系統(tǒng)辨識與自適應(yīng)控制第1頁/共434頁課程目的掌握“系統(tǒng)辨識與自適應(yīng)控制”的概念；了解“系統(tǒng)辨識與自適應(yīng)控制”應(yīng)用場合、最新技術(shù)發(fā)展與實例；進行系統(tǒng)仿真與設(shè)計；課程講述分為“緒論篇”、“系統(tǒng)辨識篇”和“自適應(yīng)控制篇”第2頁/共434頁教材teachingmaterials系統(tǒng)辨識與自適應(yīng)控制

楊承志重慶大學(xué)出版社系統(tǒng)辨識與建模潘立登化學(xué)工業(yè)出版社自適應(yīng)控制吳士昌機械工業(yè)出版社自動控制原理鄒伯敏機械工業(yè)出版社線性系統(tǒng)理論鄭大鐘清華大學(xué)出版社智能控制劉金琨電子工業(yè)出版社第3頁/共434頁緒論篇

Introduction第4頁/共434頁1緒論

關(guān)于“系統(tǒng)辨識”；系統(tǒng)辨識的應(yīng)用與發(fā)展；關(guān)于“自適應(yīng)控制”；自適應(yīng)控制系統(tǒng)的應(yīng)用與發(fā)展；第5頁/共434頁關(guān)于系統(tǒng)辨識

什么是SI(SystemIdentification)?人們在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中，對所研究的復(fù)雜對象通常要求通過觀測和計算來定量地判斷其內(nèi)在規(guī)律，那么就必須建立所研究對象的數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel），從而進行分析、設(shè)計、預(yù)測、控制的決策。建立數(shù)學(xué)模型的方法有分析法和實驗法。實驗法是人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，稱為SI。不論是現(xiàn)代控制理論還是最優(yōu)控制，都假設(shè)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型已知，顯然，對于自動控制系統(tǒng)的設(shè)計研究者來說，建立對象的數(shù)學(xué)模型是不可少的。

第6頁/共434頁關(guān)于系統(tǒng)辨識

例如：我們需要利用民航旅客數(shù)年份月的統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，來預(yù)測未來行為；利用股市行情近期走勢預(yù)測未來走勢；在故障診斷方面，在生產(chǎn)過程中，例如反應(yīng)堆、大型化工和動力裝置等，希望經(jīng)常監(jiān)視和檢測可能出現(xiàn)的故障，以便及時排除故障，這就意味著必須不斷地從過程中搜集信息，推斷過程動態(tài)特性的變化情況，進而根據(jù)特性的變化情況判斷故障是否發(fā)生、何時發(fā)生、故障大小、故障位置等。

第7頁/共434頁

有的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用理論分析方法（解析法）推導(dǎo)出來，例如飛行器運動的數(shù)學(xué)模型，一般可根據(jù)力學(xué)原理較準(zhǔn)確地推導(dǎo)出來。但是，當(dāng)考慮飛行器運動模型的參數(shù)隨飛行高度和飛行速度變化時，為了實現(xiàn)對飛行器運動的自適應(yīng)控制，就要不斷估計飛行器在飛行過程中的模型參數(shù)。關(guān)于系統(tǒng)辨識第8頁/共434頁

有些控制對象，如化學(xué)生產(chǎn)過程，由于其復(fù)雜性，很難用理論分析方法推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型。只能知道數(shù)學(xué)模型的一般形式及其部分參數(shù)，有時甚至連數(shù)學(xué)模型的形式也不知道。因此提出怎樣確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其參數(shù)的問題，即所謂的系統(tǒng)辨識問題。既然有的系統(tǒng)很難用理論分析方法推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型，只有求助于試驗方法。關(guān)于系統(tǒng)辨識第9頁/共434頁

在經(jīng)典的控制理論中，為了確定閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，我們就需要數(shù)學(xué)模型?？梢寓僭谝阎到y(tǒng)微分方程的情況下，求取閉環(huán)傳遞函數(shù)，求解閉環(huán)特征方程，判斷根是否都具有負(fù)實部，或利用勞斯判據(jù)（霍爾維茨判據(jù)），確定是否所有極點位于S平面的左半平面；②獲得開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，繪制根軌跡，確定系統(tǒng)特征方程的根在S平面的分布情況；③在沒有獲得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的情況下，實驗室的方法變得切實可行，利用開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線（Bode圖）或者奈奎斯特曲線（奈氏圖），判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。關(guān)于系統(tǒng)辨識第10頁/共434頁

寫出最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的過程就是一個辨識過程（是對數(shù)幅頻漸近特性曲線繪制的逆問題）。關(guān)于系統(tǒng)辨識開環(huán)對數(shù)幅頻特性第11頁/共434頁

實際上，這個頻率響應(yīng)實驗原理為：首先，選擇信號源輸出的正弦信號的幅值，以使系統(tǒng)處于非飽和狀態(tài)。在一定頻率范圍內(nèi)，改變輸入正弦信號的頻率，記錄各頻率點處系統(tǒng)輸出信號的波形。由穩(wěn)態(tài)段的輸入輸出的幅值比和相位差繪制對數(shù)頻率特性曲線。關(guān)于系統(tǒng)辨識幅頻響應(yīng)實驗原理第12頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型

引入自動控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容：

二階系統(tǒng)欠阻尼時的單位階躍響應(yīng)第13頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型

引入自動控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容：

三階I型系統(tǒng)的奈氏圖第14頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型

引入自動控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容：

二階I型系統(tǒng)的波特圖第15頁/共434頁關(guān)于系統(tǒng)辨識什么是數(shù)學(xué)模型；系統(tǒng)辨識的基本方法；系統(tǒng)辨識的基本內(nèi)容；第16頁/共434頁什么是數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是對這個對象的特征和變化規(guī)律的一種表示或抽象，它不是對象本身，而是把對象本質(zhì)的部分信息表達(dá)成有用的描述形式。常用的數(shù)學(xué)模型有代數(shù)方程、微分方程、差分方程、偏微分方程和狀態(tài)方程等。在系統(tǒng)辨識中，常用的有：

a.微分方程；b.差分方程；c.狀態(tài)方程第17頁/共434頁什么是數(shù)學(xué)模型

根據(jù)模型不同的基本特征，數(shù)學(xué)模型劃分為：（1）靜態(tài)模型與動態(tài)模型；（2）線性模型與非線性模型；（3）參數(shù)模型與非參數(shù)模型；（4）確定性模型與隨機性模型；（5）連續(xù)時間模型與離散時間模型；（6）時不變模型與時變模型；（7）時間域模型與頻域模型；（8）集中參數(shù)模型與分布參數(shù)模型；第18頁/共434頁SI的基本方法機理建模

利用各個專業(yè)學(xué)科提出的物質(zhì)和能量守恒定律或連續(xù)性原理等，建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系，這種建模方法稱為“白箱問題（White-box）”。系統(tǒng)辨識（實驗建模）這是一種在沒有任何可利用的驗前信息（即相關(guān)學(xué)科專業(yè)知識與相關(guān)數(shù)據(jù)）的情況下，應(yīng)用所采集系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)提取信息進行建模的方法。這是一種實驗建模（ExperimentTestingMethod）的方法，稱為“黑箱問題（Black-box）”。第19頁/共434頁SI的基本方法機理分析與系統(tǒng)辨識相結(jié)合

