生統(tǒng)材料實(shí)用生物統(tǒng)計(jì)第1頁(yè)/共62頁(yè)

第二章

隨機(jī)變量及其特征第2頁(yè)/共62頁(yè)

2.1隨機(jī)變量和分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中如何利用概率解決實(shí)際問題例2-1某地區(qū)青少年白血病死亡率過高，懷疑與工業(yè)垃圾有關(guān)。據(jù)報(bào)告該地區(qū)12例白血病發(fā)生，如果已知該地區(qū)白血病的正常發(fā)病率，請(qǐng)問能否推斷該地區(qū)白血病過多？例2-2由調(diào)查表得到的北大生科院2009級(jí)部分男生的體重?cái)?shù)據(jù)，如何描述這些數(shù)據(jù)？第3頁(yè)/共62頁(yè)

2.1隨機(jī)變量和分布函數(shù)例：聯(lián)系出國(guó)除GPA外還需成績(jī)排名：Top1%、Top5%orTop10%等——成績(jī)分布中的位置GPA——隨機(jī)變量Topxx%——隨機(jī)變量的分布分布重要性：飛機(jī)什么部位需要特別加固？第4頁(yè)/共62頁(yè)隨機(jī)變量定義：在試驗(yàn)中所得到的取值有隨機(jī)性的量，就稱為隨機(jī)變量，多用X、Y、Z表示

例2-2根據(jù)男生體重?cái)?shù)據(jù)可得體重分布情況：以X表示體重(單位kg)，則有

45.0≤X≤90.0例2-3用X表示28名男生中血型為”B”的人數(shù)：

X

＝{0,1,2,3,4,…,28}

第5頁(yè)/共62頁(yè)隨機(jī)變量類型：離散型：只有有限或可列個(gè)可能取值例：例2-3血型X＝0，1，…，28連續(xù)型：取值在某個(gè)區(qū)間中連續(xù)變化例：例2-2體重45.0≤X≤90.0隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果非數(shù)量性質(zhì)時(shí)可進(jìn)行數(shù)值化：例2-4學(xué)生是否對(duì)“生統(tǒng)”感興趣。

X=0：不感興趣X=1：一般

X=3：較感興趣X=4：很感興趣隨機(jī)變量第6頁(yè)/共62頁(yè)離散型隨機(jī)變量及其概率分布表

已知離散隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率，表示如下：

稱為隨機(jī)變量X的概率分布表或分布列P為X的概率分布，并記為：

P(X=xi)=p(xi),i=1,2,3,……{p(xi),i=1,2,3,……}第7頁(yè)/共62頁(yè)離散型隨機(jī)變量概率函數(shù)應(yīng)滿足：對(duì)任意可能結(jié)果xi，有

0≤p(xi)≤1非負(fù)性且規(guī)范性注意：求和是對(duì)一切可能的結(jié)果進(jìn)行的P：大寫，概率分布p：小寫，某一事件的概率值X：大寫，隨機(jī)變量x：小寫，隨機(jī)變量的某個(gè)取值離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)第8頁(yè)/共62頁(yè)例2-5中耳炎是兒童常見病之一。設(shè)X代表兒童在兩歲之內(nèi)犯中耳炎的次數(shù)，經(jīng)調(diào)查其分布表如下：x0123456P(x)0.1290.2640.2710.1850.0950.0390.017解：X的概率分布及分布列表示如下離散型隨機(jī)變量及其概率分布表第9頁(yè)/共62頁(yè)連續(xù)型隨機(jī)變量取值可以是某個(gè)區(qū)間的一切值問題：隨機(jī)變量取值不可列，其概率及其分布如何表示？例2-6考察35~44歲男性舒張壓DBP的分布注意：實(shí)際情況中DBP的取值是離散的，但若無儀器測(cè)量精度限制，DBP可取連續(xù)性的一切可能取值第10頁(yè)/共62頁(yè)連續(xù)型隨機(jī)變量特性：任一具體血壓值如117.3出現(xiàn)的概率為0將注意力從P(X=xi)

