重難點05概率與統(tǒng)計

【高考考試趨勢】

新高考統(tǒng)計主要考查統(tǒng)計分析、變量的相關(guān)關(guān)系，獨立性檢驗、用樣本估計總體及其特征的思想，以

排列組合為工具，考查對五個概率事件的判斷識別及其概率的計算。試題考查特點是以實際應(yīng)用問題為載

體，小題部分主要是考查排列組合與古典概型，解答題部分主要考查獨立性檢驗、超幾何分布、離散型分

布以及正態(tài)分布對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望以及方差。概率的應(yīng)用立意高，情境新，賦予時代氣息，貼近學(xué)生的實際

生活。取代了傳統(tǒng)意義上的應(yīng)用題，成為高考中的亮點。解答題中概率與統(tǒng)計的交匯是近幾年考查的熱點

趨勢，應(yīng)該引起關(guān)注。

【知識點分析及滿分技巧】

1.明確變量間的相關(guān)關(guān)系，體會最小二乘法和線性回歸方法是解決兩個變量線性相關(guān)的基本方法，就

能適應(yīng)高考的要求。

2.求解概率問題首先確定是何值概型再用相應(yīng)公式進行計算，特別對于解互斥事件（獨立事件）的概

率時，要注意兩點：（1）仔細審題，明確題中的幾個事件是否為互斥事件（獨立事件），要結(jié)合題意分

析清楚這些事件互斥（獨立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含這些互斥事件（獨立事件）中的哪

幾個事件的和（積），如果不符合以上兩點，就不能用互斥事件的和的概率.

3.離散型隨機變量的均值和方差是概率知識的進一步延伸，是當(dāng)前高考的熱點內(nèi)容.解決均值和方差

問題，都離不開隨機變量的分布列，另外在求解分布列時還要注意分布列性質(zhì)的應(yīng)用.

【限時檢測】（建議用時：90分鐘）

一、單選題

1.（2020?廣西高三其他模擬（理））從4個男生、3個女生中隨機抽取出3人，則抽取出的3人不全是

男生的概率是（）

543134

A.7B.5C.35D.35

2.（2020?陜西西安市?高新一中高三期末（理））某班舉行了由甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生參加的

“弘揚中華文化”的演講比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲

說，“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”；對乙說，“你當(dāng)然不會是最差的”從這個回答分析，5人的名

次排列情況可能有（）

A.36種B.54種C.58種D.72種

0<Q<一匕

3.（2020?浙江高三其他模擬）設(shè)3,隨機變量彳的分布列為

012

Pa1—3。2a

那么，當(dāng)。在I內(nèi)增大時，,0）的變化是（）

A.減小B.增大C.先減小后增大D.先增大后減小

4.（2020?全國高三專題練習(xí)（理））已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，記次品數(shù)

P（X=1）=—

為X,己知45,且該產(chǎn)品的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品數(shù)為（）

A.2件B.4件C.6件D.8件

5.（2020?四川省瀘縣第二中學(xué)高三開學(xué)考試（理））設(shè)隨機變量4服從正態(tài)分布A函數(shù)

+4沒有零點的概率是萬，則〃等于（》

A.1B.2C.4D.不能確定

6.（2020?山東高三專題練習(xí)）某校將5名插班生甲、乙、丙、丁、戊編入3個班級，每班至少1人,

則不同的安排方案共有（）

A.150種B.120種C.240種D.540種

7.（2020.重慶市第七中學(xué)校高二月考）若=旬+。/+%X2+…+。2020工2°2°,則

Cl?+a?+。3i.??+。2020—（）

A.0B.1C.-1D.2

8.（2020?長沙市?湖南師大附中高三月考）某公司引進先進管理經(jīng)驗，在保持原有員工人數(shù)的基礎(chǔ)

