定義9.1設(shè)是論域U上的一個模糊子集,對任意u∈U,都對應(yīng)一個數(shù),稱之為元素u對的隸屬度,實值函數(shù)第一節(jié)模糊綜合評價方法一.模糊子集、模糊關(guān)系及其簡單性質(zhì)設(shè)U表示一些對象的集合,稱之為論域.論域U上的普通子集A有明確的范圍,對于任意元素u∈U,u或者屬于A,u或者不屬于A,二者必居其一.普通子集A用特征函數(shù)表示為:稱為隸屬函數(shù).4/14/2023[例9-1]以年齡為論域,U=[0,100],以A表示模糊子集“年輕”.一般認(rèn)為25歲以下的人均為年輕,超過25歲的人“年輕”程度逐年下降.A的隸屬函數(shù)為其圖形如圖9-1所示.4/14/202330歲的人在多大程度上屬于“年輕”這個范疇,容易計算即30歲的人隸屬“年輕”集合的程度為0.5.當(dāng)模糊子集的隸屬函數(shù)的取值僅為0或1時,模糊子集就退化為普通子集,隸屬函數(shù)就變?yōu)樘卣骱瘮?shù).因此,普通子集就是模糊子集的特例.當(dāng)論域U為有限集時,模糊子集A表示為這里,“∑”不表示數(shù)字和,也不表示分?jǐn)?shù),而是表示模糊集中的元素ui及其對應(yīng)的隸屬度4/14/2023其中,c∈U是任一點,參數(shù)a>0,b>0.圖形如圖9-2.②偏大型(戒下型)其中,c∈U是任一點,參數(shù)a>0,b>0.圖形如圖9-3.4/14/2023③中間型(正態(tài)型)其中,c∈U是任一點,參數(shù)a>0.圖形如圖9-4,表示充分接近元素c的模糊集.4/14/20233.模糊子集的運算

設(shè)A,B為論域U上的模糊子集,模糊子集的主要運算法則是:①相等.如果A=B,則有②包含.如果,則有③余集.如果A余集是,則有④并集.如果A、B的并集是,則有4/14/2023⑤交集.如果A、B的交集是,則有模糊子集的并集和交集可以用圖9-5表示曲線1,2表示并集曲線3，4表示交集4/14/2023和普通集合運算律類似,模糊子集交、并、余集滿足下列運算律：①交換律②結(jié)合律③分配律4/14/2023⑤對偶律④吸收律4.模糊子集和普通子集的轉(zhuǎn)化定義9.2設(shè)A是論域U上的模糊子集,任取,集合則Aλ稱為模糊子集A的λ截集,其中λ稱為閾值或置信水平.模糊子集A與它的λ截集的關(guān)系如圖9-6.4/14/2023當(dāng)λ=1時,截集A1的范圍最小,稱為模糊子集A的核;當(dāng)λ→0+時,得到范圍最大的集合,稱為A的支集,記作如圖9-7.模糊子集A特殊的截集：4/14/2023λA稱為λ與A的積.定義9.3

設(shè)A是U上的普通子集,,λA是一個模糊子集,其隸屬函數(shù)為定理9.1設(shè)A是U上的模糊子集,,則（9-1）[例9-3]設(shè)U={u1,u2,u3,u4},根據(jù)定理9.1可以得到4/14/20235.模糊關(guān)系與模糊矩陣設(shè)U,V為論域,U和V中任意元素所構(gòu)成的元素對(u,v)的集合,稱為迪卡爾積,記作

定義9.4

U×V上的一個模糊子集,稱為U到V上的一個模糊關(guān)系,記作R.即4/14/2023

④交:

⑤余:

⑥合成:4/14/2023模糊矩陣運算法則滿足下列主要性質(zhì):