轉(zhuǎn)為P(Xxi)

取代離散變量概率分布列的方法考察血壓落在某個(gè)范圍的概率P(90≤X<100)=15%：輕度高血壓

P(100≤X<110)=5%：中度高血壓

P(X≥110)=1%：重度高血壓?jiǎn)栴}：P(X≥110)與P(X>110)有區(qū)別否？第11頁(yè)/共62頁(yè)采用類似微分的概念，定義如下：對(duì)于隨機(jī)變量X,如存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

稱f(x)為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)含義：概率密度與概率的關(guān)系密度與質(zhì)量、點(diǎn)與線的長(zhǎng)度、線與面積的關(guān)系連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)第12頁(yè)/共62頁(yè)概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)只是給出了連續(xù)性隨機(jī)變量某一特定值的函數(shù)值f(x)—不是真正意義上的取值概率：0≤f(x)

非負(fù)性

求和，規(guī)范性

X落在區(qū)間[a,b)的概率f(x)xo曲線下總面積為1ab陰影面積：P(aXb)概率密度函數(shù)的幾何意義第13頁(yè)/共62頁(yè)概率分布函數(shù)定義：設(shè)X為一隨機(jī)變量，稱函數(shù)

F(x)=P(X<x)(-∞<x<+∞)

為X的概率分布函數(shù)

F(x)—

X

取小于x的諸值xi

的概率之和概率密度函數(shù)的區(qū)間累積——同時(shí)適用于離散型隨機(jī)變量及連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：

F(x)=P(X<x)=(i=1,2,3,…)第14頁(yè)/共62頁(yè)離散型隨機(jī)變量F(x)：階梯函數(shù)，間斷點(diǎn)為x=xi

設(shè)x1

、x2

、x3的取值概率分別為p1

、p2

、p3

：當(dāng)x≤x1時(shí)，F(xiàn)(x)=0當(dāng)x1

<

x≤x2時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=x1)=p1當(dāng)x2

<

x≤x3時(shí)，

F(x)=P(Xx)=P(X=x1)+P(X=x2)=p1+p2F(x)x1x2x3p1p2p3離散型隨機(jī)變量概率分布函數(shù)第15頁(yè)/共62頁(yè)連續(xù)型隨機(jī)變量F(x)：概率密度函數(shù)的積分

——概率密度曲線下的面積分布函數(shù)在x處的取值，就是隨機(jī)變量x的取值落在區(qū)間（-，x）上的概率注意：f(y)dy中不能用x0xY=f(x)F(x)yx連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布函數(shù)第16頁(yè)/共62頁(yè)隨機(jī)變量X落入任意區(qū)間[a,b)的概率為：f(x)xoabF(b)

F(a)

連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)的幾何意義第17頁(yè)/共62頁(yè)例2-7如果兩個(gè)白化病基因（常染色體隱性遺傳方式）攜帶者結(jié)婚，則他們的每個(gè)孩子患白化病的概率為1/4。解：定義X為：X=0，孩子非白化病患者

X=1，孩子為白化病患者則P(X=0)=0.75,P(X=1)=0.25

X的概率分布為離散型概率分布—兩點(diǎn)分布第18頁(yè)/共62頁(yè)兩點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的概率分布列為：（0

p

1，q=1

p）則X服從兩點(diǎn)分布

概率模型：進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，成功的概率為p，失敗概率為q=1-p,令X為成功次數(shù)，則X服從兩點(diǎn)分布最簡(jiǎn)單的分布，又稱為伯努利分布(BernoulliDistribution)

離散型概率分布—兩點(diǎn)分布第19頁(yè)/共62頁(yè)設(shè)在一次試驗(yàn)E中只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A