這種方法適用于系統(tǒng)的運動機理不是完全未知的情況。首先，利用系統(tǒng)的運動機理和運行經(jīng)驗確定出模型的結(jié)構(gòu)（如狀態(tài)方程的維數(shù)或差分方程的階次），或分析出部分參數(shù)的大小或可能的取值范圍，再根據(jù)采集到的系統(tǒng)In-Out數(shù)據(jù)，由辨識的方法估計或修正模型中的參數(shù)，使其精確化。稱之為“灰箱問題（Grey-box）”。由于一般的“黑箱問題”無法解決，通常所指的SI就是“灰箱問題”。第20頁/共434頁SI的基本內(nèi)容和步驟實驗設(shè)計；模型結(jié)構(gòu)辨識；模型參數(shù)辨識；模型驗證；

第21頁/共434頁系統(tǒng)辨識的應(yīng)用與發(fā)展SI已經(jīng)在系統(tǒng)建模與仿真（Simulation）、預(yù)測預(yù)報（Prediction）、故障診斷（FaultDiagnosis）、自適應(yīng)控制、質(zhì)量監(jiān)控等方面得到成功地應(yīng)用。當(dāng)今，SI已經(jīng)成為系統(tǒng)理論中的一個重要分支。這其中，對于單變量線性的SI相關(guān)理論及方法取得了令人滿意的效果，而對于多變量的系統(tǒng)辨識，尤其是結(jié)構(gòu)辨識，還不很理想。

一方面，要借助其他理論加深對系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)的理解，并提供新的估算方法；一方面，要根據(jù)實際觀測提出新問題（如實驗設(shè)計、準(zhǔn)則函數(shù)選取、模型驗證）。第22頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制

什么是自適應(yīng)?

最初來源于生物系統(tǒng)，指生物變更自己的習(xí)性以適應(yīng)新的環(huán)境的一種特征。人體的體溫、血壓等系統(tǒng)都是典型的自適應(yīng)系統(tǒng)。前蘇聯(lián)學(xué)者Tsypkin（茨普金）在《學(xué)習(xí)系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)》一書中引用了馬克.吐溫的一段話來說明自適應(yīng)：“一只貓在燒熱的灶上燙了一次，這只貓再也不敢在灶上坐了，即使這只灶是冷的?！闭f明了自適應(yīng)過程的機械性。第23頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制

什么是自適應(yīng)控制(AC，AdaptiveControl)?它與一般的反饋控制有什么不同？在控制系統(tǒng)的運行過程中，系統(tǒng)本身不斷地識別實踐被控系統(tǒng)的狀態(tài)、性能或參數(shù)，而從“認(rèn)識”或“掌握”系統(tǒng)當(dāng)前的運行指標(biāo)并與期望的指標(biāo)相比較，進而做出決策，來改變控制器的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或根據(jù)適應(yīng)性的規(guī)律來改變控制作用，以保證系統(tǒng)運行在某種意義下的最優(yōu)或次優(yōu)狀態(tài)下，稱之為“自適應(yīng)控制”。第24頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制整個控制科學(xué)的發(fā)展過程經(jīng)典控制現(xiàn)代控制智能控制第25頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制最優(yōu)控制；--“沒有最好，只有更好”隨機控制；自適應(yīng)控制；--“以變制變”魯棒控制；--“以靜制動”自學(xué)習(xí)控制；智能控制；第26頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制

古典控制理論是將微分方程通過拉氏變換，變換到復(fù)頻域進行分析，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根均位于S平面的左半平面時，系統(tǒng)穩(wěn)定。特征方程的根取決于ai、bi。而現(xiàn)代控制理論狀態(tài)空間法是在時域進行分析。將微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程，求解狀態(tài)方程的時域解-狀態(tài)x(t)(n維)。當(dāng)時間時，狀態(tài)x(t)是收斂的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。x(t)的性能仍取決于ai、bi。第27頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制

討論參數(shù)ai、bi是未知定?；蚵龝r變情況，上述分析方法就不再適用了。必須采取其他的控制方法，如魯棒控制、自適應(yīng)控制等。目前的自適應(yīng)方法主要是參數(shù)自適應(yīng)，即用調(diào)整上述微分方程參數(shù)ai、bi的方法，使控制系統(tǒng)的性能達(dá)到預(yù)期的性能。但在調(diào)整時，系統(tǒng)不再是線性的了?？梢杂酶鞣N方法調(diào)整參數(shù)，當(dāng)時間時，調(diào)整ai、bi的方法不收斂，則系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的（除混沌外）。當(dāng)ai、bi收斂于某一常數(shù)值、時，則系統(tǒng)不一定是穩(wěn)定，因為這些參數(shù)決定了系統(tǒng)的最終性能。第28頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制

如同上述分析定常系統(tǒng)模型的方法一樣，在復(fù)域看它的特征根，當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根均位于S平面的左半平面時，系統(tǒng)穩(wěn)定。在時域，看當(dāng)時間時，狀態(tài)x(t)是收斂的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的?？梢?，自適應(yīng)系統(tǒng)的性能仍取決于參數(shù)。第29頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制

自適應(yīng)系統(tǒng)主要由控制器、被控對象、自適應(yīng)器及反饋控制回路和自適應(yīng)回路組成。自適應(yīng)系統(tǒng)原理圖第30頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制

自適應(yīng)控制的劃分形式多樣，按照設(shè)計原理與結(jié)構(gòu)不同，分為兩種：模型參考自適應(yīng)控制（MRAC）；這類自適應(yīng)系統(tǒng)的突出特點就是本身附加一個參考模型，其體現(xiàn)人們對被控對象的要求，也就是說，參考模型的特性就是被控對象的理想特性，根據(jù)兩者狀態(tài)（或輸出）之間的偏差，實時進行調(diào)整，使得在某種指標(biāo)下，被控對性的動態(tài)特性與參考特性盡量接近。第31頁/共434頁關(guān)于自適應(yīng)控制

自校正控制系統(tǒng)（STC,Self-TuningController

）；這是在實際應(yīng)用較廣的、與系統(tǒng)辨識技術(shù)聯(lián)系最為緊密的一類自適應(yīng)控制系統(tǒng)，它將在線辨識技術(shù)與最優(yōu)設(shè)計方法相結(jié)合。整個控制系統(tǒng)由兩個環(huán)構(gòu)成，內(nèi)環(huán)是由被控對象和通常的反饋控制器組成，控制器的參數(shù)通過外環(huán)來調(diào)整。調(diào)整方法是通過在線遞推估計（即系統(tǒng)辨識）和控制器在線設(shè)計來實現(xiàn)。第32頁/共434頁自適應(yīng)控制系統(tǒng)的應(yīng)用與發(fā)展