上，注重產(chǎn)品研發(fā)及員工待遇，提高產(chǎn)品質(zhì)量和員工積極性，效益顯著提高.同時該公司的各項成本也隨

著收入的變化發(fā)生了相應(yīng)變化.下圖給出了該公司2018年和2019年的運營成本及利潤占當(dāng)年總收入的比

例，已知2019年和2018年的材料設(shè)備費用相同，則下列說法不正確的是（）

A.該公司2019年利潤是2018年的3倍

B.該公司2019年的員工平均工資是2018年的2倍

C.該公司2019年的總收入是2018年的2倍

D.該公司2019年的研發(fā)費用等于2018年的研發(fā)和工資費用之和

二、多選題

9.（2020?全國）某大型電子商務(wù)平臺每年都會舉行“雙11”商業(yè)促銷狂歡活動，現(xiàn)統(tǒng)計了該平臺從

2011年到2019年共9年“雙11”當(dāng)天的銷售額（單位：億元）并作出散點圖，將銷售額y看成以年份序

號x（2011年作為第1年）的函數(shù).運用excel軟件，分別選擇回歸直線和三次多項式回歸曲線進行擬

合，效果如下圖，則下列說法錯誤的是（）

A.銷售額y與年份序號x呈正相關(guān)關(guān)系

B.根據(jù)三次多項式函數(shù)可以預(yù)測2020年“雙11”當(dāng)天的銷售額約為8454億元

C.銷售額y與年份序號x線性相關(guān)不顯著

D.三次多項式回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果

10.（2020?陽江市第一中學(xué)高三其他模擬）某校高二年級進行選課走班，已知語文、數(shù)學(xué)、英語是必選

學(xué)科，另外需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科中任選3門進行學(xué)習(xí).現(xiàn)有甲、乙、丙三

人，若同學(xué)甲必選物理，則下列結(jié)論正確的是（）

A.甲的不同的選法種數(shù)為10

B.甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全選化學(xué)是對立事件

]_

C.乙同學(xué)在選物理的條件下選化學(xué)的概率是《

D.乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是7

三、填空題

11.（2020?全國高三專題練習(xí)（理））某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)

學(xué)、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、

地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科，則一名學(xué)生的不同選科組合有

_______.（用數(shù)字作答）

12.（2020?濟南市?山東省實驗中學(xué)高三一模）從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)

服務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時，

他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

XG

13.（2020?江西高三二模（理））若對任意都有

人2H

--------r=+qx+a?xH---Fcix+….

i-x—2xtJ,（及為正整數(shù)），則q+生的值等于.

14.（2020?內(nèi)蒙古赤峰市?高三二模（理））驗證碼就是將一串隨機產(chǎn)生的數(shù)字或符號，生成一幅圖

片，圖片里加上一些干擾象素（防止℃R）,由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗

證，驗證成功后才能使用某項功能.很多網(wǎng)站利用驗證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期

間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗證碼由0,1,2,…，9中的五個數(shù)字隨機組成.將中間數(shù)字最大，然

后向兩邊對稱遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”（例如：如14532,12543）,已知某人收到了一個“鐘型

驗證碼”,則該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為.

四、解答題

15.（2020?全國高三專題練習(xí)）某市在爭取創(chuàng)建全國文明城市稱號，創(chuàng)建文明城市簡稱創(chuàng)城.是極具價

值的無形資產(chǎn)和重要城市品牌.“創(chuàng)城”期間，將有創(chuàng)城檢查人員到學(xué)校隨機找人進行提問.問題包含：中

國夢內(nèi)涵、社會主義核心價值觀、精神文明“五大創(chuàng)建”活動、文明校園創(chuàng)建“六個好”、“五個禮讓”

共5個問題，提問時將從中抽取2個問題進行提問.某日，創(chuàng)城檢查人員來到N校，隨機找了三名同學(xué)甲、

乙、丙進行提問，其中甲只背了5個問題中的2個，乙背了其中的3個，丙背了其中的4個.計一個問題答

對加10分，答錯不扣分，最終三人得分相加，滿分60分，達到30分該學(xué)校為合格，達到50分時該學(xué)校

為優(yōu)秀.