或，如：擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”這樣的試驗(yàn)E稱為伯努利試驗(yàn)例:某個(gè)新生兒的性別；一個(gè)人是否患某種疾??；一粒種子是否發(fā)芽等伯努利試驗(yàn)第20頁(yè)/共62頁(yè)例2-8如果兩個(gè)白化病基因攜帶者結(jié)婚并有三個(gè)孩子，求三個(gè)孩子患白化病的概率分布。解：設(shè)X為患白化病的孩子個(gè)數(shù)：n次獨(dú)立試驗(yàn)，每次只有兩個(gè)結(jié)果：成功或失敗，且每次試驗(yàn)成功的概率p相同，失敗概率q=1–p離散型概率分布—二項(xiàng)分布第21頁(yè)/共62頁(yè)二項(xiàng)分布：

如果隨機(jī)變量X的概率分布如下：

(i=

0,1,2,…,n,0

p

1，q=1

p)則稱X服從二項(xiàng)分布，記為b(n,p)概率模型：

n次獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)都只有兩種互不相容的結(jié)果，事件A發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率為q，則n次試驗(yàn)中A成功的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布離散型概率分布—二項(xiàng)分布第22頁(yè)/共62頁(yè)例2-9

某藥對(duì)某種病的治愈率為0.8，若5人服用此藥，求治愈人數(shù)的概率分布，至少有2人治愈的概率是多少？解：設(shè)5人中的治愈人數(shù)為X，則X~b(5,0.8)

則X的概率分布為：

(i=0,1,2,3,4,5)

試驗(yàn)總數(shù)固定，成功次數(shù)為自變量離散型概率分布—二項(xiàng)分布第23頁(yè)/共62頁(yè)n=10時(shí)，不同p值對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)分布離散型概率分布—二項(xiàng)分布第24頁(yè)/共62頁(yè)二項(xiàng)分布的應(yīng)用：二者必居其一的事物的概率生物學(xué)現(xiàn)象：反應(yīng)有無、動(dòng)物生死、雌雄出現(xiàn)、某生物在某地區(qū)是否存在等醫(yī)學(xué)領(lǐng)域：許多疾病的記數(shù)資料(傳染病和遺傳病除外)應(yīng)用二項(xiàng)分布的重要條件概率恒定及相互獨(dú)立若各次試驗(yàn)之間不相互獨(dú)立，即不放回抽樣超幾何分布離散型概率分布—二項(xiàng)分布第25頁(yè)/共62頁(yè)離散型概率分布—幾何分布例2-10某種昆蟲的死亡概率為0.6，求這種昆蟲幼蟲存活天數(shù)的概率分布。解：設(shè)昆蟲幼蟲的存活天數(shù)為X，p=0.6，與二項(xiàng)分布不同的是，X為第一次成功的試驗(yàn)次數(shù)，則X的概率分布為：

P(X=i)=0.4i-1*0.6(i=1,2,3,4,5)X服從幾何分布

第26頁(yè)/共62頁(yè)幾何分布（GeometricDistribution）：如果隨機(jī)變量X的概率分布如下：

P(X=i)=qi-1p(

i=1,2,3…)

則稱X服從幾何分布，記為g(i,p)概率模型：連續(xù)進(jìn)行獨(dú)立試驗(yàn)，以X記首次成功時(shí)的實(shí)驗(yàn)次

數(shù)，則X是個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布為幾何分布與二項(xiàng)式分布類似，只是成功次數(shù)固定為1,試驗(yàn)總數(shù)為自變量離散型概率分布—幾何分布第27頁(yè)/共62頁(yè)例2-11電視臺(tái)將送出演唱會(huì)門票給第8個(gè)答對(duì)演唱者生日的聽眾，每個(gè)打進(jìn)電話的人答對(duì)的概率為0.65且互相獨(dú)立，求送出門票所需接聽的電話數(shù)的概率分布。另請(qǐng)問在第10個(gè)電話送出門票的概率是多少？解：設(shè)X為送出門票所需接聽的電話數(shù)，與例2-12不同之處在于，成功次數(shù)確定(8次)，求第i次成功的概率，則X的概率分布：

