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西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》教案西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》教案#/7西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》課程建設(shè)組八,)=b-aF'(,)=0。又F'(x)=門x)-f?-f八,)=b-a?門,)-=0或b-a注1:拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣;2:定理中的結(jié)論,可以寫成f(b)-f(a)=f'(g)(b-a)(a…,…b),此式也稱為拉格朗日公式,其中,可寫成:€a+0(b-a)(0<0…1)?f(b)-f(a)€f(a+0(b-a))(b-a)若令b€a+h,?f(a+h)-f(a)=廣(a+0h)h3:若a>b,定理中的條件相應(yīng)地改為:f(x)在[b,a]上連續(xù),在(b,a)內(nèi)可導(dǎo),則結(jié)論為:f(a)-f(b)=f'(g)(a-b)也可寫成f(b)-f(a)=f'(g)(b-a)可見,不論a,b哪個(gè)大,其拉格朗日公式總是一樣的。這時(shí),,為介于a,b之間的一個(gè)數(shù),(4)中的h不論正負(fù),只要f(x)滿足條件,(4)就成立。4:設(shè)在點(diǎn)x處有一個(gè)增量Ax,得到點(diǎn)x+Ax,在以x和x+Ax為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理,有f(x+Ax)-f(x)=f'(x+0Ax)-Ax(0<0<1)即Ay=f'(x+0Ax)-Ax這準(zhǔn)確地表達(dá)了Ay和Ax這兩個(gè)增量間的關(guān)系,故該定理又稱為微分中值定理。5:幾何意義:如果曲線y=f(x)在除端點(diǎn)外的每一點(diǎn)都有不平行于y軸的切線,則曲線上至少存在一點(diǎn),該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)的連線。由定理還可得到下列結(jié)論:推論1:如果y=f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為o,則f(x)在I上是一個(gè)常數(shù)。證明:在I中任取兩點(diǎn)x,x(x<x),y=f(x)在[x,x]連續(xù),在121212(x,x)可導(dǎo),由拉格朗日中值定理,則在(x,x)內(nèi)至少存在一點(diǎn),,使得1212
f(x2)-f(xi)二廣(€)(x2-xi)由假設(shè)可知在I上,f'(x)三0,從而在(x,x)上,f'(x)三0,12…廣(€)=0,所以f(x)-f(xo)=0…(x)=f(xo),可見,f(x)在1上的每一點(diǎn)都有:f(x)=f(x0)(常數(shù))。x【例3】證明當(dāng)x〉0時(shí)1子財(cái)+x)<x.證:設(shè)/(x)=ln(l+x),顯然f(x)在[0,X]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,故至少存在一點(diǎn)Ee(°,x)使f(丁f(°)=f'(E)1,f(°)=°,廣(£)=1,代入上式有l(wèi)n(l+x)一Ln11ln(1+ln(l+x)一Ln11ln(1+x)1=1即「17「吃凹<1即『<加(1+x)<1+xx1+x注:(1)構(gòu)造輔助函數(shù)f(x);(2)正確確定區(qū)間左右端點(diǎn),利用TH2可得.三、柯西中值定理定理3:若f(x),F(x)滿足:⑴在[a,b]上連續(xù);⑵在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)Vxe(a,b)F'(x)豐0則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)€,使得爲(wèi)=倍舉。F'(€)F(b)-F(a)證明:令9(x)=f(b)[f(a)F(x)-f(x)'顯然’曲)在叵b]上連續(xù)'且申(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),更進(jìn)一步還有申(a)二申(b),事實(shí)上,9(b)(a)=F(b)-f(b)-f(a”f(a)
€Fl舗(F(b)-F(a))-(f(b)-f(a))€0所以,(x)滿足羅爾定理的條件,故在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)匕,使得(x)€船罟f?(x)一八x)…F?(g)一f?(g)€0因?yàn)镕?(g)’0,…黑€FbfF?(g)’0,…黑€Fbf就得到拉格朗日中值定理;2:幾何意義:若用:€f(x](a<x<b)表示曲線c,2:幾何意義:若用Y€F(x)義同前一個(gè)。<【例4】證明arcsinx+arccosx=(-1<x<1)。^211證:令f(x)€arcsinx+arccosx,€?f'(x)=-=0,1-x2<1-x2<<由推論知f(x)=常數(shù)!再由f(0)€—,故arcsinx+arccosx=—【例5】若方程axn+axn-i+...+ax€0有一個(gè)正根x=x,01n-10證明方程a0nxn-1+a1(n一1)xn一2+…+an-1€0必有一個(gè)小于x0的正根。證明:令f(x)€aoxn+a嚴(yán)+…+,在閉區(qū)間[0,%]上滿足羅爾定理的三個(gè)條件,故f'(g)€0(0<E<xo)f'(x)€anxn-1+a(n一1)xn-2+...+aTOC\o
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