①若,對任意模糊矩陣T,都有

②結(jié)合律③分配律4/14/20236.模糊變換設(shè)論域U,V均為有限集,U={u1,u2,……,un},V={v1,v2,……,vm}.U上的模糊子集可以表示為n維模糊向量同樣，V上的模糊子集也可以表示為m維向量4/14/2023二.模糊綜合評判方法一、模糊綜合評價基本步驟設(shè)因素或指標(biāo)集合為U={u1,u2,……,un}評語集合為V={v1,v2,……,vm}設(shè)第i個因素的單因素模糊評價為Ri=(ri1,ri2,…,rim)(i=1,2,…,n),其中rij表示第i個因素對第j個評語的隸屬度.n個模糊向量R1,R2,…,Rn構(gòu)成從U到V的模糊關(guān)系,模糊矩陣稱為綜合評判矩陣4/14/2023因素集U上的模糊子集可以用模糊向量A=(a1,a2,……,an)表示，隸屬度ai(i=1,2,……,n)表示各因素在綜合評價中的份量，且滿足給定A，R后，通過模糊變換將U上的模糊向量A變?yōu)閂上的模糊向量B，即(9-2)其中，B稱為綜合評價向量，“?”稱為綜合評判合成算子，上式稱為綜合評判模型。4/14/2023幾種常見的合成算子：①M(∧,∨)型.

②M(·,∨)型.

③M(·,+)型.符號“·”、“+”分別表示實數(shù)乘法和加法運算.4/14/2023⑥對評價結(jié)果B進行綜合分析.2.多層次模糊綜合評價多層次綜合評價的步驟是:①對因素集合U按屬性劃分為若干子集.設(shè)U={u1,u2,……,un},劃分⑤選擇綜合評價合成算子,并合成得到綜合評價向量劃分應(yīng)當(dāng)滿足第二層次因素子集Ui(i=1,2,…,k)所包含元素為4/14/2023

②對第二層次每個Ui的ni個元素進行綜合評價.設(shè)評語集為Ui中各因素的權(quán)向量為綜合評價矩陣為Ri,于是綜合評價向量③進行第一層次各子集的綜合評價.在第一層次將子集Ui當(dāng)作一個因素,第二層次綜合評價向量Bi作為Ui的單因素評價,設(shè)各子集的權(quán)重向量為綜合評價矩陣為4/14/2023按照合成算子M(∧,∨),計算得到綜合評價向量對評價向量B進行單值化處理.如果給各等級評語v1,v2,v3,v4分別規(guī)定分值1,0.8,0.5,0,并且對B進行規(guī)一化處理,得到權(quán)重向量(0.45,0.26,0.17,0.12).根據(jù)公式(9-3),取k=1,該品牌服裝總評分值為4/14/2023一.灰色系統(tǒng)的基本概念和基本方法1.灰色系統(tǒng)的數(shù)量表示定義9.5在灰色系統(tǒng)中信息不完備的元素稱為灰色元素,簡稱灰元或灰數(shù).記作.灰元的變化區(qū)域稱為灰域,記為對應(yīng)于灰元的變量稱為灰色變量,記作.灰色變量其中R為實數(shù)集.灰元的確定值稱為白化值,記作含有灰元的矩陣稱為灰色矩陣.含有灰元的方程稱為灰色方程.第二節(jié)灰色局勢決策4/14/20232.關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度①關(guān)聯(lián)系數(shù):設(shè)有母序列和子序列則稱為序列X0(t)與Xi(t)在時刻k的關(guān)聯(lián)系數(shù).式中稱為時刻k點X0(t)與Xi(t)的絕對差;(9-4)4/14/2023稱為最小絕對差;稱為最大絕對差;稱為分辨系數(shù).②關(guān)聯(lián)度:序列Xi(t)各時刻關(guān)聯(lián)系數(shù)的均值稱為子序列Xi(t)對母序列X0(t)的關(guān)聯(lián)度,記作(9-5)[例9-8]某地區(qū)1989—1993年商業(yè)收入X0(t)和固定資產(chǎn)投資X1(t),工業(yè)投資X2(t),農(nóng)業(yè)投資X3(t),科技投入X4(t),交通投資X5(t)的原始數(shù)據(jù)如表9-2,試作出各種投資對商業(yè)收入的關(guān)聯(lián)度分析.4/14/2023解:第一步,對原始數(shù)據(jù)作初值化處理,結(jié)果如表9-34/14/2023第二步,求母序列X0對各子序列Xi在各時刻的絕對差△i(k)(i=1,2,3,4,5;k=1,2,3,4,5),計算結(jié)果如表9-4于是得到最小絕對差△min=0,最大絕對差△max=1.45第三步,取分辨系數(shù)ρ=0.5,計算各種投資與商業(yè)收入在各時刻的關(guān)聯(lián)系數(shù),計算結(jié)果如表9-54/14/2023第四步,求出各種投入對商業(yè)收入的關(guān)聯(lián)度同樣得出r2=0.666,r3=0.648,r4=0.768,r5=0.72關(guān)聯(lián)度排序是:r4>r5>r1>r2>r3