其中：i=10,p=0.65離散型概率分布—幾何分布第28頁(yè)/共62頁(yè)負(fù)二項(xiàng)分布（帕斯卡Pascal分布）：如果隨機(jī)變量X的概率分布如下：則稱X服從負(fù)二項(xiàng)分布：f(i;k,p)概率模型：連續(xù)進(jìn)行獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，以X記第k次成功時(shí)總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，則X服從負(fù)二項(xiàng)分布注意：X取值范圍與二項(xiàng)分布的不同若令k=1，則變?yōu)閹缀畏植寂c二項(xiàng)式分布類似，只是成功次數(shù)固定但不為1，試驗(yàn)總數(shù)為自變量離散型概率分布—負(fù)二項(xiàng)分布第29頁(yè)/共62頁(yè)例2-12已知100粒種子中有5粒不能發(fā)芽，從100粒中任意取出50粒進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，求50粒中不發(fā)芽種子數(shù)的概率分布。解：設(shè)50粒中不發(fā)芽種子數(shù)為X，與前幾個(gè)分布不同，總體有限(100粒)，樣本量固定(50粒)，求第i次成功的概率，則X的概率分布：(i=0,1,2,3,4,5)離散型概率分布—負(fù)二項(xiàng)分布第30頁(yè)/共62頁(yè)離散型概率分布—超幾何分布超幾何分布（HypergeometricDistribution）：如果隨機(jī)變量X的概率分布如下：

（0≤i≤n≤N,i≤M）

則稱X服從超幾何分布概率模型：一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品(0MN)，從中進(jìn)行不放回抽樣檢查，則在n件產(chǎn)品中的次品數(shù)X的分布是超幾何分布有限總體的不放回抽樣第31頁(yè)/共62頁(yè)超幾何分布的應(yīng)用主要用于小批量的抽樣檢驗(yàn)標(biāo)志重捕法：調(diào)查野生動(dòng)物群體數(shù)量時(shí)，先捕捉一定數(shù)量的動(dòng)物，做上標(biāo)記，把它們放回到群體中，一段時(shí)間后，再捕捉第二批動(dòng)物，數(shù)出有標(biāo)記的動(dòng)物數(shù)——符合超幾何分布的隨機(jī)變量，利用最大似然估計(jì)方法，可估計(jì)出群體的大小計(jì)算比較麻煩，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，只要N>=10n，可用二項(xiàng)分布近似

離散型概率分布—超幾何分布第32頁(yè)/共62頁(yè)離散型概率分布—泊松分布一段時(shí)間內(nèi)的稀有事件例2-13考察在一段時(shí)間(如一年)內(nèi)因傷寒死亡的人數(shù)符合什么概率分布。解決方案：一年任何一天內(nèi)因傷寒死亡的人數(shù)是很少的，且不同天內(nèi)死亡人數(shù)之間彼此獨(dú)立，在這種情況下，一年內(nèi)傷寒死亡人數(shù)的隨機(jī)變量符合泊松分布第33頁(yè)/共62頁(yè)離散型概率分布—泊松分布一塊面積（體積）內(nèi)的稀有事件例2-14考察100mm2的瓊脂培養(yǎng)皿上發(fā)現(xiàn)細(xì)菌群體數(shù)的概率分布。

解決方案：在任何一個(gè)小面積上發(fā)現(xiàn)細(xì)菌群體的概率很小,且不同小面積之間細(xì)菌群體數(shù)相互獨(dú)立，則整個(gè)培養(yǎng)皿上細(xì)菌群體數(shù)符合泊松分布第34頁(yè)/共62頁(yè)離散型概率分布—泊松分布泊松（Poisson）分布在二項(xiàng)分布中，當(dāng)事件出現(xiàn)概率特別小(p→0)，而實(shí)驗(yàn)次數(shù)又非常多(n→∞)，使np→λ（常數(shù)）時(shí)，二項(xiàng)分布就趨近于泊松分布：λ—每單位長(zhǎng)度或面積、體積內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)