飛行器控制是最早應(yīng)用自適應(yīng)控制的領(lǐng)域。例如，在工業(yè)方面，加熱反應(yīng)爐的升溫自適應(yīng)控制，可使升溫圖曲線盡量接近試驗所確定的理想曲線。

現(xiàn)有的自適應(yīng)控制系統(tǒng)主要遵循兩個原則：

1、一般只假定系統(tǒng)是線性定常的；

2、設(shè)計從系統(tǒng)的穩(wěn)定性出發(fā)；按照Lyapunov分析穩(wěn)定性的觀點，穩(wěn)定性是保證如果系統(tǒng)的初始偏差在一定范圍內(nèi)，隨著系統(tǒng)運行時間的加大，偏差逐漸趨于零。

第33頁/共434頁自適應(yīng)控制系統(tǒng)的應(yīng)用與發(fā)展

但是一個實際系統(tǒng)，只具備穩(wěn)定性是不夠的，還要具備一定的穩(wěn)定速度，太慢了是沒有意義的。自適應(yīng)控制所著力追求的是具有真正適應(yīng)能力的系統(tǒng)，自適應(yīng)是生命系統(tǒng)的一種基本能力，體現(xiàn)為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)能力和智能水平。因此，自適應(yīng)控制的進一步發(fā)展將借鑒人工智能（AI）的推動。第34頁/共434頁系統(tǒng)辨識篇

SystemIdentification第35頁/共434頁講述內(nèi)容Chapter1系統(tǒng)辨識理論、方法及應(yīng)用；Chapter2系統(tǒng)辨識的經(jīng)典方法；Chapter3系統(tǒng)辨識的脈沖響應(yīng)法Chapter4智能技術(shù)在系統(tǒng)辨識中的應(yīng)用；第36頁/共434頁Chapter1

SI是研究如何利用系統(tǒng)試驗或運行的、含有噪聲的輸入輸出數(shù)據(jù)來建立被研究對象數(shù)學(xué)模型的一種理論和方法[3]。

SI就是一種利用數(shù)學(xué)方法從輸入輸出數(shù)據(jù)序列中提取對象數(shù)學(xué)模型的方法[4]。第37頁/共434頁Chapter1系統(tǒng)辨識的基本原理；系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型；隨機信號的描述與分析；白噪聲與偽隨機碼；第38頁/共434頁關(guān)于系統(tǒng)辨識

那么，關(guān)于系統(tǒng)辨識的定義，有這樣兩種普遍認(rèn)同的說法：1962年，美國學(xué)者Zadeh提出：SI就是在輸入和輸出數(shù)據(jù)觀測的基礎(chǔ)上，在指定的一組模型中，確定一個與所測系統(tǒng)等價的模型[1]；1978年，瑞典著名學(xué)者L.Ljung提出：SI有三個要素：數(shù)據(jù)、模型類和準(zhǔn)則，辨識就是按規(guī)定準(zhǔn)則在一類模型中選擇與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型[2]；→第39頁/共434頁關(guān)于系統(tǒng)辨識Zadeh簡介：

LotfiA.Zadeh，美國自動控制專家，美國工程科學(xué)院院士，被譽為模糊系統(tǒng)理論的創(chuàng)始人、模糊數(shù)學(xué)之父。1921年2月生于蘇聯(lián)巴庫，1949年獲哥倫比亞大學(xué)電機工程博士，現(xiàn)任美國伯克利加利福尼亞大學(xué)電機工程與計算機科學(xué)系教授。因發(fā)展模糊集理論的先驅(qū)性工作而獲電氣與電子工程師學(xué)會(IEEE)的教育勛章。

LotfiZadehinhisofficeatBerkeley.Sep.1994第40頁/共434頁關(guān)于系統(tǒng)辨識L.Ljung簡介：

L.Ljung教授現(xiàn)任瑞典皇家工程科學(xué)院院士、瑞典皇家科學(xué)院院士、IFAC顧問、IEEEFellow及多家國際刊物編委等職，在國際上擁有很高的學(xué)術(shù)地位。L.Ljung教授在系統(tǒng)辨識領(lǐng)域的貢獻(xiàn)是世界公認(rèn)的，可以說他及他所領(lǐng)導(dǎo)的“控制小組(theControlGroup)“在辨識方面所做的工作代表著系統(tǒng)辨識學(xué)科的前沿，尤其在辨識模型和辨識方法的一般性框架、快速辨識算法、辨識收斂性分析、可辨識性理論及閉環(huán)系統(tǒng)辨識等方面所作的貢獻(xiàn)都是具有前瞻性和開創(chuàng)性的。

L.Ljung訪問中國科學(xué)院第41頁/共434頁關(guān)于系統(tǒng)辨識

上述兩個定義，Zadeh的定義較為嚴(yán)格，但要找出與一個實際的系統(tǒng)完全等價的模型是比較困難的。而按L.Ljung的觀點，辨識的實質(zhì)可理解為數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)化，比較切合實用。我們用一幅圖來說明建模辨識的思想：第42頁/共434頁關(guān)于系統(tǒng)辨識

規(guī)定代價函數(shù)（或稱等價準(zhǔn)則）為，其為誤差e的函數(shù)，系統(tǒng)原型G0和系統(tǒng)模型Gg在同一激勵信號u的作用下，產(chǎn)生系統(tǒng)原型輸出信號y和系統(tǒng)模型輸出信號yg，二者誤差為e。系統(tǒng)辨識的原理第43頁/共434頁關(guān)于系統(tǒng)辨識

經(jīng)等價準(zhǔn)則（EquivalentCriterion）計算后，去修正模型參數(shù)，然后再反復(fù)進行，直到誤差滿足代價函數(shù)（CriterionFunction）最小為止，其數(shù)學(xué)表述為：其中，為準(zhǔn)則函數(shù)表達(dá)式，而辨識的目的為：找出一個模型，而為給定模型類，使之，則有Gg=G0。此時，稱系統(tǒng)被辨識。→第44頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理

再來回顧一下兩位著名學(xué)者對SI的定義，對于L.Ljung的理論，明確了系統(tǒng)辨識中的三大要素：①輸入、輸出數(shù)據(jù)（u，y，yg）；②模型類（Gg）；③等價準(zhǔn)則（J(y,yg)=f(e)）；

數(shù)據(jù)是辨識的基礎(chǔ)，準(zhǔn)則是辨識的優(yōu)化目標(biāo)，模型類是尋找模型的范圍。

SI的實質(zhì)就是從一組模型類中選擇一個模型，按照某種準(zhǔn)則，使之能最好地擬合所研究的實際過程的動態(tài)特性[5]

。

第45頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理

例如，一個工業(yè)爐加熱過程中，若忽略其他因素，控制的主要目標(biāo)是燃料流量Q（輸入）和爐膛溫度T（輸出）之間的關(guān)系：

第46頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理

燃料流量Q（輸入）和爐膛溫度T（輸出）之間的關(guān)系：欲建立T/Q模型，經(jīng)觀測得到一組輸入-輸出數(shù)據(jù)，記為和，其中為數(shù)據(jù)長度，同時，選定一組模型：