因此影響商業(yè)收入的主要因素是科技投入,其次是交通投資4/14/20233.序列的生成運算①累加生成運算(AGO)設(shè)原有數(shù)據(jù)序列對作一次累加生成運算,用公式(9-6)得到一次累加生成序列4/14/2023如果對作r次累加,用公式(9-7)則得到r次累加生成序列由(9-7)式,可以得到遞推關(guān)系式(9-8)4/14/2023

[例9-9]某公司1991-1996年產(chǎn)品銷售額(單位:萬元)原始數(shù)列為試求的一次累加生成序列.解:按(9-6)式,可得到4/14/2023原始序列的曲線如圖9-10,累加生成數(shù)列曲線如圖9-11.對比兩曲線可知,經(jīng)過累加生成后,原曲線的隨機波動被弱化,生成序列曲線變得比較平穩(wěn).對生成數(shù)列用模擬曲線去逼近,可以提高逼近精度.4/14/2023設(shè)為r次累加生成數(shù)列,對作r次累減生成運算,記作其中表示0次累減,即沒有累減.于是,有基本關(guān)系式由基本關(guān)系式推導(dǎo)出如下關(guān)系式②累減生成運算(IAGO)4/14/2023(9-9)4/14/2023由此可知,對r累加生成數(shù)列作r次累減生成運算,就還原成原始數(shù)列.由遞推關(guān)系式(9-8)得出(9-10)此取,x(r)(0)=0.4.GM(1,1)模型GM(1,1)是一階微分方程模型，其形式是(9-11)其中，a,u為待估參數(shù).4/14/2023將方程中的和x作離散化處理.當(dāng)△t很小并取很小的1個單位時間間隔,t取離散值k,則有近似等式GM(1,1)模型設(shè)有原始數(shù)列作一次累加生成,得到4/14/2023對方程(9-11)作離散化處理，代入,x(1)(t)的近似表達式,得到即取k=1,2,……，n-1，便有下列等式組4/14/2023引入向量記號等式組改寫為如果記上式可改寫為（9-12）其中，YN是n-1維向量，B是(n-1)×2矩陣,a是2維列向量4/14/2023待估向量(9-13)將a=(a,u)T估計值代入方程(9-11),有解得令初始值t=1,常數(shù)于是當(dāng)t=k+1時,得到一次累加生成的時間響應(yīng)函數(shù)(9-14)4/14/2023GM(1,1)建模計算基本步驟是:

①對原始數(shù)據(jù)X(0)(k)作一次累加生成得X(1)(k);

