木板長(zhǎng)度為$L$，物塊在木板上滑行的距離為$s$，在$t$時(shí)間內(nèi)滑行的平均速度為$v'$，物塊在木板上的加速度為$a$，木板和物塊之間的摩擦力為$f$。根據(jù)牛頓第二定律，物塊在水平方向上的合力為$F=ma$，合力的方向與加速度方向相反，即$F=-f$。根據(jù)動(dòng)摩擦定律，摩擦力$f=\muN$，其中$N$為物塊所受的支持力，由于物塊和木板之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以$N=mg$，其中$g$為重力加速度。綜合上述公式可得：$$ma=-\mumg$$$$a=-\mug=-3.92m/s^2$$在$t$時(shí)間內(nèi)，物塊在水平方向上的位移為：$$s=v't$$根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系，可得：$$s=\frac{1}{2}at^2+v_0t$$由于物塊在$t$時(shí)間內(nèi)剛好停下來(lái)，所以$v'=0$，代入上式可得：$$s=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}(-3.92)t^2$$將$s$代入下式可得：$$s\leqL$$$$\frac{1}{2}(-3.92)t^2\leqL$$解得：$$L\geq\frac{1}{2}(-3.92)t^2=0.98m$$所以，木板的長(zhǎng)度至少為$0.98m$?；瑝K滑到木板最右端時(shí)不會(huì)掉下，因?yàn)榇藭r(shí)滑塊和木板的速度相同。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，可以得到滑塊和木板的速度關(guān)系為$mv=(M+m)v$。根據(jù)能量守恒定律，可以得到木板的最小長(zhǎng)度為$L=10m$。在此問(wèn)題中，需要綜合運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，同時(shí)考慮摩擦產(chǎn)生的熱量。臨界條件是滑塊和木板速度相等。一質(zhì)量為500kg的木箱放于質(zhì)量為2000kg的平板車(chē)的后部，木箱到駕駛室的距離為$L=1.6m$。已知木箱和平板車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$u=0.484$，平板車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的阻力是車(chē)和箱總重的0.2倍。平板車(chē)以$Vo=22m/s$的恒定速率行駛，突然駕駛員剎車(chē)，使車(chē)做勻減速運(yùn)動(dòng)。為了避免木箱撞擊駕駛室，取$g=10$。問(wèn)題一需要求從剎車(chē)開(kāi)始到平板車(chē)完全停止至少要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間。在此過(guò)程中，平板車(chē)和箱子都做勻減速運(yùn)動(dòng)。由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，可以求得箱子和車(chē)子的加速度大小，并聯(lián)立求解時(shí)間$t$。問(wèn)題二需要求駕駛員剎車(chē)時(shí)的制動(dòng)力不能超過(guò)多少。由牛頓第二定律，可以求解剎車(chē)時(shí)的制動(dòng)力。問(wèn)題一的解答：從剎車(chē)開(kāi)始到平板車(chē)完全停止，至少需要經(jīng)過(guò)$4.4s$的時(shí)間。在此過(guò)程中，平板車(chē)剎車(chē)的加速度大小為$a_{car}$，木箱的加速度大小為$a_{box}$。對(duì)木箱，有$μm_{box}g=m_{box}a_{box}$，可得$a_{box}=μg=4.84m/s^2$。為了避免撞擊駕駛室，箱子和車(chē)子的位移之差恰好等于$L$，聯(lián)立求解時(shí)間$t$，得到$t=4.4s$。問(wèn)題二的解答：剎車(chē)時(shí)刻動(dòng)力最大為$F$，則$F-μm_{box}g+0.2(m_{box}+m_{car})g=m_{car}a_{car}$，可得$F=7420N$。本題需要綜合運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，挖掘出隱含的臨界條件：兩者位移之差等于$L$。如圖所示，進(jìn)行慣性演示實(shí)驗(yàn)，將小砝碼置于桌面上的薄紙板上，用水平向右的拉力將紙板迅速抽出。若砝碼和紙板的質(zhì)量分別為m1和m2，各接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g。(1)當(dāng)紙板相對(duì)砝碼運(yùn)動(dòng)時(shí)，砝碼和紙板之間的摩擦力為f1=μm1g，桌面對(duì)紙板的摩擦力為f2=μ(m1+m2)g。紙板所受摩擦力的大小為f=f1+f2=μ(2m1+m2)g。(2)要使紙板相對(duì)砝碼運(yùn)動(dòng)，需要拉力的大小為F＞2μ(m1+m2)g。設(shè)砝碼的加速度為a1，紙板的加速度為a2，則有f1=m1a1，F(xiàn)-f1-f2=m2a2。發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)需要紙板的加速度大于砝碼的加速度，即a2＞a1。