（A）第47頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理

（A）式相當(dāng)于表達(dá)了的關(guān)系，在這個關(guān)系式中，T表示量測溫度，可表示為

表示了估計（計算）溫度，可表示為表示干擾噪聲（量測誤差），表達(dá)了量測溫度等于估計溫度和量測誤差之和。

第48頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理

再選定一個等價準(zhǔn)則

而Q與T之間的數(shù)學(xué)描述就是T/Q的數(shù)學(xué)模型的辨識問題，即根據(jù)所觀測的In-Out數(shù)據(jù)和從模型類（A）式中尋找一個模型，也就是確定（A）式中的模型階次n及未知參數(shù)，使準(zhǔn)則J=min。由于觀測到的數(shù)據(jù)一般都含有噪聲，辨識建模實際上是一種實驗統(tǒng)計的方法，所獲得的模型只不過是與實際過程外特性等價的一種近似描述[6]

。第49頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理—等價準(zhǔn)則

在SI中，有一個很重要的概念，就是等價準(zhǔn)則，它是用來衡量模型接近實際過程的標(biāo)準(zhǔn)。而通常被辨識對象和模型的等價性是通過引入評價函數(shù)來定義的，這個評價函數(shù)稱為等價準(zhǔn)則函數(shù)。對于相同的輸入u，若實際系統(tǒng)的輸出為y，模型Gg的輸出為yg，而被辨識對象和模型輸出這兩個輸出量之間的偏離值（誤差）e=y-yg，采用的準(zhǔn)則函數(shù)如下：①連續(xù)信號下，準(zhǔn)則函數(shù)為第50頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理—等價準(zhǔn)則

②離散信號下，準(zhǔn)則函數(shù)為在給定的模型類中，當(dāng)Gg使準(zhǔn)則函數(shù)最小時，定義Gg與對象等價。因此，辨識就是求使準(zhǔn)則函數(shù)最小的模型Gg的優(yōu)化問題[7]。我們發(fā)現(xiàn)，準(zhǔn)則函數(shù)通常表示成誤差e的函數(shù)，寫作，而在具體表達(dá)中，平方誤差準(zhǔn)則用得最多，而根據(jù)誤差的定義形式，又可分為輸出誤差、輸入誤差和廣義誤差形式。第51頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理—等價準(zhǔn)則

我們回憶一下自控原理中，對誤差的理解：①從輸出端定義：系統(tǒng)輸出量的希望值與實際值之差，但在實際中此差值信號常常無法測量，一般只有數(shù)學(xué)意義；②從輸入端定義：系統(tǒng)的輸入信號與主反饋信號之差。此信號在實際中可測量，所以具有一定的物理意義。閉環(huán)系統(tǒng)框圖第52頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理—等價準(zhǔn)則

①輸出誤差：令輸出誤差為

輸出誤差通常是參數(shù)的非線性函數(shù)，這種參數(shù)辨識是一種復(fù)雜的非線性最優(yōu)化問題，當(dāng)誤差和參數(shù)的關(guān)系是一次函數(shù)時，稱模型是關(guān)于參數(shù)線性的。參數(shù)線性模型按照最小均方誤差準(zhǔn)則，采用最小二乘（LS，LeastSquare），可實現(xiàn)對參數(shù)辨識。辨識技術(shù)為非參數(shù)模型轉(zhuǎn)化為參數(shù)模型提供了手段。這里，系統(tǒng)線性和參數(shù)線性是不同的概念。第53頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理—等價準(zhǔn)則

②輸入誤差：令輸出誤差為

其中，為模型Gg的逆系統(tǒng)，其關(guān)系如圖：

輸入誤差示意圖第54頁/共434頁系統(tǒng)辨識的基本原理—等價準(zhǔn)則

③廣義誤差：將輸入、輸出誤差組合而成，定義為其中，和稱為廣義模型。

廣義誤差示意圖第55頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型—講解

前面我們已對數(shù)學(xué)模型做過分析，對于SI過程，弄清各類模型的表達(dá)形式、相互轉(zhuǎn)換及應(yīng)用場合十分必要。①按施加信息的特征，分為連續(xù)型和離散型；②按系統(tǒng)分析定義，分為時間域和頻率域；③動態(tài)系統(tǒng)按描述模型方式，劃分為參數(shù)型和非參數(shù)型，參數(shù)型用模型的系數(shù)來描述系統(tǒng)，如微分方程和傳遞函數(shù)中的ai、bi系數(shù)，狀態(tài)空間方程中的系數(shù)矩陣A，B。非參數(shù)指模型用響應(yīng)曲線來描述，如時域中的脈沖響應(yīng)模型、頻域中的頻率響應(yīng)模型。第56頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型

引入自動控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容：

二階系統(tǒng)欠阻尼時的單位階躍響應(yīng)第57頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型

引入自動控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容：

三階I型系統(tǒng)的奈氏圖第58頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型

引入自動控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容：

二階I型系統(tǒng)的波特圖第59頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型

從發(fā)展上看，以往動態(tài)系統(tǒng)的設(shè)計和控制分析中，非參數(shù)模型曾得到了廣泛的應(yīng)用，目前也有很多應(yīng)用。隨著計算機的發(fā)展，參數(shù)模型已成為應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)描述方法。辨識技術(shù)為非參數(shù)模型轉(zhuǎn)化為參數(shù)模型提供了手段。非參數(shù)模型可通過實驗獲得，而參數(shù)模型又可從非參數(shù)模型得到。例如，可從脈沖響應(yīng)或頻率特性，用最小二乘法擬合的方法，得到傳遞函數(shù)。第60頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

（一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型一個線性連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)可以分別用時域的微分方程和頻域的傳遞函數(shù)來表示。連續(xù)時間、線性、定常系統(tǒng)，其動態(tài)特性可以用n階微分方程來表示：

SISO系統(tǒng)示意圖（B）第61頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

（一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型微分系數(shù)和與系統(tǒng)階次n和m，決定了系統(tǒng)的動態(tài)特性，是系統(tǒng)需要辨識的參數(shù)。對（B）式進行Laplace（拉式）變換，在假定初始條件為零的條件下，寫成復(fù)數(shù)域形式：

→第62頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

Laplace變換:

設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)時有定義，積分（s為復(fù)參量）在s平面的某一域內(nèi)收斂，稱為函數(shù)f(t)的Laplace變換，記為。F(s)稱為f(t)的象函數(shù)。將微分方程的用復(fù)變量s替換，c(t)和r(t)就轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的象函數(shù)C(s)和R(s)。

第63頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

Laplace變換的重要性質(zhì):①時域微分若，則②初值定理

若，且存在，則③終值定理若，且所有極點均在s平面左半平面（穩(wěn)定），則

第64頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

Laplace變換的重要性質(zhì):④卷積定理在Fourier變換中，卷積定義為：在Laplace變換中，當(dāng)t<0時，f1(t)=f2(t)=0，此時，卷積為則卷積定理為第65頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

下面引入R-C電路，說明卷積的應(yīng)用由基爾霍夫電壓定律，有其中，，即獲得該電路的微分方程。現(xiàn)要求在已知ur(t)的條件下，求uc(t)