（1）求〃校優(yōu)秀的概率（保留3位小數(shù)）；

（2）求出4校答對的問題總數(shù)X的分布列，并求出4校得分的數(shù)學(xué)期望；

（3）請你為創(chuàng)建全國文明城市提出兩條合理的建議.

16.（2020?黑龍江大慶市?大慶實驗中學(xué)高三月考（理））某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問

題的萌寵機器人.萌寵機器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶

的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽的內(nèi)容.同時提供快樂兒歌、國學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內(nèi)容，且云

端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機器人一投放市場就受到了很多家長歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長，該公司研

究部門從流水線上隨機抽取100件萌寵機器人（以下簡稱產(chǎn)品），統(tǒng)計其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖

（如圖1）：

產(chǎn)品的性能指數(shù)在150/0）的適合托班幼兒使用（簡稱1類產(chǎn)品），在0°，9°）的適合小班和中班幼兒使

用（簡稱6類產(chǎn)品），在［9°，的適合大班幼兒使用（簡稱C類產(chǎn)品），A,B,C,三類產(chǎn)品的銷售利

潤分別為每件1.5,3.5,5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能

指數(shù)位于該區(qū)間的概率.

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤;

（2）該公司為了解年營銷費用工（單位：萬元）對年銷售量丁（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷

費用為，和年銷售量%（'=1'2,3,45）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值.

5526,-22-力）次,-寸

;=1i=\1=1

16.3024.870.411.64

,,M=->U.（?=->V,

表中%=lnx,?，。,=M乂，5t

根據(jù)散點圖判斷，丁=”,一可以作為年銷售量丁（萬件）關(guān)于年營銷費用》（萬元）的回歸方程.

（7）建立丁關(guān)于x的回歸方程：

（27）用所求的回歸方程估計該公司應(yīng)投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大？

4159z-A

（收益=銷售利潤-營銷費用，取e'=64）.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（/陽），（“2，02）」??，（％%）,其回歸直線"的斜率和截距的最小二乘

.￡（%-加田

/3='

估計分別為

17.（2020?泰安市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室高三其他模擬）某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對生產(chǎn)設(shè)備進行了技

術(shù)改造，為了對比技術(shù)改造后的效果，采集了技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：天）

數(shù)據(jù)，整理如下：

改造前：19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21

改造后：32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異?

超過30不超過30

改造前

改造后

（2）工廠的生產(chǎn)設(shè)備的運行需要進行維護，工廠對生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)維護費用包括正常維護費，保障維護

費兩種.對生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護周期為T天（即從開工運行到第kT天，kGN*）進行維護.生產(chǎn)設(shè)備在一個生

產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立.在一個維護周期內(nèi)，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運行，則只

產(chǎn)生一次正常維護費，而不會產(chǎn)生保障維護費：若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運行，則除產(chǎn)生一次正常維護費外，

還產(chǎn)生保障維護費.經(jīng)測算，正常維護費為0.5萬元/次；保障維護費第一次為0.2萬元/周期，此后每

增加一次則保障維護費增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個生產(chǎn)周期（以120天計）內(nèi)的維護方案：T=30,

k=l,2,3,4.以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個維護周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生產(chǎn)周

期內(nèi)生產(chǎn)維護費的分布列及均值.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K22k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.（2020?山西晉中市?祁縣中學(xué)高二月考（理））近期，西安公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支

付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃

碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，》表示活動推出的天數(shù)，y

表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表下所示：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.

（1）根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內(nèi)，》="+法與y=cV'（°，"均為大于零的常數(shù)），哪一個適宜作為

掃碼支付的人次少關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）：

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，建立y與x的回歸方程，并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支

付的人次；

（3）推廣期結(jié)束后，車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表:

支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼

比例10%6OH30%

西安公交六公司車隊為緩解周邊居民出行壓力，以80萬元的單價購進了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗可知,

每輛車每個月的運營成本約為0.66萬元.已知該線路公交車票價為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使

用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客

11

中有5的概率享受7折優(yōu)惠，有8的概率享受8折優(yōu)惠，有5的概率享受9折優(yōu)惠.預(yù)計該車隊每輛車每

個月有1萬人次乘車，