精選第三屆“長江杯〞全國數(shù)學邀請賽預賽試題(七年級)PAGEPAGE6第三屆“長江杯〞全國數(shù)學邀請賽預賽試題〔七年級〕一、選擇題〔每題5分，共30分．以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的．〕1．以下四個論斷中不正確的選項是()A．在數(shù)軸上，關(guān)于原點對稱的兩個點所對應的兩個有理數(shù)互為相反數(shù)B．兩個有理數(shù)互為相反數(shù)，那么它們在數(shù)軸上對應的兩個點關(guān)于原點對稱C．兩個有理數(shù)不等，那么它們的絕對值不等D．兩個有理數(shù)的絕對值不等，那么這兩個有理數(shù)不等2．我們從不同的方向觀察同一物體時，可能看到不同的圖形.那么從正面、左面、上面觀察都不可能看到長方形的是()AA．B．C．D．3．在代數(shù)式中，x與y的值各減少25％，那么該代數(shù)式的值減少了()A．50％B．75％C．D．4．如果，且.那么以下說法中可能成立的是()A．a(chǎn)、b為正數(shù)，c為負數(shù)B．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為負數(shù)C．b、c為正數(shù)，a為負數(shù)D．a(chǎn)、c為負數(shù)，b為正數(shù)第5題圖5．如圖，假設AB∥CD，，第5題圖那么等于〔〕A．50°B．40°C．30°D．20°6．商家獲得的利潤按以下公式計算：利潤=售價－進價－售價×稅率.假設稅率由b%調(diào)為c%，且商品的進價和利潤都未改變，那么商品的售價是原來的()A．倍B．倍C．倍D．倍二、填空題〔每題5分，共30分?！?．計算：=．8．關(guān)于x的方程的解是．9．方程|2023x－2023|=2023的根是．10．假設，那么的值等于．11．假設P是質(zhì)數(shù)，且P+3整除5P，那么的末位數(shù)是．12．時鐘的分針和時針在下午4點至5點成45°角的時刻是．三、解答題〔每題15分，共60分，寫出推理、運算的過程及最后結(jié)果．〕13．小紅和小明在研究絕對值的問題時，碰到了下面的問題：“當式子取最小值時，相應的x的取值范圍是，最小值是〞．小紅說：“如果去掉絕對值問題就變得簡單了。〞小明說：“利用數(shù)軸可以解決這個問題。〞他們把數(shù)軸分為三段：，和，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當時，值最小為3．請你根據(jù)他們的解題解決下面的問題：〔1〕當式子取最小值時，相應的x的取值范圍是，最小值是．(2)，求相應的x的取值范圍及的最大值。寫出解答過程．14．O為直線AB上的一點，∠COE是直角，OF平分∠AOE．〔1〕如圖1，假設∠COF=34°，那么∠BOE=；假設∠COF=n°，那么∠BOE=；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為．〔2〕當射線OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，〔1〕中∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？如成立請寫出關(guān)系式；如不成立請說明理由．〔3〕在圖3中，假設∠COF=65°，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半？假設存在，請求出∠BOD的度數(shù)；假設不存在，請說明理由．第14題圖第14題圖15．(本小題總分值15分)老師帶著兩名學生到離學校33千米遠的博物館參觀．老師乘一輛摩托車，速度為25千米／小時．這輛摩托車后座可帶乘一名學生，帶人后速度為20千米／小時．學生步行的速度為5千米／小時．請你設計一種方案，使師生三人同時出發(fā)后都到達博物館的時間不超過3個小時．16．有依次排列的3個數(shù)：3，9，8，對任相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，6，9，，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，3，6，3，9，，，9，8，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串3，9，8開始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？第三屆“長江杯〞全國數(shù)學邀請賽預賽試題七年級參考答案一、選擇題1．D2．C3．C4．C5．B6．A二、填空題7．8．49．10．－311．812．下午4點分或4點30分三、解答題13．〔1〕和8；〔2〕當，時當，時當，時所以時，有最大值．14．〔1〕∵∠COE是直角，∠COF=34°，∴∠EOF=90°﹣34°=56°，由∵OF平分∠AOE．∴∠AOE=2∠EOF=112°，∴∠BOE=180°﹣112°=68°；當∠COF=n°，∴∠EOF=90°﹣n°，∴∠AOE=2∠EOF=180°﹣2n°，∴∠BOE=180°﹣〔180°﹣2n°〕=2n°，所以有∠BOE=2∠COF．故答案為：68°，2n°，∠BOE=2∠COF；〔2〕∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系仍然成立．理由如下：設∠COF=n°，如圖2，∵∠COE是直角，∴∠EOF=90°﹣n°，又∵OF平分∠AOE．∴∠AOE=2∠EOF=180°﹣2n°，∴∠BOE=180°﹣〔180°﹣2n°〕=2n°，即∠BOE=2∠COF；〔3〕存在．理由如下：如圖3，∵∠COF=65°，∴∠BOE=2×65°=130°，∠EOF=∠AOF=90°﹣65°=25°，而2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半，∴2∠BOD+25°=〔130°﹣∠BOD〕，∴∠BOD=16°．15．要使師生三人都到達博物館的時問盡可能短，可設計方案如下：設學生為甲、乙二人．乙先步行，老師帶甲乘摩托車行駛一定路程后，讓甲步行，老師返回接乙，然后老師帶乘乙，與步行的甲同時到達博物館．5分設老師帶甲乘摩托車行駛了x千米，用了小時，比乙多行了這時老師讓甲步行前進，而自己返回接乙，遇到乙時，用了乙遇到老師時，已經(jīng)步行了離博物館還有要使師生三人能同時到達博物館，甲、乙二人搭乘摩托車的路程應相同，那么有13分即甲先乘摩托車24千米，用時1.2小時，再步行9千米，用時1.8小時，共計3小時．因此，上述方案可使師生三人同時出發(fā)后都到達博物館的時間不超過3個小時．15分16．一個依次排列的n個數(shù)組成一個n一數(shù)串：，2分依題設操作方法可得新增的數(shù)為：所以，新增數(shù)之和為：6分原數(shù)串為3個數(shù)：3，9，8第1次操作后所得數(shù)串為：3，6，9，，88分根據(jù)〔*〕可知，新增2項之和為：第2次操作后所得數(shù)串為：3，3，6，3，9，，，9，8