？（1）直接解微分方程，求出兩者的關(guān)系式；（2）將微分方程做拉式變換，得到

將ur(t)轉(zhuǎn)換為Ur(s)，代入，求得Uc(s)，再拉式反變換。RC電路第66頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

（3）利用卷積定理求得進行反變換，得到由于，根據(jù)卷積定理，則故若已知ur=1(t)，則

第67頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

（一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型定義傳遞函數(shù)為輸出的拉式變換與輸入的拉式變換之比：

s為拉式變換算子。

線性系統(tǒng)描述方式之間的關(guān)系第68頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

（一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型對于MIMO系統(tǒng)，考察一個m個輸入和r個輸出的MIMO，

記，則傳遞函數(shù)為

MIMO系統(tǒng)示意圖第69頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

（一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型展開,形式為：

MIMO系統(tǒng)還可以用狀態(tài)空間來描述，表示為

X(t)為n維狀態(tài)向量；

U(t)為m維輸入向量；

Y(t)為r維輸出向量；A(t)為n×n階系數(shù)矩陣；

B(t)為n×m階控制矩陣；C(t)為r×n階輸出矩陣；

D(t)為r×m階前饋矩陣；第70頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

（二）離散系統(tǒng)的參數(shù)模型若系統(tǒng)描述為一個或者多個變量僅在離散的瞬間改變它們的值，稱之為離散時間系統(tǒng)。與連續(xù)系統(tǒng)對應(yīng)，一個線性離散的動態(tài)系統(tǒng)可以用時域的差分方程和頻域的Z變換傳遞函數(shù)來表示。在單變量及不考慮系統(tǒng)干擾的情況下，其離散輸入量u(k)及輸出量y(k)之間的關(guān)系表示為如下差分方程形式：

（C）第71頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

（二）離散系統(tǒng)的參數(shù)模型若引入后移算子，并定義再用多項式表示故（C）式可表示為

第72頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類

（二）離散系統(tǒng)的參數(shù)模型對（C）式進行Z變換，設(shè)初始條件為零（y(k)=u(k)=0,k<0），則表示為其中，z為傅里葉變換算子，則z傳遞函數(shù)定義為即在離散系統(tǒng)中，差分方程可通過Z變換得到Z傳遞函數(shù)。第73頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類

非參數(shù)模型是指從系統(tǒng)的實驗過程，直接或間接獲得的響應(yīng)，它不能表示為對象的有限參數(shù)模型。例如：所記錄到的一個系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、頻率響應(yīng)都屬于非參數(shù)模型，采用相關(guān)分析、頻譜分析所得到的結(jié)果也屬于非參數(shù)模型。對于這類模型，不需要選擇其模型結(jié)構(gòu)，也不必要估計模型參數(shù)，因此，適用于描述任意復(fù)雜的系統(tǒng)。

第74頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類①脈沖信號--表示為一個持續(xù)時間極短的信號；②階躍信號--表示為參考輸入量的一個瞬間突變過程；③斜坡信號--表示信號由零值開始隨時間t作線性增長；④等加速度信號--是一種拋物線函數(shù)，表示函數(shù)值隨時間以等加速度增長；正弦信號--模擬海浪運動模型，船舶的消擺運動；

典型測試信號應(yīng)具備三個條件：一是數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，便于理論計算，二是易于在現(xiàn)場或?qū)嶒炇耀@得；三是控制系統(tǒng)在這種函數(shù)作用下的性能代表在實際工作條件下的性能；第75頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類

回到我們學(xué)過的《自動控制原理》相關(guān)理論來分析。我們發(fā)現(xiàn)，任何輸入激勵信號u(t)可以分解為脈沖信號之和（或階躍信號之和），而根據(jù)疊加原理，在所有起始條件均為零時，線性定常（時不變）系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)可以用輸入激勵信號u(t)和系統(tǒng)的輸出脈沖響應(yīng)（或稱脈沖過渡）函數(shù)g(t)的卷積的積分來求解。

第76頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類

如果輸入u(t)等于，即當(dāng)輸入激勵信號為單位脈沖函數(shù)時，則

那么，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)g(t)完全描述了系統(tǒng)的特性，因此，能辨識出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)就是實現(xiàn)了系統(tǒng)的辨識。我們在分析自控原理中的一階系統(tǒng)時，得到過一個很重要的結(jié)論：一個輸入信號導(dǎo)數(shù)的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；一個輸入信號積分的時域響應(yīng)，等于該輸入信號時域響應(yīng)的積分。第77頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類

對于一階系統(tǒng)（1）單位脈沖響應(yīng)：（2）單位階躍響應(yīng)：（3）單位斜坡響應(yīng)：

第78頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類

上述性質(zhì)，對二階和高階系統(tǒng)仍然適用，因此，在以后的討論中，都主要研究系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。只要討論了一種典型信號，就可以推知其他。也就是說，當(dāng)我們獲得了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，如果想進一步探討系統(tǒng)的動態(tài)特性時，經(jīng)常采用階躍激勵。而在系統(tǒng)辨識中，求出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)就是實現(xiàn)了系統(tǒng)的辨識。（后續(xù)，我們再來探討如何應(yīng)用脈沖響應(yīng)求取數(shù)學(xué)模型---傳遞函數(shù)---進一步轉(zhuǎn)化為微分方程。）第79頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類

（二）離散系統(tǒng)的非參數(shù)模型對于離散系統(tǒng)，受到一個單位脈沖（Delta）函數(shù)激勵后的系統(tǒng)響應(yīng)。這種形式表示為加權(quán)序列K(nT)（即脈沖響應(yīng)的離散化）?；貞浺幌逻B續(xù)系統(tǒng)：微分方程脈沖響應(yīng)g(t)（脈沖過渡函數(shù)）G(s)

若輸入

第80頁/共434頁系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類

對于離散系統(tǒng)：差分方程加權(quán)序列K(nT)G(z)（脈沖傳遞函數(shù)）輸入脈沖值分別為、、即（表明差分方程中的系數(shù)

ai、bi與權(quán)序列之間的關(guān)系）第81頁/共434頁隨機信號的描述與分析

為了達(dá)到辨識的目的，待測系統(tǒng)必須產(chǎn)生一個滿足辨識條件的動態(tài)過程?？梢岳孟到y(tǒng)本身存在或人為干預(yù)進行動態(tài)激勵。通常采用外加激勵信號使系統(tǒng)產(chǎn)生擾動而形成動態(tài)激勵，而所施加信號按性質(zhì)可分為脈沖信號、階躍信號、斜坡信號及白噪聲信號（工業(yè)測試用偽隨機信號）。一般認(rèn)為具有可調(diào)頻帶且能量均勻分布在頻帶上的準(zhǔn)白噪聲信號-偽隨機信號是較理想的辨識擾動信號，其已廣泛應(yīng)用為經(jīng)典辨識方法和現(xiàn)代辨識方法中的擾動信號。第82頁/共434頁隨機信號的描述與分析

