復(fù)變函數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一(1)復(fù)變函數(shù)是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的推廣.

對(duì)于復(fù)變函數(shù)的極限,連續(xù),導(dǎo)數(shù)的概念可以按照(1)給出.重點(diǎn)分析:(一)與實(shí)變函數(shù)中對(duì)應(yīng)概念的不同之處.第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一2.1復(fù)變函數(shù)的極限2.1.1復(fù)變函數(shù)極限的概念定義:第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一xyOz0dzOuvAef(z)幾何意義:第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一證明:2.1.2復(fù)變函數(shù)極限定理?復(fù)變函數(shù)的極限第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一定理2.1則運(yùn)算性質(zhì):證明:結(jié)合復(fù)變函數(shù)及實(shí)變函數(shù)極限的定義.第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)z0時(shí)的極限不存在[證]

令

z=x+iy,則由此得讓z沿直線y=kx

趨于零,我們有故極限不存在.例2

證明函數(shù)第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一2.2復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)：

(1)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍然連續(xù)(定理2.3)；

(2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然連續(xù)(定理2.4)；

定義:則證明:結(jié)合復(fù)變函數(shù)極限定理,連續(xù)的定義.例3(見例2.7,2.8)第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一x00例4第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一例6解可知例5解第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一2.3導(dǎo)數(shù)2.3.1導(dǎo)數(shù)的概念（實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念的推廣）定義存在,從實(shí)質(zhì)上講，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，要比實(shí)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)要求要高的多，復(fù)雜的多。第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一主要原因就是第三章，我們將看到，若一個(gè)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)，就有任意階的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于實(shí)變函數(shù)這是不具有的性質(zhì)。另外，在高等數(shù)學(xué)中，要舉出一個(gè)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)是十分困難的。在復(fù)變函數(shù)中，這樣的例子很多。例3討論的可導(dǎo)性。解:都是在整個(gè)復(fù)平面上處處連續(xù)，但在任何一點(diǎn)都不可導(dǎo)。第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。所以注:第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一2.3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則PP38-39定理2.5,2.6,2.7

給出了結(jié)論.與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則相同.第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一2.3.3函數(shù)可導(dǎo)的必要與充分條件(可導(dǎo)點(diǎn)的判定)討論兩種特殊情況，第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一柯西-黎曼方程第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一定理2.8（1）關(guān)于柯西-黎曼方程的記憶注：實(shí)部,虛部對(duì)應(yīng)相等得到柯西-黎曼方程第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一（3）將結(jié)論推廣至區(qū)域D在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)（2）導(dǎo)數(shù)公式：(4)實(shí)際應(yīng)用：直接利用定理結(jié)論有一定難度。第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一解：判定函數(shù)的可導(dǎo)點(diǎn),并求導(dǎo)數(shù).第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一解：第20頁，共23頁，2023年，2月20日，