2021-2022學(xué)年河北省石家莊市同人中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是，則使成立的最小正整數(shù)為（

）

A.2009

B.2010

C.2011

D.2012參考答案：B2.若，其中a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，則△ABC的形狀為（

）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定參考答案：B【分析】根據(jù)正弦定理將中的邊化為角，再由兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式求得，可得，然后對(duì)三角形的形狀作出判斷．【詳解】由及正弦定理得，∴，又在中，，∴，∴，∴為直角三角形．故選A．【點(diǎn)睛】判斷三角形的形狀可以根據(jù)邊的關(guān)系判斷，也可以根據(jù)角的關(guān)系判斷，故常用的方法有兩種：一是根據(jù)余弦定理，進(jìn)行角化邊；二是根據(jù)正弦定理，進(jìn)行邊化角．3.某幾何體三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如右圖所示，則該幾何體的體積為（

）

A．16

B．16C．64+16

D．16+參考答案：D略4.已知?jiǎng)t＝（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.已知?jiǎng)t的最小值是（

）A. B.4 C. D.5參考答案：C【詳解】本題考查基本不等式的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選C6.（4分）若P={1，3，6，9}，Q={1，2，4，6，8}，那么P∩Q=（） A． {1} B． {6} C． {1，6} D． 1，6參考答案：C考點(diǎn)： 交集及其運(yùn)算．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)兩集合，求出其公共部分即得兩集合的交集．解答： ∵P={1，3，6，9}，Q={1，2，4，6，8}，∴P∩Q={1，6}故選C點(diǎn)評(píng)： 本題考點(diǎn)是交集及其運(yùn)算，考查根據(jù)交集的定義求兩個(gè)集合的交集的能力．屬于基本題型．7.平面向量滿足，當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A.0 B.2 C.3 D.6參考答案：A【分析】設(shè)；；，再利用坐標(biāo)法和向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】根據(jù)題意設(shè)；；不妨設(shè)則，，當(dāng)時(shí)上式取最小值此時(shí)，.，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)法和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8.下列函數(shù)中，定義域?yàn)閇0，+∞）的函數(shù)是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.中，三內(nèi)角成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的形狀是（

）A.

等腰三角形

B.直角三角形C．等腰直角三角形

D.等邊三角形參考答案：D略10.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中的AB與CD的位置關(guān)系為（）A．平行 B．相交成60°角 C．異面成60°角 D．異面且垂直參考答案：C【考點(diǎn)】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】以CD所在平面為底面，將正方體的平面展開圖還原成直觀圖，因?yàn)镃E∥AB，所以∠DCE即為直線AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．【解答】解：如圖，直線AB，CD異面．因?yàn)镃E∥AB，所以∠DCE即為直線AB，CD所成的角，因?yàn)椤鰿DE為等邊三角形，故∠DCE=60°故選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列{xn}滿足，則________.參考答案：【分析】根據(jù)題意可求得和的等式相加，求得，進(jìn)而推出，判斷出數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)求出答案?！驹斀狻繉⒁陨蟽墒较嗉拥脭?shù)列是以6為周期的數(shù)列，故【點(diǎn)睛】對(duì)于遞推式的使用，我們可以嘗試讓取或，又得一個(gè)遞推式，將兩個(gè)遞推式相加或者相減來(lái)找規(guī)律，本題是一道中等難度題目。12.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，滿足，則______．參考答案：各項(xiàng)均為正數(shù)的因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以,故答案為.13.已知平面向量，若，則x=________參考答案：2【分析】根據(jù)即可得出，解出即可．【詳解】∵；∴；解得，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量坐標(biāo)的概念，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14.對(duì)于函數(shù),定義域?yàn)镈,若存在使,則稱為的圖象上的不動(dòng)點(diǎn).由此，函數(shù)的圖象上不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