(x=0,1,2,……)第35頁(yè)/共62頁(yè)離散型概率分布—泊松分布以傷寒病人死亡數(shù)為例，若隨機(jī)現(xiàn)象具有以下的三個(gè)性質(zhì)則服從泊松分布：平穩(wěn)性：在(t0,t0+Δt)中死亡人數(shù)只與時(shí)間間隔Δt的長(zhǎng)短有關(guān)，而與起點(diǎn)t0無關(guān)獨(dú)立增量性（無后效性）：在(t0,t0+Δt)中的死亡人數(shù)與t0以前的事件獨(dú)立，不同時(shí)間內(nèi)過程的進(jìn)行是相互獨(dú)立的普通性：在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)觀察到超過1個(gè)死亡數(shù)的概率基本為0第36頁(yè)/共62頁(yè)離散型概率分布—泊松分布例2-15設(shè)一年內(nèi)傷寒死亡人數(shù)符合λ

=4.6的泊松分布，求3個(gè)月內(nèi)死亡人數(shù)的概率分布。解：設(shè)X=3個(gè)月內(nèi)死亡人數(shù)，則X服從以下泊松分布：

λ

=4.6/4=1.15

(i=0,1,2,……)第37頁(yè)/共62頁(yè)離散型概率分布—泊松分布泊松分布的應(yīng)用生物研究中的小概率事件(p<

0.1甚至0.01)：如水中細(xì)菌數(shù)；從遠(yuǎn)處飄來的花粉、孢子數(shù)；荒地上某種植物初生幼苗數(shù)等醫(yī)學(xué)領(lǐng)域：很多稀有疾病如腫瘤等資料當(dāng)二項(xiàng)分布p0.1和np

5時(shí)可用泊松分布近似二項(xiàng)分布、泊松分布——最常用、最重要的離散型分布第38頁(yè)/共62頁(yè)二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系二項(xiàng)分布的泊松逼近泊松逼近定理：設(shè)X服從二項(xiàng)分布b(n,p),則當(dāng)n充分大時(shí)有下面的近似等式：其中第39頁(yè)/共62頁(yè)

泊松分布總體均數(shù)不同時(shí)的抽樣分布第40頁(yè)/共62頁(yè)

離散分布小結(jié)擲硬幣試驗(yàn)擲一次硬幣：兩點(diǎn)分布連續(xù)擲n次硬幣，正面朝上的次數(shù)—二項(xiàng)分布連續(xù)擲硬幣，第一次正面朝上的次數(shù)—幾何分布連續(xù)擲硬幣，第k次正面朝上的次數(shù)—負(fù)二項(xiàng)分布超幾何分布：不放回抽樣泊松分布：稀有事件第41頁(yè)/共62頁(yè)Excel中與離散分布有關(guān)的函數(shù)插入函數(shù)→統(tǒng)計(jì)二項(xiàng)分布：BINOMDIST負(fù)二項(xiàng)分布：NEGBINOMDIST超幾何分布：HYPGEOMDIST泊松分布：POISSON第42頁(yè)/共62頁(yè)連續(xù)型概率分布—均勻分布均勻分布(UniformDistribution)

若a,b為有限數(shù)，由下列密度函數(shù)定義的分布稱為[a,b]上的均勻分布：X落在任一小區(qū)間的概率只與區(qū)間長(zhǎng)度成正比

與該區(qū)間位置無關(guān)b0axf(x)f(x)密度函數(shù)無變化第43頁(yè)/共62頁(yè)

