預(yù)備知識高斯隨機過程第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程（噪聲信號）示例第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二相關(guān)函數(shù)R（t，t+）利用隨機過程基礎(chǔ)解決通信中問題隨機過程ξ(t)（噪聲、信號）數(shù)學(xué)期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]統(tǒng)計、觀測、計算如果平穩(wěn)與時間起點無關(guān)E[ξ(t)]=mD[ξ(t)]=σ2

R（）如果各態(tài)歷經(jīng)用時間平均代替集平均通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲一般都能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件最終求出功率譜，從而獲得了頻率域上的功率分布，獲得其帶寬、功率性能，達(dá)到了研究通信系統(tǒng)的目的第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二數(shù)字特征的計算數(shù)學(xué)期望方差相關(guān)函數(shù)第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二2.3隨機信號分析2.3隨機信號分析隨機過程基礎(chǔ)高斯隨機過程隨機過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機過程正弦波加窄帶高斯噪聲第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程（噪聲信號）示例第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二為什么研究高斯過程中心極限定理表明：一個隨機變量，如果它是很多個相互獨立的隨機變量之和，而其中每一個對總和只發(fā)生不大的影響，那么，這一總和的分布就近似于正態(tài)分布。高斯過程又稱正態(tài)隨機過程。如通信中的噪聲，分子熱運動產(chǎn)生的熱噪聲等都具有高斯過程的特性。

高斯過程，是研究通信信號、特別是通信噪聲的重要數(shù)學(xué)模型。第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二高斯隨機過程：定義

若隨機過程ξ(t)的任意n維（n=1,2,…）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：

第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二高斯隨機過程：重要性質(zhì)高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。只需要其數(shù)字特征，就可以確定高斯過程對高斯過程：廣義平穩(wěn)與狹義平穩(wěn)等價如果高斯過程中的隨機變量之間互不相關(guān)，則他們是統(tǒng)計獨立的。高斯過程通過線性系統(tǒng)、其輸出也是高斯過程第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二a=0，=1一維高斯分布*a=+/-2，=0.8/1.2第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二一維高斯分布*第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二一維高斯分布的數(shù)值計算在通信系統(tǒng)中，通常需要計算隨機變量X大于某常數(shù)的概率：無法直接計算出查Q數(shù)值計算表第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二一維高斯分布的數(shù)值計算Q函數(shù)的意義面積=Q（）查Q函數(shù)表可以求出概率第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二一維高斯分布的數(shù)值計算誤差函數(shù)互補誤差函數(shù)X>2時互補誤差函數(shù)近似表示Q函數(shù)與誤差函數(shù)關(guān)系第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二一維高斯分布的數(shù)值計算例011->00->1誤碼率1錯成0的概率加0錯成1的概率，已知均值、方差，查Q表即可求出第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二白噪聲

信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二高斯白噪聲

如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。由可以看出，高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，是統(tǒng)計獨立的。應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二2.3隨機信號分析2.3隨機信號分析隨機過程基礎(chǔ)高斯隨機過程隨機過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機過程正弦波加窄帶高斯噪聲第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性時不變系統(tǒng)時線性時不變系統(tǒng)第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)時，關(guān)系仍然成立線性時不變系統(tǒng)？第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程通過線性系統(tǒng)輸出過程的數(shù)學(xué)期望輸入直流分量與直流增益的積第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程通過線性系統(tǒng)輸出過程的自相關(guān)函數(shù)輸出也是平穩(wěn)過程第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程通過線性系統(tǒng)輸出過程的功率譜密度“功率”譜增益第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程通過線性系統(tǒng)隨機過程通過線性系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程通過線性系統(tǒng)例:輸出過程的概率分布

從原理上看，在已知輸入過程分布的情況下，通過下式：總可以確定輸出過程的概率分布，其中一個十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程通過線性系統(tǒng)例題：帶限白噪聲

試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為：第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二隨機過程通過線性系統(tǒng)第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二2.3隨機信號分析2.3隨機信號分析隨機過程基礎(chǔ)高斯隨機過程隨機過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機過程正弦波加窄帶高斯噪聲第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二窄帶隨機過程窄帶(帶通)信號(過程)示意通信中信號與噪聲都滿足“窄帶”假設(shè)，即△f<<fc。△f為信號帶寬，fc為載頻。其包絡(luò)和相位相對于fc是緩慢變化的，波形和頻譜示意如下:第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二窄帶隨機過程窄帶信號的兩種描述方法包絡(luò)與相位參數(shù)的描述方法同相分量和正交分量的描述方法兩種描述方法對隨機過程仍然適用第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二窄帶隨機過程第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二窄帶隨機過程的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二窄帶隨機過程的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)Rx是平穩(wěn)過程，與t無關(guān)第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二窄帶隨機過程的性質(zhì)第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二窄帶隨機過程的性質(zhì)輸入為高斯過程時根據(jù)平穩(wěn)性，因此：I、Q分量也是高斯過程

一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量I和正交分量Q也是平穩(wěn)高斯過程，而且均值都為零，方差相同，在同一時刻同相分量和正交分量互不相關(guān)。高斯變量第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性將同相與正交的聯(lián)合分布函數(shù)進行二維轉(zhuǎn)換，變成包絡(luò)與相位的聯(lián)合PDF第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性相互獨立第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性利用雅各比行列式第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性包絡(luò)符合瑞利分布相位符合均勻分布求條件邊際分布第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二窄帶高斯噪聲高斯噪聲時域波形近似高斯白噪聲頻譜示意圖窄帶濾波窄帶高斯噪聲示意圖包絡(luò)符合瑞利分布第40頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二平穩(wěn)高斯過程通過窄帶系統(tǒng)輸出結(jié)論

一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量I和正交分量Q也是平穩(wěn)高斯過程，而且均值都為零，方差相同，在同一時刻同相分量和正交分量互不相關(guān)。均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，其包絡(luò)符合瑞利分布、相位符合均勻分布。第41頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二2.3隨機信號分析2.3隨機信號分析隨機過程基礎(chǔ)高斯隨機過程隨機過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機過程正弦波加窄帶高斯噪聲第42頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二正弦波加窄帶高斯噪聲發(fā)送端信道接收端噪聲源窄帶調(diào)制后，近似為高頻正弦波第43頁，共47頁，2023年，2月20日，星期二正弦波加窄帶高斯噪聲等效為同相正交分量第44頁，共47頁，