②用最小二乘法估算參數(shù)③解一階線性微分方程,得時間響應(yīng)函數(shù)④模型檢驗;⑤利用模型進行預(yù)測.4/14/2023二.灰色局勢決策1.決策局勢設(shè)事件集,對策集目標(biāo)集對于目標(biāo)事件ai和對策bj的二元組合稱為一個局勢,記為sij=(ai,bj).全部局勢的集合稱為局勢集,記作在目標(biāo)ck下,每一個局勢sij都有一個效果值,稱為目標(biāo)ck下局勢sij的效果樣本.記作.全體效果樣本集合,稱為效果樣本集,記作4/14/20232.效果測度和效果測度矩陣通常采用的三種測度方法:①上限效果測度.設(shè)在目標(biāo)ck下,局勢sij的上限效果測度為,其計算公式為(9-15)4/14/2023②下限效果測度.下限效果測度的計算公式為(9-16)③中心效果測度.計算公式為(9-17)或(9-18)4/14/2023單目標(biāo)ck局勢sij的效果測度所構(gòu)成的矩陣稱為效果測度矩陣,記作全部目標(biāo)Ck(k=1,2,……,l)下,局勢Sij的綜合效果測度所構(gòu)成的矩陣,稱為綜合效果測度矩陣,記作4/14/2023其中3.決策準(zhǔn)則和決策步驟行決策是在綜合效果測度矩陣中,按行選擇綜合效果測度最大的局勢為最佳決策局勢.即如果4/14/2023

列決策是在匹配的決策中選擇最佳事件,是在

中,按列選擇綜合效果測度最大的局勢為最佳決策局勢.即則對策bj*是事件ai的最佳對策,sij*是最佳決策局勢表示事件ai*是對策bj匹配的最佳事件,si*j是最優(yōu)決策局勢.灰色局勢決策的步驟是:

①根據(jù)實際問題計算各目標(biāo)的局勢效果值;

②計算效果測度得到各目標(biāo)的效果測度矩陣③計算綜合效果測度矩陣R;4/14/2023

④對R進行行和列決策,選擇最優(yōu)局勢;

⑤對R進行優(yōu)序化處理,作出灰色局勢決策.[例9-12]某縣有三個農(nóng)業(yè)區(qū)域,除種植業(yè)以外,按照人均收入和每百元產(chǎn)值的勞力投入、資金投入、土地投入四個目標(biāo)對林業(yè)、畜牧業(yè)、工副業(yè)進行灰色局勢決策.各區(qū)各業(yè)各目標(biāo)值如表9-8.三、灰色局勢決策應(yīng)用實例4/14/2023

解:①根據(jù)實際問題,將有關(guān)統(tǒng)計資料按各目標(biāo)分類整理,得到各農(nóng)業(yè)區(qū)域局勢效果值.其中事件集A={a1,a2,a3}={區(qū)域Ⅰ,區(qū)域Ⅱ,區(qū)域Ⅲ},對策集B={b1,b2,b3}={林業(yè),畜牧業(yè),工副業(yè)},目標(biāo)集C={c1,c2,c3,c4}={人均收入,勞力投入,資金投入,土地投入}.各目標(biāo)局勢效果樣本值如表9-8.②計算各目標(biāo)的效果測度矩陣.對于目標(biāo)c1,人均收入是越多越優(yōu),宜采取上限效果測度計算.按公式(9-15),效果測度值4/14/2023對于目標(biāo)c2,勞力安排過少不利于就業(yè),安排過多增加成本.因此,宜采用中心效果測度.取效果樣本值的平均值u0,考慮到適當(dāng)多安排一些勞力就業(yè)有利于社會,采用(9-17)式計算效果測度.效果測度值從而求出目標(biāo)c1的效果測度矩陣4/14/2023由此求出目標(biāo)c2的效果測度矩陣對于目標(biāo)c3,希望最小的資金投入獲得最大的經(jīng)濟效益,故宜采用下限效果測度.按公式(9-16),效果測度值目標(biāo)c3的效果測度矩陣為4/14/2023對于目標(biāo)c4,國土是十分珍貴的資源,希望盡量減少土地使用面積,故宜采用下限效果測度.根據(jù)公式(9-16),效果測度值為于是,c4的效果測度矩陣為③計算綜合效果測度矩陣.綜合效果測度計算出綜合效果測度矩陣4/14/2023④對R進行行決策和列決策.對R分別進行行決策和列決策,選擇最優(yōu)局勢.行決策的最優(yōu)局勢為列決策的最優(yōu)局勢為其中s13,s23是行決策和列決策相同的最優(yōu)決策,即表示農(nóng)業(yè)區(qū)域Ⅰ應(yīng)發(fā)展工副業(yè),區(qū)域Ⅱ應(yīng)發(fā)展畜牧業(yè).但是,區(qū)域Ⅲ應(yīng)發(fā)展的優(yōu)勢產(chǎn)業(yè)尚需進一步?jīng)Q策.⑤對R優(yōu)序化處理,并進行灰色決策.對綜合效果測度矩陣R,按照測度值大小,分別按行和列作兩次調(diào)整,使其從左到4/14/2023右、從上到下排成遞減序列.先按行調(diào)整,得優(yōu)序化矩陣再按列調(diào)整,并將局勢符號標(biāo)注在測度值之下,得優(yōu)序化矩陣4/14/2023根據(jù)優(yōu)序化矩陣,作出灰色決策.從左上到右下按測度值用虛線將劃分為不同級別取值的若干梯級段,然后,逐段選項擇各區(qū)域的最優(yōu)局勢.同時,兼顧全局效益和各產(chǎn)業(yè)協(xié)調(diào)發(fā)展.灰色局勢決策的結(jié)論是區(qū)域Ⅰ選擇s13(工副業(yè))、s12(畜牧業(yè));區(qū)域Ⅱ選擇s23(工副業(yè))、

