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-.z.4、二元函數(shù)的極值、最值10極值定義P208為極大值為極小值駐點(diǎn)極值點(diǎn),需判別設(shè)、、f<0A<0極大值A(chǔ)>0極小值>0非極值=0不定求的極值解:,,,,令得駐點(diǎn),在,∴非極值,∴為極值點(diǎn)又∴為極小值例2、求在閉區(qū)域D:,,的最大,最小值。解:,令〔在D內(nèi)〕在D的內(nèi)部函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn),在邊界,在,在,得:,即,為駐點(diǎn)比擬,,得最大值,最小值在實(shí)際問(wèn)題中要求最大,最小值往往帶有附加條件,即對(duì)函數(shù)的自變量除了限制在函數(shù)的定義域內(nèi)外,還有其他的附加條件,這些條件由函數(shù)的各自變量之間的一些方程來(lái)表示。求原點(diǎn)到曲線的最大距離此題即在條件下求的最小值問(wèn)題20條件極值、拉格朗日乘數(shù)法在實(shí)際問(wèn)題中可根據(jù)題意來(lái)確定最值而不需判別求在條件下,的極值令稱為目標(biāo)函數(shù),為拉格朗日常數(shù)解得的為可能的極值點(diǎn)例1、求曲面到平面的最短距離解法一、曲面上任一點(diǎn)〔x,y,z〕到平面的距離∴設(shè)得:得: ∵駐點(diǎn)唯一∴解法二、曲面在任一點(diǎn)的切平面法矢量平面x+y-4z=1的法矢量當(dāng)∥時(shí),即得:,∵在點(diǎn)處切平面平行平面∴點(diǎn)到平面距離最短,例2、在曲面位于第一卦限局部上求一點(diǎn),使該點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小。∵曲面位于第一卦限局部上任一點(diǎn)〔x,y,z〕處的平面方程為:即,∴四面體體積故令由得:∵駐點(diǎn)唯一∴為所求點(diǎn)。例3、在第一象限內(nèi),過(guò)橢圓曲線上任一點(diǎn)作橢圓的切線,求諸切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值。解:在第一象限內(nèi)曲線上任一點(diǎn)〔x,y〕處的切線方程為:切線與兩坐標(biāo)軸的截距分別為假設(shè)要使S最小,只要最大故設(shè)由得:∵駐點(diǎn)唯一∴例4、P212 例5.32 5.33第六章多元函數(shù)的積分10二重積分1、定義P2252、性質(zhì)P226其中表示平面區(qū)域D的面積,,表D的面積3、幾何意義,,那么表示以為頂,以D為底的曲頂柱體體積。4、二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算法設(shè)用平面截立體得如圖<1>所示的曲邊梯形其面積例1、計(jì)算二重積分其中D由曲線直線及軸所圍成。解:首先畫(huà)出積分區(qū)域D例2、將二重積分化為累次積分,其中D為:(1)拋物線及所圍成解:交點(diǎn)═(2)圓,,所圍(3),,所圍,例3、計(jì)算, 0≤y≤1111010例4、P228,例6.1,6.2,6.3例5、,那么1解:100例6、2200例7、交換積分次序例8、 P231 例6.5例6.6,6.7(1),6.8,6.9,6.105、二重積分在極坐標(biāo)下計(jì)算方法例9、計(jì)算 D:解:例10、 D:由,,,所圍。解:例11、 D由,及軸所圍。得交點(diǎn)例12、P238 例6.13 6
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