均勻分布的分布函數(shù)：F(x)b0axF(x)1連續(xù)型概率分布—均勻分布第44頁(yè)/共62頁(yè)連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布-均勻分布均勻分布的應(yīng)用：農(nóng)藥劑量在田間的分布，人工種植的植物，如農(nóng)作物、果樹等的分布，皆為均勻分布公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等例：用X表示四舍五入小數(shù)點(diǎn)后第一位小數(shù)引起的誤差，則隨機(jī)變量X在[-0.5,0.5]區(qū)間上服從均勻分布連續(xù)型概率分布—均勻分布第45頁(yè)/共62頁(yè)連續(xù)型概率分布—指數(shù)分布指數(shù)分布(ExponentialDistribution)：指數(shù)分布的密度函數(shù)：(λ>0，常數(shù))指數(shù)分布的密度函數(shù)曲線第46頁(yè)/共62頁(yè)連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布-均勻分布指數(shù)分布的分布函數(shù)：(λ>0，常數(shù))指數(shù)分布的分布函數(shù)曲線連續(xù)型概率分布—指數(shù)分布第47頁(yè)/共62頁(yè)指數(shù)分布的應(yīng)用：常作為各種“壽命”分布的近似：如動(dòng)物的壽命，電子元件壽命電話的通話時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都常假定服從指數(shù)分布無記憶性：已知壽命大于s年，則再活t年的概率與s

無關(guān)—“永遠(yuǎn)年輕”的分布(書p41)連續(xù)型概率分布—指數(shù)分布第48頁(yè)/共62頁(yè)正態(tài)分布(NormalDistribution，高斯分布)：?jiǎn)栴}：63位女生身高符合什么分布？連續(xù)型概率分布—正態(tài)分布第49頁(yè)/共62頁(yè)連續(xù)型概率分布—正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)：其中σ>0，μ與σ均為常數(shù)，記為X~N(μ,σ2)第50頁(yè)/共62頁(yè)正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的特點(diǎn)鐘形曲線：在x=μ

處達(dá)到最大關(guān)于直線x=μ對(duì)稱：形狀完全由μ與σ決定σ越大曲線越平，σ越小曲線越尖相同的σ和不同的μ的正態(tài)分布比較相同的μ和不同的σ的正態(tài)分布比較連續(xù)型概率分布—正態(tài)分布第51頁(yè)/共62頁(yè)正態(tài)分布的分布函數(shù)：最重要的概率分布，整個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的核心

連續(xù)型概率分布—正態(tài)分布第52頁(yè)/共62頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線：實(shí)際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：μ=0,σ=1,記為N(0,1)

密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用(x)和Ф(x)表示表C.2a：p416表C.2b：p419連續(xù)型概率分布—正態(tài)分布第53頁(yè)/共62頁(yè)x=0(x)達(dá)到最大：取0鄰近的值的概率大x值離原點(diǎn)越遠(yuǎn)(x)值越?。喝‰x0越遠(yuǎn)的值概率越小關(guān)于y軸對(duì)稱：(x)=(-x)曲線與x軸間所夾面積為1曲線

在+1與-1之間的面積約為68%

在+2與-2之間的面積約為95%

在+2.5與-2.5之間的面積約為99%標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)(x)的曲線特征：連續(xù)型概率分布—正態(tài)分布第54頁(yè)/共62頁(yè)x的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%——“3法則”P(-1.00<X<1.00)=0.68P(-1.96<X<1.96)=0.95P(-2.58<X<2.58)=0.99連續(xù)型概率分布—正態(tài)分布第55頁(yè)/共62頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)及分布函數(shù)表格(x)及Φ(x)：書后表C.2a及C.2b表中給的是x>0

時(shí)(x)及Φ(x)的值查表時(shí)常用關(guān)系式：牢記！連續(xù)型概率分布—正態(tài)分布第56頁(yè)/共62頁(yè)對(duì)于服從一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量X，需轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布——標(biāo)準(zhǔn)化：設(shè)X～N(μ,σ2)，令則U~N(0