1知識點二次根式的定義思考用帶有根號的式子填空，看看寫出的結果有什么特點：(1)面積為3的正方形的邊長為_________，面積為S的正

方形的邊長為__________.(2)一個長方形的圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2,則

它的寬為________m.

知1－導知1－導(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t

(單

位：s)與開始落下時離地面的高度h(單位：m)滿足關

系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t為______.

上面問題的結果分別是

，它們表示一些正數的算術平方根.

我們知道，一個正數有兩個平方根；0的平方根為0；在實數范圍內，負數沒有平方根.因此，在實數范圍內開平方時，被開方數只能是正數或0.一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式(quadraticradical)，“”稱為二次根號.定義：形如(a≥0)的式子叫做二次根式；其中“”稱為

二次根號，a稱為被開方數(式)．要點精析：(1)二次根式的定義是從式子的結構形式上界定的，

必須含有二次根號“”；“”的根指數為2，即

，“2”

一般省略不寫．(2)被開方數a可以是一個數，也可以是一個含有字母的式子，

但前提是a必須大于或等于0.(3)在具體問題中，已知二次根式

，就意味著給出了a≥0這

一條件．(4)形如b(a≥0)的式子也是二次根式；b與

是相乘的關系，

當b為帶分數時，要寫成假分數的形式．知1－講導引：判斷一個式子是不是二次根式，實質是看它是否具

備二次根式定義的條件，緊扣定義進行識別．解：(1)∵的根指數是3，∴不是二次根式．(2)∵不論x為何值，都有x2＋1＞0，∴是二次根式．(3)當－5a≥0，即a≤0時，

是二次根式；

當a＞0時，－5a＜0，則

不是二次根式．∴不一定是二次根式．(4)＋1(a≥0)只能稱為含有二次根式的式子，不能稱為

二次根式．例1判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由．(1)；(2)；(3)；(4)＋1(a≥0);(5)；(6)；(7)；(8)知1－講知1－講(5)當x＝－3時，

無意義，∴也無意義；

當x≠－3時，

＞0，∴是二次根式．∴不一定是二次根式．(6)當a＝4時，a－4＝0，

是二次根式；

當a≠4時，－(a－4)2＜0，

不是二次根式．∴不一定是二次根式．(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，∴是二次根式．(8)∵|x|≥0，∴是二次根式．總

結知1－講二次根式的識別方法：判斷一個式子是否為二次根式，一定要緊扣二次根式的定義，看所給的式子是否同時具備二次根式的兩個特征：(1)含根號且根指數為2(通常省略不寫)；(2)被開方數(式)為非負數．1

下列各式中，一定是二次根式的是（

）A.B.

C.

D.2下列式子不一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.3下列式子：

中，一定是二次根式的有(

)A．2個B．3個C．4個D．5個知1－練2知識點二次根式有意義的條件知2－講(1)式子

只有在條件a≥0時才叫二次根式．即a≥0是

為二次根式的前提條件.式子

就不是二次根

式，但式子

卻又是二次根式．

（a≥0）實際上就是非負數a的算術平方根，既可

表示開方運算,也可表示運算的結果.同時

（a≥0）

也是一個非負數，我們把這個性質叫做二次根式的

雙重非負性.總

結知2－講1．二次根式有意義的條件是被開方數(式)為非負數；反

之也成立，即：

有意義?a≥0.2．二次根式無意義的條件是被開方數(式)為負數；反之

也成立，即：

無意義?a＜0.知2－講例2當x是怎樣的實數時，

在實數范圍內有意義？解：由x-2≥0，得x≥2.

當x≥2時，

在實數范圍內有意義.總

結知2－講

求式子有意義時字母的取值范圍的方法：第一步，明確式子有意義的條件，對于單個的二次根式，只需滿足被開方數為非負數；對于含有多個二次根式的，則必須滿足多個被開方數同時為非負數；對于零指數冪，則必須滿足底數不能為零；對于含有分式的，則需滿足分母不能為零．第二步，利用式子中所有有意義的條件，建立不等式或不等式組．第三步，求出不等式或不等式組的解集，即為字母的取值范圍．1

當a是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有

意義？(1)(2)(3)(4)知2－練知2－練2

(中考·巴中)要使式子

有意義，則m的取值

范圍是(

)A．m>－1B．m≥－1C．m>－1且m≠1D．m≥－1且m≠1知2－練3(2015·濱州)如果式子

有意義，那么x的取值

范圍在數軸上表示正確的是(

)知3－講3知識點二次根式的“雙重”非負性（a≥0，

≥0）

二次根式的“雙重”非負性（a≥0，

≥0）1.理解二次根式的非負性應從算術平方根入手，當a≥

0時，

表示a的算術平方根，因此

≥0.

所以“二次根式”包含有兩個“非負”即：①被開

方數非負：a≥0；②二次根式的值非負：

≥0.2.若+=0,則

a=0,b=0.由于二次根式

和

都是

非負數，所以它們的值都為0.例3若

，則x-y

的值為( )A．1B．－1 C．7 D．－7知3－講分析：根據非負數的性質列式求出x、y的值，然后代入

代數式進行計算即可得解．因為+(y+3)2=0都是非負數，它們的和為0，所以(y+3)2=0，

，所以y+3=0，x+y-1=0，

解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故選C．C總

結知3－講兩個非負數的和為0時，這兩個非負數都為0．1

若=0，求a2012+b2012的值．2已知實數x，y滿足|x－4|＋

＝0，則以x，y的