擾動信號分類第83頁/共434頁隨機信號的描述與分析

由于實際系統(tǒng)中總存在一些不確定的因素（或隨機因素），即在實際問題中，常要涉及在實驗過程中隨時間不斷變化的隨機變量，其不能用已知時間函數(shù)描述。但這些隨機變量會影響狀態(tài)變量及輸出變量，因而無法使結(jié)果確切地被計算出來，而只能計算出“該過程或過程在一組可能的情況下出現(xiàn)某一種情況”的概率（只能獲得一些統(tǒng)計特性，如均值、方差、功率譜密度）。此時，就要用一個隨機模型來描述這樣的系統(tǒng)—隨機過程(StochasticProcess)或隨機函數(shù)。第84頁/共434頁隨機信號的描述與分析隨機過程的概念及數(shù)學(xué)描述；平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性；隨機過程的譜分解與譜密度函數(shù)；第85頁/共434頁隨機過程的概念

在一給定（特定）的時間，一個城市的電力負(fù)荷是一個隨機變量，而在一段時間內(nèi)，負(fù)荷（隨機變量）就為時間的函數(shù)。某電話交換臺第n天的電話呼喚xn是一個隨機變量，而長期的記錄{x1,x2,…}就為一簇?zé)o窮多個隨機變量構(gòu)成的時間常數(shù)。一般像測量系統(tǒng)、控制系統(tǒng)等一些連續(xù)工作的系統(tǒng)，當(dāng)分析系統(tǒng)的品質(zhì)時，就必須考慮各種隨機干擾的影響，這些隨機干擾本身所引起的系統(tǒng)的響應(yīng)都是隨時間變化的隨機變量。第86頁/共434頁隨機過程的概念

通常，把依賴于參數(shù)的隨機變量族稱為隨機過程，參數(shù)集T通常是指時間常數(shù)。第87頁/共434頁隨機過程的概念例如，在滌綸抽絲的生產(chǎn)過程中，滌綸絲的直徑總是隨時間變化的，但并不確切地知道它如何變化，當(dāng)然也就不能用一個確切的時間函數(shù)來描述。它的變化是隨機性質(zhì)的。如右圖。第88頁/共434頁隨機過程的概念

表示一條滌綸絲直徑隨時間隨機變化的曲線，是一個隨機信號[1]

。同理，有n條同時抽出的滌綸絲，其直徑隨時間隨機變化的曲線也都是隨機信號。它們的集合就稱為隨機信號的總體[2]。隨機信號在每一時刻的數(shù)值都是一個隨機變量[3],而隨機變量又是時間的函數(shù)，可稱為隨機過程[4]

。把依賴于參數(shù)的隨機變量族稱為隨機過程[5]

。參數(shù)集T通常是指時間參數(shù)。

第89頁/共434頁隨機過程的概念

對于隨機過程的研究，可以在完全相同的條件下進行多次測試，這樣就能得到很多的樣本，但它們的變化過程互不相同。樣本具有偶然性，但它們總體卻往往具有統(tǒng)計意義上的規(guī)律性。按照嚴(yán)格的定義，所謂“隨機過程”就是大量x1(t)，x2(t)，…所構(gòu)成的總體[6]

。即隨機函數(shù)是一簇?zé)o窮多個隨機變量，這無窮多個互相有關(guān)的隨機變量的集合記為，其中，T是一個無窮集合。第90頁/共434頁隨機過程的概念

一個隨機過程，實際上是兩個變量的二元函數(shù)，其中一個變量為樣本空間中的（基本事件），另一個是參數(shù)集T中的t。當(dāng)t固定為ti時，為隨機變量；當(dāng)固定為時，為時間t的函數(shù)（非隨機）；由于固定，表示某一次實驗，故稱為隨機過程的一個樣本函數(shù)（一個現(xiàn)實）。因此，隨機過程兼有隨機變量和函數(shù)的雙重特點。第91頁/共434頁隨機過程的概念

例如，考察一個最簡單的標(biāo)量線性系統(tǒng)其中為正態(tài)隨機變量，且。容易解此微分方程，得。對于每一個t值（），x(t)是零均值和方差為t2的正態(tài)隨機變量。因此，x(t)表示具有參數(shù)t的隨機變量族，因此它是隨機過程。有四種解釋：①為確定數(shù)值；

②為隨機變量；

③為時間函數(shù)；

④為隨機過程；第92頁/共434頁隨機過程的概念

關(guān)于T的解釋：（1）（2）（3）這里，T一般表示時間，當(dāng)T為（3）時，為隨機過程（參數(shù)集取某個區(qū)間），記為；而T為（1）和（2）兩種情況時，稱之為隨機序列[7]

（參數(shù)集取離散值），記為；在實際應(yīng)用中，無法獲得隨機過程的全部樣本，引入既能刻畫隨機過程的基本特性，又能便于實際測量的數(shù)字特性---均值、均方值、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、互協(xié)方差函數(shù)。第93頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征①均值當(dāng)分析一個動態(tài)信號時，常使用的方法是將信號視為靜態(tài)信號（即不隨時間變化的分量）和動態(tài)信號（即波動分量）的和。其中，靜態(tài)分量可用均值表示?；貞涀詣涌刂圃碇校灿袑φ`差信號的探討。動態(tài)響應(yīng)也包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當(dāng)時間t趨于無窮時，誤差信號中的瞬態(tài)分量必趨近于零，剩下的只有穩(wěn)態(tài)分量，稱控制系統(tǒng)誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量為穩(wěn)態(tài)誤差。第94頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

補充內(nèi)容：若給定隨機過程，對于每一個，則為隨機變量，其分布函數(shù)定義為：相應(yīng)的密度函數(shù)稱

F(x,t)為隨機過程的一維分布。一維分布不足以描述隨機過程，它不能回答隨機過程在不同t時的相關(guān)性問題。當(dāng)參數(shù)t取t1，t2時，就有兩個隨機變量x(t1)和x(t2)，需考慮它們的聯(lián)合分布：第95頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征①均值若給定隨機過程，固定，則是一隨機變量，均值一般與t有關(guān)，記為其中，是隨機過程的均值函數(shù)；為隨機過程的一維密度函數(shù)；對于隨機序列有稱m為隨機序列的均值函數(shù)。第96頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征②均方值均方值是為隨機信號提供有關(guān)強度，它是時間歷程平方值的簡單平均值，又稱為隨機變量的二階原點矩，記為對于隨機序列有、分別稱為隨機過程和隨機序列的均方值函數(shù)。第97頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征③方差方差在表達(dá)方式上等于均方值減去均值的平方，它表示隨機過程在該時刻對于均值的平均偏離程度，又稱之為隨機變量的二階中心矩。記為方差有時也記作-----對于隨機序列，則和分別稱作隨機過程和隨機序列的方差函數(shù)。第98頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征④自相關(guān)函數(shù)隨機過程的相關(guān)函數(shù)是描述兩個信號數(shù)值間的依存關(guān)系的?？疾靸蓚€信號x(t)和y(t)，他們都是時間的函數(shù)，若其中一個信號的數(shù)值總是以某種方式依存于另一個信號的數(shù)值，則稱這兩個信號是相關(guān)的。

