矩陣的運(yùn)算演示文稿目前一頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)一、矩陣的加法下頁

1.定義2.3設(shè)A與B為兩個mn矩陣ABa11+b11

a12+b12

a1n+b1na21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=。a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，A與B對應(yīng)位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與矩陣B的和，記為AB。即目前二頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)

例1．設(shè)357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，則357

22043012

3A+B=132

02157064

8+3+15+37+2

2+02+20+14+53+70+01+62+4

3+8=489

241910076

11。=下頁矩陣的加法：設(shè)A(aij)mn與B(bij)mn，則A+B=(aij+bij)mn。目前三頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)2.運(yùn)算規(guī)律注意：

只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時,

設(shè)A,B,C為同型矩陣,則

(1)A+B=B+A(加法交換律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法結(jié)合律);加法運(yùn)算。二者才能進(jìn)行目前四頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)3.負(fù)矩陣與矩陣減法

若記-A=(-aij),則稱-A為矩陣A的負(fù)矩陣.顯然有A+(-A)=O.定義矩陣的差為：

A-B=A+(-B).其中O

是與

A

同型的零矩陣;例如，C

的負(fù)矩陣為:目前五頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定義4.4設(shè)A(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA。即ka11

ka12

ka1nka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=。下頁二、數(shù)與矩陣相乘（數(shù)乘）目前六頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)矩陣的數(shù)乘：設(shè)A(aij)mn，則kA=(kaij)mn。

例2．設(shè)357

22043012

3A=，則3A357

22043012

3=3333537

3232303433303132

33=91521

66012

9036

9=。下頁目前七頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)

行列式的某行（或列）有公因子即可提出,

但矩陣的每一個元素都有公因子時才可以提出.思考：數(shù)與行列式相乘和數(shù)與矩陣相乘有什么區(qū)別？答：數(shù)與行列式相乘，是將數(shù)乘到行列式中的某一行（或列）；而數(shù)與矩陣相乘，是將數(shù)乘矩陣中的每一個元素。即：目前八頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)2.數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算律設(shè)A,B為同型矩陣,λ,μ為常數(shù)，則(1)(λμ)A=λ

(μA);結(jié)合律(2)(λ+μ)A=λ

A+μA.分配律(3)λ(A+B)=λA+λB.分配律矩陣加法與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。目前九頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)

例3．設(shè)357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，求3A-2B。

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9=。7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16=下頁目前十頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)

例4．已知357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，且A+2X=B，求X。下頁練習(xí)目前十一頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)

定義2.5設(shè)A是一個ms矩陣，B是一個sn矩陣：構(gòu)成的mn矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積，記為CAB。下頁則由元素cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n)。

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=。即三、矩陣的乘法目前十二頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78下頁目前十三頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3；下頁目前十四頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；下頁目前十五頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983，解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；下頁目前十六頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)

例6．設(shè)A=，4-2-21B=，求AB及BA。4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32-16168=，BA=4-2-214

2-6-30

000=，B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983。下頁目前十七頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)

例6．設(shè)A=，4-2-21B=，求AB及BA。4

2-6-3AB=解：-32-16168，BA=0

000，B=，求AB及BA。A=，

例5．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983?？梢?，矩陣乘法一般不滿足交換律，即ABBA。兩個非零矩陣相乘，可能是零矩陣，從而AB=O推不出A=O或B=O。下頁練習(xí)目前十八頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)1110

例7．設(shè)A=，B=，求AB及BA。2110解：11102110AB=3110=，21101110BA=3110=，顯然AB=BA。如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換。下頁目前十九頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)解：設(shè)可交換的一切矩陣。

例8．求與矩陣A=010001000B=，abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=那么，，下頁目前二十頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)解：設(shè)可交換的一切矩陣。

例8．求與矩陣A=010001000B=，abca1b1c1a2b2c2AB那么a1b1c1a2b2c2000=，BA0ab0a1b10a2b2=。令A(yù)B=BA，則有a1=a2=b2=0，b1=c2=a，c1=b。于是與A可交換的矩陣為Babc0ab00a=，其中a，b，c為任意數(shù)。下頁目前二十一頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)顯然AC=BC，但AB。矩陣乘法不滿足消去律。下頁目前二十二頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)。應(yīng)注意的問題：

(1)ABBA；

(3)AB=OA=O或B=O。/(2)AC=BCA=B。/下頁

例11．證明：如果CA=AC，CB=BC，則有(A+B)C=C(A+B)，(AB)C=C(AB)。證：因為CA=AC，CB=BC，所以有(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B)，(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)。矩陣乘法的性質(zhì)：目前二十三頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)四、方陣的冪

如果A

是n

階矩陣,那么AA

有意義,也有意義,(１)定義k個Ａ相乘稱為Ａ的k

次冪，記為Ａk,

定義

設(shè)A

是n

階矩陣,k是正整數(shù),

規(guī)定

Ａ1=A,

Ａ2=A?Ａ,…,

Ａk+1=Ａk?Ａ,即因此有下述定義:目前二十四頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)(2)運(yùn)算規(guī)律設(shè)A為方陣,k,l為正整數(shù),則對n階方陣A

與B一般來說,由于矩陣乘法一般不滿足交換律，

AkAl=注意的乘法公式不一定成立.

所以初等數(shù)學(xué)中(AB)k

AkBk

；(A+B)2

A2+2AB+B2；(A+B)(A-B)A2-B2；(Ak)l=Ak+l,Akl.目前二十五頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)

定義2.6將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A。即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則。例如，設(shè)x=(x1

x2

xn)，y=(y1

y2

yn)，則(y1

y2

yn)xTyx1x2xn

==x1y1x2y1…xny1

x1y2x2y2…xny2

x1ynx2yn…xnyn

…………

。下頁五、矩陣的轉(zhuǎn)置目前二十六頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；下頁a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則。

定義2.6將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A。即如果五、矩陣的轉(zhuǎn)置(4)(AB)T=BTAT

。目前二十七頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)例設(shè)A與B是兩個n階矩陣。證明：AB是對稱矩陣的充分必要條件是A與B可交換。

證:因為A、B是對稱矩陣，所以1、若AB是對稱矩陣，則有于是有所以A與B可交換。2、若A、B是可交換，則有于是有所以AB是對稱矩陣。

證畢目前二