s22(畜牧業(yè));區(qū)域Ⅲ選擇s31(林業(yè))、s33(工副業(yè)).4/14/2023第四節(jié)灰色規(guī)劃灰色規(guī)劃：指在規(guī)劃模型的建模過程中，有的系數(shù)和約束值需要通過GM模型求解，或者本身就是灰色變量的模型.一、灰色線性規(guī)劃灰色線性規(guī)劃的一般形式如下:約束條件(9-23)式中,X=(x1,x2,……,xn)T，C=(c1,c2,……,cn)T，系數(shù)ci可以是灰數(shù)目標(biāo)函數(shù)4/14/2023灰色矩陣符號是最大灰靶,表示最大值意義下的取值范圍;符號是最小灰靶,表示最小值意義下的取值范圍;灰色線性規(guī)劃是在當(dāng)約束條件的約束值變動,并可以用時間序列描述時,利用GM(1,1)模型對約束值的變化進行預(yù)測,并按預(yù)測值求解的.4/14/20231.預(yù)測型灰色線性規(guī)劃設(shè)在灰色線性規(guī)劃模型中,約束條件中約束值bi的時間序列為對bi(0)作一次累加生成,得到建立GM(1,1)模型,解出預(yù)測值.用預(yù)測值作為約束值,得到灰色線性規(guī)劃的約束條件對于不同的k值,可以求得不同的最優(yōu)解,這種規(guī)劃稱為預(yù)測型灰色線性規(guī)劃4/14/2023[例9-15]某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一單位甲產(chǎn)品耗電4百度,需煤9噸,用工3個;每生產(chǎn)一單位乙產(chǎn)品耗電5百度,需煤4噸，用工10個.每單位甲、乙產(chǎn)品所創(chuàng)造的效益分別為700元和1200元,該企業(yè)現(xiàn)有工人300個，每月供煤量360噸，前五個月的供電量如表9-12:假設(shè)經(jīng)濟效益目標(biāo)的要求是40000-50000元,如何安排本月的生產(chǎn)，才能取得最佳經(jīng)濟效益.解:設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1,x2,建立灰色線性規(guī)劃模型4/14/2023按表9-12給出的關(guān)于供電量的時間序列建立GM(1,1)模型,得目標(biāo)函數(shù)約束條件4/14/2023于是，本月份供電量的預(yù)測值為取預(yù)測值作為約束值,第三個約束條件變?yōu)橛脝渭冃畏ㄇ蠼?最優(yōu)解為

