.word.zl..word.zl.17.1勾股定理技巧1利用勾股定理計算線段的長如下圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,DE，人8于點(diǎn)日，假設(shè)AC=6,BC=8,CD=3.⑴求DE的長；(2)求AB的長及^ADB的面積.解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD=DE,從而DE=3;⑵首先利用勾股定理求出AB的長，然后計算4ADB的面積.解：(1).??AD平分/CAB,DE±AB,ZC=90°,aCD=DE.??.CD=3,：DE=3.(2)在Rt^ABC中，由勾股定理，得AB=%：AC2+BC2=<62+82=10,??.△ADB的面積為△ADB=△ADB=1AB?DE=12 2103=15.技巧2利用勾股定理解決折疊問題如下圖，將長方形ABCD沿著BD折疊，使點(diǎn)6落在C'處，BC'交人口于點(diǎn)日，假設(shè)AD=8.AB=4.(1)求^BDE的周長；(2)求4BDE的面積.解析：⑴由將長方形ABCD沿BD折疊，知C'D=CD,/C=/C',/1=/2,可證BE=DE,即AE+BE=AD.在Rt^ABE和Rt^BCD中，用勾股定理求出BE,BD的長，進(jìn)而求出^BDE的周長;⑵由題意，知C'=90°即DC'^BC',那么S△BDE=2BD.CD解：①:將長方形ABCD沿著BD折疊，??.CD=C'D,/C=/C',/1=/2.又???/2=/3,..?/1=/3.：BE=DE.設(shè)BE=DE=x，那么AE=8—x.在Rt^ABE中，BE2-AE2=AB2,即X2—(8-x)2=42,解得*=5,即BE=DE=5.在Rt△BCD中，BD=BCC2+CD2=82+42=4<5,??.△BDE的周長為BE+DE+BD=10+4<5.⑵???/C'=9O°,：DC」BC'.

'，'，SABDE=1bE-C'D=1*5X4=10,即^BDE的面積為10.技巧3利用勾股定理解決最短路徑問題如圖⑴所示是一個長方體的大箱子，它的高為3m,底面是邊長為2m的正方形.現(xiàn)在點(diǎn)人處有一只壁虎，想沿長方體外表到達(dá)點(diǎn)6處，那么壁虎爬行的最短路程是多少？⑴⑵⑶解析：首先將長方體展開成平面圖形，連接AC,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短來解答，然后利用勾股定理求出線段的長度.解：(1)如圖(2),將長方體的右外表翻折至前外表，使人，6兩點(diǎn)共面，連接AC,那么此時線段AC的長度即為此種情況的最短路程./.AC2=(2+2)2+32=25./.AC=5.⑵如圖⑶，將長方體的后外表翻折至上外表，使人，6兩點(diǎn)共面，連接AC,那么此時線段AC的長度即為此種情況的最短路程./.AC2=22+(2+3)2=4+25=29.：AC=v29.-/x29>5,「?壁虎爬行的最短路程是5m.技巧4利用勾股定理求圖形的面積如下圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形內(nèi)一點(diǎn)，且人日，BE.假設(shè)AE=6,BE=8,求圖中陰影局部的面積.解析：先利用勾股定理求得正方形ABCD的邊長，再根據(jù)面積公式求得正方形和直角三角形的面積，最后求出陰影局部的面積.解：:人日，8日，：/日=90°.\'AE=6,BE=8,：AB=\AE2+BE2=v'62+82=10.正方形ABCD的面積為AB2=100.??.s△ABE=??.s△ABE=-AE?BE=-2 268=24,圖中陰影局部的面積為S陰影=100—24=76.技巧5利用勾股定理解決非直角三角形中的問題如圖⑴所示，在^ABC中，/C=60°.AB=14,AC=10,求BC的長.⑴⑵解析：過點(diǎn)人作人口，86,那么出現(xiàn)兩個直角三角形：Rt^ACD與Rt^ABD,借助于勾股定理解題即可.解：如圖(2)所示，過點(diǎn)人作人口，86,交86于點(diǎn)口.\'ZC=60°,AC=10,/.CD=5,AD=5<3.又?.?AB=14,：BD=<142-5(32二、196—75=11.??.BC=BD+CD=11+5=16.技巧6勾股定理在解決實際問題中的應(yīng)用如圖⑴，由于過度采伐森林和破壞植被，我國局部地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的侵襲.近日，A城氣象局測得沙塵暴中心在A城正西方向240km的點(diǎn)8處，以12km/h的速度向北偏東600方向移動，距沙塵暴中心150km的X圍均為受影響區(qū)域.⑴A城是否會受到這次沙塵暴的影響？為什么？⑵假設(shè)A城受到這次沙塵暴影響，那么遭受影響的時間有多長？北

