多元函數(shù)的極值算法比較與應用第一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五一、研究意義任何現(xiàn)象都體現(xiàn)著質(zhì)與量的辯證統(tǒng)一.要研究現(xiàn)象的本質(zhì)，必須進行嚴格的定性分析與定量分析.定量分析離開數(shù)學就無法進行.數(shù)學的應用貫穿到人類文明的發(fā)展進程中.從古代的結(jié)繩記數(shù)、丈量土地，到如今的存款利率、國民收入等諸多方面.今日，數(shù)學的發(fā)展水平及其在社會經(jīng)濟中的應用程度，已經(jīng)是一個國家綜合實力的重要指標.數(shù)學應用的一個重要方面便是極值問題.極值作為函數(shù)性態(tài)的重要特征，也得到了充分而系統(tǒng)的研究.上個世紀初期，統(tǒng)計學家們在對獨立同分布隨機變量最大值的漸近分布進行研究時提出了極值理論.近年來，諸如恐怖事件、金融風暴、特大自然災害之類的事件頻頻發(fā)生，極值問題的研究得到了進一步的關(guān)注.第二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五二、研究現(xiàn)狀多元函數(shù)的條件極值是數(shù)學分析和高等數(shù)學中的一個重要內(nèi)容，它的一般求解方法為拉格朗日乘數(shù)法.然而，在實際解題過程中，往往比較繁瑣，國內(nèi)現(xiàn)行教材對此缺乏相關(guān)論述，各類文獻對這個問題的研究也是分散的、不系統(tǒng)的.因此，有必要給出更多的求多元函數(shù)條件極值的方法并比較適用的條件及難易程度，以便在求解類似的問題時選擇適當?shù)姆椒?，更方便應用與現(xiàn)實生活中.第三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五1、引言論文結(jié)構(gòu)2、函數(shù)極值理論及極值解法3、多元函數(shù)極值的應用4、總結(jié)5、參考文獻6、致謝第四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五四、研究內(nèi)容

（一）多元函數(shù)極值及解法定義設n元函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)又定義，如果對該鄰域內(nèi)任一異于的點都有或

則稱函數(shù)在點有極大值(或極小值).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.第五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五1代入消元法

通過一個量用其它量代替的方法達到降元效果，將條件極值化為無條件極值問題來解決一些較為簡單的條件極值問題，這種方法適用于約束函數(shù)較為簡單的條件極值求解，有些條件極值很難化為無條件極值來解決.

第六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五2拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.

求目標函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值，若及有連續(xù)的偏導數(shù)，且Jacobi矩陣

的秩為，則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.

首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)然后，解方程組從此方程組中解出駐點的坐標，所得駐點是函數(shù)極值的可疑點，需進一步判斷得出函數(shù)的極值.

第七頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五3標準量代換法

求某些有多個變量的條件極值時,我們可以選取某個與這些變量有關(guān)的量作為標準量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標準量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕藴柿颗c輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個變量之和的形式,一般設這幾個量的算術(shù)平均數(shù)為標準量.第八頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五4不等式法

（1）利用均值不等式

均值不等式是常用的不等式，其形式為，

這里，且等號成立的充分條件是.

（2）利用柯西不等式

柯西不等式：對于任意實數(shù)和，總有,當且僅當實數(shù)與對應成比例時，等號成立.運用柯西不等式，主要是把目標函數(shù)適當變形，進

而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值第九頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五5二次方程判別式符號法

求有些含多個變量目標函數(shù)的極值時，我們可以反復轉(zhuǎn)化為求關(guān)于某個變量的二次方程，然后考慮方程有實數(shù)解判別式滿足的條件解決目標函數(shù)的極值問題。第十頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五6梯度法

用梯度法求目標函數(shù)在條件函數(shù)時組限制下的極值，方程組

的解,就是所求極值問題的可能極值點.其中表示目標函數(shù)的梯度向量，

表示條件函數(shù)的梯度向量

第十一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五7數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點到直線的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)決定目標的條件極值.第十二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五（二）多元函數(shù)極值的應用

1不等式證明某些給定范圍內(nèi)的單向不等式，可以轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的最值來求解，而多元函數(shù)的最值又可以通過求極值的方法來解決第十三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五2物理學中光的折射定律證明

利用極值證明光的折射定律是物理學中的典型應用，將光的傳播問題轉(zhuǎn)化為條件極值問題，運用拉格朗日乘數(shù)法求極值簡單易解決。第十四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五3生產(chǎn)銷售

在生產(chǎn)和銷售商品的過程中，銷售價格上漲將使廠家在單位商品上獲得的利潤增加，但同時也使消費者的購買欲望下降，造成銷售量下降，導致廠家消減產(chǎn)量.但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、成本與售價是相互影響的.廠家要選擇合理的銷售價格才能獲得最大利潤.第十五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五總結(jié)本文討論了多元函數(shù)的極值問題。.首先我們給出多元函數(shù)極值的理論概述。然后介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法，一般我們是運用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法，但在實際解題過程中都比較繁瑣，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點選擇其它一些特殊解法來快速解題，如標準量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法.都可以簡捷地求得結(jié)果.所以在解條件極值問題時，我們可以先分析題目的特點再選擇最合