此時,最佳經(jīng)濟效益值

滿足灰色目標(biāo)經(jīng)濟效益值的要求.4/14/20232.漂移型灰色線性規(guī)劃漂移型灰色線性規(guī)劃:目標(biāo)函數(shù)和約束條件含有灰數(shù)的線性規(guī)劃.可信度的概念:設(shè)灰數(shù)或者記為其中，a稱為白化系數(shù).當(dāng)a=0時,灰數(shù)取下界;當(dāng)a=1時,灰數(shù)取上界.對于灰色線性規(guī)劃模型，如果目標(biāo)函數(shù)中灰數(shù)的白化系數(shù)取a=1,約束條件中灰數(shù)的白化系數(shù)取a=0,則目標(biāo)函數(shù)值必為最大值fmax.4/14/2023設(shè)Xa為白化系數(shù)a值下的決策變量值,Ca為目標(biāo)函數(shù)中白化系數(shù)取a的白化向量,則稱為a下的可信度.漂移型灰色線性規(guī)劃的求解步驟:

①給定可信度μ*.目標(biāo)函數(shù)的白化系數(shù)取a=1,約束條件白化系數(shù)取a=0,求fmax

②給出a值,計算fa=CaTXa;③計算可信度④如果μa≥μ*,停止計算,Xa為滿意解.否則,重復(fù)步驟②～④,直到滿足要求．4/14/2023

[例9-16]求解灰色線性規(guī)劃模型:式中，解:第一步,目標(biāo)函數(shù)的白化系數(shù)取a=1,約束條件的白化系數(shù)取a=0,得到線性規(guī)劃問題目標(biāo)函數(shù)約束條件使可信度μ＊≥0.84/14/2023用單純形法解得fmax=425.28,x1=19.2,x2=24.24

第二步,取a=0.5,得到線性規(guī)劃解得,x1=16.85,x2=24.94,f0.5=266.92,4/14/2023

第三步,取a=1,得到線性規(guī)劃問題解得,x1=3.34,x2=29,f1=371.38,μ1=0.873>μ*,次為漂移型灰色線性規(guī)劃最優(yōu)解.4/14/2023二、灰色目標(biāo)規(guī)劃灰色目標(biāo)規(guī)劃的一般形式是:達成函數(shù)約束條件(9-24)其中灰色目標(biāo)規(guī)劃:在普通的目標(biāo)規(guī)劃模型中，如果約束條件的技術(shù)系數(shù)和目標(biāo)值含有灰數(shù)4/14/2023并稱為灰色技術(shù)系數(shù),d+,d-為正負(fù)偏差向量,為灰色目標(biāo)值向量.1、灰色GM模型法兩種灰色系數(shù)的白化處理技術(shù):設(shè)灰色技術(shù)系數(shù)和灰色目標(biāo)值可以表示為時間序列4/14/2023對序列作一次AGO運算,并利用灰色GM模型對灰色系數(shù)作白化處理，灰色目標(biāo)規(guī)劃模型就轉(zhuǎn)化為普通目標(biāo)規(guī)劃問題:2、灰域目標(biāo)規(guī)劃法設(shè)灰色目標(biāo)規(guī)劃模型(9-24)即右式中，4/14/2023技術(shù)系數(shù)已作白化處理,目標(biāo)值取值于灰色區(qū)間,即(9-25)即有令,于是4/14/2023寫成矩陣形式,有其中，矩陣4/14/2023模型(9-25)可以表示為(9-26)其中.再引入記號4/14/2023模型(9-25)改寫為(9-27)(9-27)為普通目標(biāo)規(guī)劃問題，從而可以求解三、應(yīng)用實例[例9-17](產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整模型)某市1992年,農(nóng)業(yè)經(jīng)濟產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)比例失調(diào),形成以種植業(yè)為主的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),大面積的宜林地草地和水面