自相關(guān)函數(shù)是描述信號x(t1)

的某一時刻值與另一時刻值x(t2)

間的依存程度，這樣就有兩個隨機變量了，若設(shè)它們的二維密度函數(shù)為，則自相關(guān)函數(shù)記為第99頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征④自相關(guān)函數(shù)

第100頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)1：設(shè)為隨機過程，其中，和為隨機變量，，，，求x(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。

第101頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)1：設(shè)為隨機過程，其中，和為隨機變量，，，，求x(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。

第102頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征⑤協(xié)方差函數(shù)隨機過程對任意兩個時刻t1、t2的協(xié)方差函數(shù)記為其中，。描述過程在任意兩個不同時刻t1、t2所對應(yīng)的兩個隨機變量x(t1)和x(t2)的相關(guān)性。當(dāng)t1=t2=t時，協(xié)方差就轉(zhuǎn)化為方差。所以方差是特例，不作為隨機過程的基本特征量。第103頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)2：

證明均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)具有如下關(guān)系：①②③

第104頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)3：設(shè)為隨機過程，和為隨機變量，其一、二階矩存在，試求和的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。這里，一階矩和二階矩分別指代均值和均方值；

第105頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)3：設(shè)為隨機過程，和為隨機變量，其一、二階矩存在，試求和的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。

第106頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)3：設(shè)為隨機過程，和為隨機變量，其一、二階矩存在，試求和的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。

第107頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)3：設(shè)為隨機過程，和為隨機變量，其一、二階矩存在，試求和的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。

第108頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)4：設(shè)為隨機過程，a為常數(shù)，設(shè)，試以x(t)的自相關(guān)函數(shù)表示y(t)的自相關(guān)函數(shù)。

第109頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)4：設(shè)為隨機過程，a為常數(shù)，設(shè)，試以x(t)的自相關(guān)函數(shù)表示y(t)的自相關(guān)函數(shù)。y(t)的自相關(guān)函數(shù)為

第110頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)5：設(shè)為隨機過程，且其中，x是在(0,1)上服從均勻分布的隨機變量，求y(t)的均值函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)。

第111頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)5：設(shè)為隨機過程，且其中，x是在(0,1)上服從均勻分布的隨機變量，求y(t)的均值函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)。由題設(shè)條件，知x的概率密度為y(t)的均值函數(shù)為第112頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)5：設(shè)為隨機過程，且其中，x是在(0,1)上服從均勻分布的隨機變量，求y(t)的均值函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)。

y(t)的自相關(guān)函數(shù)為第113頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征⑥互相關(guān)函數(shù)若有兩個隨機過程x(t)和y(t)需同時考慮時，有⑦互協(xié)方差函數(shù)定義為變量x(t1)和y(t2)的相關(guān)矩，記作兩者也有如下關(guān)系：第114頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

平穩(wěn)隨機過程與寬平穩(wěn)隨機過程：如果一個隨機過程的統(tǒng)計性質(zhì)不隨時間而改變，則稱之為平穩(wěn)隨機過程。

若對于任意n和任意選定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，及τ為任意值，且x1,x2,…,xn∈R，有fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)

則稱｛x(t),t∈T｝為平穩(wěn)隨機過程。式（1）第115頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

該定義說明，當(dāng)取樣點在時間軸上作任意平移時，隨機過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的，具體到它的一維分布,則與時間t無關(guān)，而二維分布只與時間間隔τ有關(guān)，即有

f1(x1,t1)=f1(x1)（一維分布）和f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)（二維分布）以上兩式可由式（1）分別令n=1和n=2,并取τ=-t1得證。于是①平穩(wěn)隨機過程的均值為常數(shù)第116頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

這說明，平穩(wěn)隨機過程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。同樣，②可以證明平穩(wěn)隨機過程的方差σ2(t)=σ2=常數(shù)，表示它的起伏偏離數(shù)學(xué)期望的程度也是常數(shù)。第117頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

而平穩(wěn)隨機過程｛x(t),t∈T｝的自相關(guān)函數(shù):

表明僅是時間間隔τ=t2-t1的函數(shù)，而不再是t1和t2的二維函數(shù)。以上表明，隨機過程｛x(t),t∈T｝具有“平穩(wěn)”的數(shù)字特征：它的均值與時間無關(guān)（均值不變）；它的自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ有關(guān)，即第118頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

僅僅由一個隨機過程的均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)是τ的函數(shù)還不能充分說明它符合平穩(wěn)條件，為此引入另一種平穩(wěn)隨機過程的定義：當(dāng)均值不隨時間改變，即，自相關(guān)函數(shù)，則稱這個平穩(wěn)隨機過程稱為寬（廣義）平穩(wěn)隨機過程。我們所談的平穩(wěn)隨機過程就是指寬平穩(wěn)隨機過程（※）。第119頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

設(shè)為平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)，則

第120頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)6：設(shè)為隨機過程，且其中，x是在[0,2π]上服從均勻分布的隨機變量，證明：不是平穩(wěn)隨機過程。

第121頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)6：設(shè)為隨機過程，且其中，x是在[0,2π]上服從均勻分布的隨機變量，證明：不是平穩(wěn)隨機過程。不是常數(shù)，故不是平穩(wěn)隨機過程。第122頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)7：隨機振幅正弦波其中，X和Y都是隨機變量，且E[X]=E[Y]=0，D[X]=D[Y]=1(方差)，E[XY]=0.證明Z(t)是平穩(wěn)隨機過程。

第123頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)7：隨機振幅正弦波其中，X和Y都是隨機變量，且E[X]=E[Y]=0，D[X]=D[Y]=1(方差)，E[XY]=0.證明Z(t)是平穩(wěn)隨機過程。由已知條件，知則

第124頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)7：隨機振幅正弦波其中，X和Y都是隨機變量，且E[X]=E[Y]=0，D[X]=D[Y]=1(方差)，E[XY]=0.證明：Z(t)是平穩(wěn)隨機過程。則且，所以，Z(t)是平穩(wěn)隨機過程。第125頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

對于一個隨機過程，往往容易找到一個x(t)的實現(xiàn)，卻很難找到x(t)的分布函數(shù)，也就是說，工程上，利用上述給出的均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)的公式等求均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)是不現(xiàn)實的。第126頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

對于一個隨機過程，它的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的數(shù)字特征（均為時間平均）來替代。也就是說，假設(shè)x(t)（隨機變量）是平穩(wěn)隨機過程的任意一個實現(xiàn)，它的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別為第127頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

也就是利用各種“時間平均值”去獲得統(tǒng)計性質(zhì)，即隨機過程x(t)的均值等于x(t)的時間平均值，隨機過程x(t)的相關(guān)函數(shù)等于x(t)的時間平均相關(guān)函數(shù)。--稱為“各態(tài)歷經(jīng)性，或稱遍歷性（Ergodic）”各態(tài)歷經(jīng)性有著相當(dāng)重要的實際意義，它使人們只要利用一個足夠長的時間計算樣本，計算適當(dāng)?shù)臅r間平均，就可得到隨機過程的統(tǒng)計平均。這對實際中可供利用的不是整個樣本函數(shù)族，而往往是一些樣本函數(shù)的某個部分或一個樣本函數(shù)的長時期觀測記錄的情況來說，帶來了很大方便。第128頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