因此F=f1+f2+m2a2＞f1+f2+m2a1=μm1g+μ(m1+m2)g+μm2g=2μ(m1+m2)g。(3)在本實(shí)驗(yàn)中，m1=0.5kg，m2=0.1kg，μ=0.2，砝碼與紙板左端的距離d=0.1m，取g=10m/s2。若砝碼移動(dòng)的距離超過(guò)l=0.002m，人眼就能感知。為確保實(shí)驗(yàn)成功，紙板所需的拉力至少為22.4N。紙板抽出前，砝碼運(yùn)動(dòng)的距離為d，紙板運(yùn)動(dòng)的距離為x1，紙板抽出后，砝碼在桌面上運(yùn)動(dòng)的距離為x2。由題意知a1=a3，a1t1=a3t2，解得t1=0.1s，t2=0.02s，代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得F=22.4N。點(diǎn)評(píng)：這道題考查了連接體的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用隔離法分別受力分析，列運(yùn)動(dòng)方程，難度較大。需要注意格式錯(cuò)誤和明顯有問(wèn)題的段落，同時(shí)對(duì)于題干中的公式和符號(hào)需要正確使用。如圖所示，一塊質(zhì)量為5kg、長(zhǎng)為5m的薄板A放在水平桌面上，右端與桌邊相齊。在距右端3m處放置一質(zhì)量為2kg的物體B（可看成質(zhì)點(diǎn)）。已知A、B間動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，A與桌面間和B與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.2，原系統(tǒng)靜止?，F(xiàn)在在板的右端施加一大小一定的水平力F持續(xù)作用在A上直到將A從B下抽出才撤去，且使B最后停于桌的右邊緣。求：（1）B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。（2）力F的大小。解析：對(duì)于B，在未離開(kāi)A時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得加速度為aB1=1m/s^2。設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t1后B離開(kāi)A，根據(jù)牛頓第二定律得離開(kāi)A后B的加速度為aB2=-2m/s^2。設(shè)物體B離開(kāi)A時(shí)的速度為vB，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有vB=aB1t1，aB1t1^2=s，代入數(shù)據(jù)解得t1=2s，t2=1s。所以B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t=t1+t2=3s。設(shè)A的加速度為aA，則根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系得aA*t1^2-aB1*t1^2=L-s。解得：aA=2m/s^2。由牛頓第二定律得F-μ1mg-μ2(m+M)g=MaA，代入數(shù)據(jù)得：F=26N。答案：（1）B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3s。（2）力F的大小是26N。點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵能夠正確地進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解。$$F-f_g=Ma$$其中$f_g$為物體所受重力，$f_f$為木板和物體之間的動(dòng)摩擦力，$a$為木板和物體的共同加速度，解得$a=\frac{F}{M+m\mu}$，為使物體不發(fā)生滑動(dòng)，$f_f$的最大值為$f_f=\muf_g=0.1mg$，代入上式得$F\leq4N$，即為所求．（2）物體離開(kāi)木板時(shí)，木板和物體的加速度不同，分別設(shè)為$a_1$和$a_2$，由牛頓第二定律有：$$F-f_g-f_f=Ma_1$$$$f_f=ma_2$$由位移關(guān)系得$M+m=L$，聯(lián)立以上三式解得：$$a_1=\frac{F-mg}{M+m\mu}$$$$a_2=\frac{F-mg}{m}-\mua_1$$由位移關(guān)系得物體離開(kāi)木板的時(shí)間為$t=\frac{L}{a_1}$，代入速度時(shí)間公式$v=a_2t$，代入數(shù)據(jù)解得$v=4m/s$，即為所求．【答案】（1）$F\leq4N$；（2）$v=4m/s$．【點(diǎn)評(píng)】本題考查牛頓第二定律和加速度的計(jì)算，需要注意隔離分析和整體分析的結(jié)合運(yùn)用．題目中沒(méi)有明顯的格式錯(cuò)誤和有問(wèn)題的段落，所以不需要?jiǎng)h除和改寫(xiě)。以下是整理后的文章：根據(jù)牛頓第二定律，有$F=(M+m)a$。小物塊的加速度由木塊對(duì)它的靜摩擦力提供，即$f=ma≤μmg$，解得$F≤μ(M+m)g=4N$。物體滑過(guò)木板所用時(shí)間為$t$，由位移關(guān)系得$1=at$，解得$t=1s$。