.參考答案：15.函數(shù)f(x)＝log2(x2－1)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．參考答案：(－∞,－1)16.已知，則的最大值是_____________參考答案：略17.若函數(shù)，且則___________.參考答案：-3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)與是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°，且=2+，=﹣3+2．（1）求?；（2）求||和||；（3）求與的夾角．參考答案：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到；（2）運(yùn)用向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到；（3）運(yùn)用向量的夾角公式和夾角的范圍，計(jì)算即可得到所求值．解答：解：（1）由與是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°，則=1×=，=（2+）?（﹣3+2）=﹣6+2+?=﹣6+2+=﹣；（2）||====，||====；（3）cos＜，＞===﹣，由于0≤＜，＞≤π，則有與的夾角．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查向量的夾角公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19.（15分）某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測(cè)部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增．下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：月份1月份2月份3月份4月份收購(gòu)價(jià)格（元/斤）6765養(yǎng)殖成本（元/斤）344.65現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型：①y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π），②y=log2（x+a）+b中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來(lái)擬合今年生豬收購(gòu)價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系．（1）請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個(gè)函數(shù)解析式；（2）按照你選定的函數(shù)模型，幫助該部門分析一下，今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來(lái)的月份里有沒(méi)有可能虧損？參考答案：考點(diǎn)： 在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型；正弦函數(shù)的圖象．專題： 綜合題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： （1）①選擇函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）擬合收購(gòu)價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系，由題：A=1，B=6，T=4，求出ω，利用圖象過(guò)點(diǎn)（1，6），求出φ，即可求出函數(shù)解析式；②選擇函數(shù)模型y=log2（x+a）+b擬合養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系，由題：y=log2（x+a）+b圖象過(guò)點(diǎn)（1，3），（2，4），求出a，b，即可求出函數(shù)解析式；（2）x用5，6，7，8，9，10，11，12代入，計(jì)算可得結(jié)論．解答： （1）①選擇函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）擬合收購(gòu)價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系，…（1分）由題：A=1，B=6，T=4，∵，∴，∴，…（3分）由題圖象：圖象過(guò)點(diǎn)（1，6），∴一解為x=1，∴，∴…（5分）②選擇函數(shù)模型y=log2（x+a）+b擬合養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系…（6分）由題：y=log2（x+a）+b圖象過(guò)點(diǎn)（1，3），（2，4），，…（8分）解得：，∴y=log2x+3，…（10分）（2）由（1）：當(dāng)x=5時(shí)，，y=log2x+3=log25+3＜log28+3=3+3=6當(dāng)x=6時(shí)，，y=log26+3＜log28+3=3+3=6＜7當(dāng)x=7時(shí)，，y=log2x+3=log27+3＜log28+3=3+3=6當(dāng)x=8時(shí)，，y=log2x+3=log28+3=3+3=6＞5當(dāng)x=9時(shí)，，y=log2x+3=log29+3＞log28+3=3+3=6當(dāng)x=10時(shí)，，y=log2x+3=log210+3＜log216+3=4+3=7當(dāng)x=11時(shí)，，y=log2x+3=log211+3＞log28+3=3+3=6當(dāng)x=12時(shí)，，y=log2x+3=log212+3＞log28+3=3+3=6＞5這說(shuō)明第8、9、11、12這四個(gè)月收購(gòu)價(jià)格低于養(yǎng)殖成本，生豬養(yǎng)殖戶出現(xiàn)虧損．…（14分）答：今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來(lái)的月份里有可能虧損．…（15分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．20.已知函數(shù)f（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）若y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，2)，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0，求x的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出a的值；（Ⅱ）討論0＜a＜1和a＞1時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式組，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）的圖象過(guò)點(diǎn)，∴l(xiāng)oga（1+）﹣loga（1﹣）=2，∴l(xiāng)oga3=2，∴a2=3；又a＞0，∴a=；（Ⅱ）當(dāng)f（x）＞0時(shí)，f（x）=loga（1+x）＞loga（1﹣x），若0＜a＜1，則，解得﹣1＜x＜0；若a＞1，則，解得0＜x＜1；綜上，0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍是{x|﹣1＜x＜0}，a＞1時(shí)，x的取值范圍是{x|0＜x＜1}．21.已知圓C經(jīng)過(guò)P(4，－2)，Q(－1，3)兩點(diǎn)，且圓心C在直線x＋y－1＝0上．(1)求圓C的方程；(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程．參考答案：（1）（2）y＝－x＋4或y＝－x－3【分析】（1）由圓的性質(zhì)知圓心在線段的垂直平分線上，因此可求得線段的垂直平分線的方程，與方程聯(lián)立，可求得圓心坐標(biāo)，再求得半徑后可得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程為．代入圓方程，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6．而以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，即，由此可求得，得直線方程．【詳解】(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，∴線段PQ的中點(diǎn)M，斜率kPQ＝－1，則PQ的垂直平分線方程為，即．解方程組得∴圓心C(1，0)，半徑．故圓C的方程為．(2)由l∥PQ，設(shè)l的方程為．代入圓C的方程，得．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6．故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，依題意知OA⊥OB，則．∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝0，于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝0，即m2－m－12＝0．∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足Δ>0．故直線l的方程為y＝－x＋4或y＝－x－3．【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．求圓的方程，可先確定圓心坐標(biāo)，求得圓的半徑，然后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．本題直線與圓相交問(wèn)題中采用設(shè)而不求法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線方程與圓方程聯(lián)立方程組消元后可得（不直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)），代入A，B滿足的其他條件（本題中就是）求得參數(shù)值．22.（12分）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|ω|＜π）部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)解析式；（2）設(shè)g（x）=f（x﹣）+1，求g（x）在區(qū)間[0，]內(nèi)的最值．參考答案：

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）由圖可知A=1，T=π，從而可求ω，再由ω+φ=0即可求得φ，從而可得函數(shù)解析式；（2）求得y=g（x）的解析式，利用正弦