具有各態(tài)歷經(jīng)性”的隨機過程，稱為各態(tài)歷經(jīng)隨機過程；不具備各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程，則稱為非各態(tài)歷經(jīng)的。那么，一個信號的自相關(guān)函數(shù)有下列性質(zhì)：①當(dāng)τ=0時，式中，為信號的均方值，說明自相關(guān)函數(shù)的初值大于零；

②當(dāng)τ相當(dāng)大時，平均值為零的信號的自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)趨于零，即第129頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性③Rx(τ)在τ為任何值時都不會大于它的初值，即

因為任何一個實數(shù)的平方總是非負(fù)的，有下式成立上式展開，得到

可得即

第130頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

④

Rx(τ)是τ的偶函數(shù)，即Rx(τ)=Rx(-τ)

這是因為⑤若信號x(t)中含有周期性成分，則自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)中也必含有周期性成分。例如：若可求得，

→第131頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

練習(xí)8：隨機振幅正弦波其中，X和Y都是隨機變量，且E[X]=E[Y]=0，D[X]=D[Y]=1(方差)，E[XY]=0.求（1）平穩(wěn)過程Z(t)的時間平均值；（2）Z(t)的時間平均值是否具有遍歷性。第132頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

練習(xí)8：隨機振幅正弦波其中，X和Y都是隨機變量，且E[X]=E[Y]=0，D[X]=D[Y]=1(方差)，E[XY]=0.求（1）平穩(wěn)過程Z(t)的時間平均值；由已知條件知，則第133頁/共434頁平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)性

練習(xí)8：

Z(t)的時間均值則有即Z(t)的時間均值具有遍歷性。第134頁/共434頁隨機過程的譜分解與譜密度函數(shù)

譜密度函數(shù)也稱為譜密度或功率譜密度，是從頻域角度描述統(tǒng)計規(guī)律的主要數(shù)字特征，它的物理意義表示x(t)的平均功率關(guān)于頻率的分布。設(shè)為平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)，則其中，稱為平穩(wěn)隨機過程x(t)的譜密度函數(shù)，上述關(guān)系稱為譜分解原理。---這是傅里葉逆變換在隨機過程中，譜密度和相關(guān)函數(shù)有同等重要的地位。第135頁/共434頁隨機過程的譜分解與譜密度函數(shù)

在應(yīng)用相關(guān)函數(shù)確定譜密度函數(shù)時，一個重要條件是絕對可積，即這時，必存在功率譜密度

---傅里葉變換譜密度函數(shù)就是相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換式，相關(guān)函數(shù)就是譜密度函數(shù)的反傅立葉變換式。第136頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)9：已知系統(tǒng)如圖所示：

其中，，，設(shè)系統(tǒng)輸入為零均值白噪聲，且，求系統(tǒng)輸出的方差。

第137頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)9：已知系統(tǒng)如圖所示：

由圖知，

得到

第138頁/共434頁隨機過程的數(shù)字特征

練習(xí)9：已知系統(tǒng)如圖所示：

則

第139頁/共434頁隨機信號的描述與分析

為了達(dá)到辨識的目的，待測系統(tǒng)必須產(chǎn)生一個滿足辨識條件的動態(tài)過程?？梢岳孟到y(tǒng)本身存在或人為干預(yù)進行動態(tài)激勵。通常采用外加激勵信號使系統(tǒng)產(chǎn)生擾動而形成動態(tài)激勵，而所施加信號按性質(zhì)可分為脈沖信號、階躍信號、斜坡信號及白噪聲信號（工業(yè)測試用偽隨機信號）。

第140頁/共434頁隨機信號的描述與分析

對擾動信號的要求是輸入信號必須能充分激勵系統(tǒng)所有的模態(tài)。換句話說，從頻譜分析角度看，輸入信號的頻譜應(yīng)具有較寬的帶寬，可以覆蓋系統(tǒng)的頻譜。從測試角度看，應(yīng)當(dāng)有盡量小的振幅，以減輕擾動信號對待測系統(tǒng)工作信號的影響。一般認(rèn)為具有可調(diào)頻帶且能量均勻分布在頻帶上的準(zhǔn)白噪聲信號-偽隨機信號是較理想的辨識擾動信號，其已廣泛應(yīng)用為經(jīng)典辨識方法和現(xiàn)代辨識方法中的擾動信號。第141頁/共434頁隨機信號的描述與分析

擾動信號分類第142頁/共434頁白噪聲與偽隨機碼

通過前面的論述，隨機過程分為平穩(wěn)隨機過程（也有稱窄平穩(wěn)、強平穩(wěn)的）和非平穩(wěn)隨機過程兩類。我們自動控制關(guān)注的為弱平穩(wěn)（即上述所說的寬平穩(wěn)、廣義平穩(wěn)）隨機過程，包括白噪聲過程、有色噪聲過程、高斯（正態(tài)）過程、馬爾科夫過程、二階矩過程、維納過程和獨立增量過程等。

第143頁/共434頁白噪聲與偽隨機碼

我們首先來看一下白噪聲這個詞匯的由來：白噪聲是控制理論中經(jīng)常用到和采納的一種隨機干擾，這一名詞來源于物理學(xué)中的白色光（所有頻率都具有相同強度的光），白噪聲過程沒有記憶化，也就是t時刻的數(shù)值與t時刻之前的過去值不相關(guān)，也不影響t時刻以后的將來值。第144頁/共434頁白噪聲與偽隨機碼

嚴(yán)格地說，它是一種均值為零，譜密度為非零常數(shù)的平穩(wěn)隨機過程。不很嚴(yán)格地說，可把它視作以極高頻率出現(xiàn)的許多微小脈沖的組合。（1）基本概念白噪聲的頻率特征是功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，即可以理解為一種均勻譜，其功率譜密度是一條水平線。第145頁/共434頁白噪聲與偽隨機碼

白噪聲在數(shù)學(xué)上可描述為：如果隨機過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)為其中，為白噪聲的方差，為Dirac函數(shù)，描述為，且

δ(τ)又叫做單位脈沖函數(shù)，狄拉克函數(shù)。

①上述關(guān)系已經(jīng)包含了白噪聲均值為零的概念。（這是因為均值除t=0，其他點的值均為0，所以均值為零。）第146頁/共434頁白噪聲與偽隨機碼

②

由于δ(τ)

的傅里葉變換為1，則白噪聲過程x(t)的譜密度為常數(shù)，即下面，給出其證明：式（A）第147頁/共434頁

由上述自相關(guān)函數(shù)通過維納—辛欽公式，計算功率譜密度函數(shù)注意：δ(τ)的拉式、傅氏變換均為1，其自身的積分也是1.白噪聲與偽隨機碼第148頁/共434頁白噪聲與偽隨機碼白噪聲過程自相關(guān)函數(shù)白噪聲過程譜