兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)(20分鐘35分)1.(2020·金昌高一檢測)與相等的是 ()A.tan66° B.tan24° C.tan42° D.tan21°【解析】選B.原式==tan(45°-21°)=tan24°.2.已知tanα=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值為 ()A.- B. C.- D.【解析】選D.因為tanα=,tan(α-β)=-,所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]==.3.已知α為銳角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,則角α等于 ()A. B. C.π D.【解析】選C.因為tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-1,因為α為銳角,所以0<2α<π,所以2α=,得α=.4.已知α+β=π,則(1-tanα)(1-tanβ)= ()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解析】選A.因為tan(α+β)=-1=,所以tanα+tanβ=-1+tanαtanβ.所以(1-tanα)(1-tanβ)=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2.5.(2020·平頂山高一檢測)已知△ABC中,tanAtanB-tanA-tanB=,則C的大小為.

【解析】依題意有=-,即tan(A+B)=-.又因為0<A+B<π,所以A+B=,所以C=π-A-B=.答案:6.已知α,β∈,且tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的兩個根,求α+β.【解析】因為tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的兩個根,所以tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=4,所以tan(α+β)===.因為兩根之和小于0,兩根之積大于0,故兩根同時為負數(shù).又α,β∈,所以α,β∈,所以α+β∈(-π,0),故α+β=-.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值是 ()A.2 B. C. D.【解析】選C.因為tan60°=tan(20°+40°)=,所以(1-tan20°tan40°)=tan20°+tan40°,所以原式=-tan20°tan40°+tan20°tan40°=.2.(2020·沈陽高一檢測)銳角△ABC中,tanAtanB的值 ()A.不小于1 B.小于1C.等于1 D.大于1【解析】選D.由于△ABC為銳角三角形,所以tanA,tanB,tanC均為正數(shù).所以tanC>0.所以tan[180°-(A+B)]>0.所以tan(A+B)<0,即<0.而tanA>0,tanB>0所以1-tanAtanB<0,即tanAtanB>1.3.已知tanα=,則的值是 ()A.2 B. C.-1 D.-3【解析】選B.方法一:因為tanα=,所以tan==3,所以==.方法二:==tan=tanα=.4.已知tanα和tan是方程ax2+bx+c=0的兩個根,則a,b,c的關(guān)系是 ()A.b=a+c B.2b=a+cC.c=b+a D.c=ab【解析】選C.由根與系數(shù)的關(guān)系可知tanα+tan=-,且tanαtan=,所以tan=tan==1.所以-=1-.所以-b=a-c.所以c=a+b.5.的值應是 ()A.- B. C.1 D.-1【解析】選A.因為tan10°+tan50°=tan60°-tan60°tan10°tan50°,所以原式==-tan60°=-.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知tanα=2,tanβ=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,則=,α-β=.

【解析】==-7.因為tan(α-β)==-1,又0°<α<90°,90°<β<180°,所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.答案:-7-45°7.(2020·沈陽高一檢測)tan69°-tan24°-tan69°tan24°=.

【解析】因為tan69°-tan24°=tan(69°-24°)(1+tan69°tan24°)=tan45°(1+tan69°tan24°)=1+tan69°tan24°所以tan69°-tan24°-tan69°tan24°=1+tan69°tan24°-tan69°tan24°=1.答案:18.tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=.

【解析】原式=(tan20°+tan40°)+tan40°tan20°=tan60°(1-tan20°tan40°)+tan40°tan20°=1-tan20°tan40°+tan40°tan20°=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2020·蘄州高一檢測)(1)已知α+β=,求(1+tanα)(1+tanβ).(2)利用(1)的結(jié)論求(1+tan1°)·(1+tan2°)·(1+tan3°)·…·(1+tan44°)的值.【解析】(1)因為α+β=,所以tan(α+β)=1,即=1,所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ.所以(1+tanα)(1+tanβ)=(tanα+tanβ)+1+tanαtanβ=2.(2)由(1)知當α+β=45°時,(1+tanα)(1+tanβ)=2.所以原式=(1+tan1°)(1+tan44°)(1+tan2°)·(1+tan43°)·…·(1+tan22°)(1+tan23°)=222.10.已知A,B,C是△ABC的三內(nèi)角,向量m=(-1,),n=(cosA,sinA),且m·n=1.(1)求角A.(2)若tan=-3,求tanC.【解析】(1)因為m·n=1,所以(-1,)·(cosA,sinA)=1,即sinA-cosA=1,2sin=1.所以sin=.因為0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,即A=.(2)由tan==-3,解得tanB=2.又A=,所以tanA=.所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=.【補償訓練】已知tan(π+α)=-,tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值.(2)求tanβ的值.【解析】(1)因為tan(π+α)=-,所以tanα=-,因為tan(α+β)======,所以tan(α+β)==.(2)因為tanβ=tan[(α+β)-α]=,所以tanβ==.1.若(tanα-1)(tanβ-1)=2(α,β為銳角),則α+β=.

【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2?tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2?tanα+tanβ=tanαtanβ-1?=-1,即tan(α+β)=-1,因為α,β為銳角,所以0<α+β<π.所以α+β=.答案:2.是否存在銳角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tantanβ=2-同時成立?若存在,求出銳角α,β的值;若不存在,請說明理由.【解析】假設存在銳角α,β使得(1)α+2β=,(2)tantanβ=2-同時成立.由(1