十,八'1,八'1.巧?［、一BA.- * 抖 A(1)⑵解析：⑴過點(diǎn)人向沙塵暴行進(jìn)的方向作垂線，得到點(diǎn)人到直線BM的距離，將該距離與150km作比擬來判斷A城是否會受影響.(2)由于在沙塵暴中心周圍150km的X圍內(nèi)均受影響，故以點(diǎn)A為圓心，以150km為半徑畫弧，該弧與沙塵暴所經(jīng)路線有兩個交點(diǎn)，先利用勾股定理求出這兩點(diǎn)的距離，再用這個距離除以沙塵暴的速度即可求出A城受影響的時間.解：⑴A城會受到影響，理由如下：如圖⑵，過點(diǎn)人作人6,8乂，交8乂于點(diǎn)6.?.?在Rt^ABC中，/ABM=30°,/.AC=AAB=—X240=120(km).?/120V150,

「?A城會受到這次沙塵暴的影響.⑵如圖⑵，以點(diǎn)A為圓心，以150km為半徑畫弧，與BM交于E,F兩點(diǎn).由題意，得CE=，A￡2+A02=J1502+1202=90(km).?.?AE=AF,：/AEF=/AFE.又.../ACE=/ACF,AC=AC,」.△ACE白△ACF(AAS).：CE=CF./.EF=2CE=2X90=180(km).」.180+12=15(h).「?A城遭受這次沙塵暴影響的時間為15h.17.2勾股定理的逆定理技巧1利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀a,b,c是^ABC的三邊長，且滿足關(guān)系式、：c2—a2—b2+\a-b|=0，那么^ABC的形狀為 解析：,「M2—a2—b2+a—b=0,」.C2—a2—b2=0,且a—b=0.」.C2=a2+b2,且a=b「△ABC為等腰直角三角形.答案：等腰直角三角形.技巧2勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用如下圖，在四邊形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB^BC.試說明AC^CD.解析：先在Rt^ABC中，利用勾股定理，求出AC的長，再利用勾股定理的逆定理求得/ACD=90°.解:vAB±BC,a/B=90°.??AB=1,BC=2,；.AC2=AB2+BC2=12+22—5.在^ACD中，AC2+CD2=5+22=5+4=9,AD2=32=9,?.AC2+CD2=AD2.?./ACD=90°,即AJCD.技巧3利用勾股定理的逆定理求三角形的面積如下圖，D,E,F分別是^ABC中BC,AB,AC邊上的點(diǎn)，且AE=AF,BE=BD,CF=CD,AB=4,AC=BD=3，求^ABC的面積.CD2解析：先出BC,證明^ABC是直角三角形，即可求出面積.

解：■.殷=3設(shè)BD=3x,那么CD=2x,由AE=AF,BE=BD,CF=CD,CD2即AF=3—2x,AE=4—3x,「.3—2*=4—3*,解得*=1,「衛(wèi)6=3*+2*=5.又...32+42=52,即ACz+AB2=BC2,」.△ABC是直角三角形，/A=90°.△ABC△ABC=AB*AC=—2 2技巧4利用勾股定理的逆定理解決實際問題如下圖，南北向直線MN為我國領(lǐng)海線，即MN以西為我國領(lǐng)海，以東為公海，上午9:50,我國反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私艇6以13nmile/h的速度偷偷向我國領(lǐng)海駛來，便 ..: 「立即通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇8.A,6兩艇的距'—??"一離是13nmile,A,8兩艇的距離是5nmile,反走私艇B測得其離走私艇6的距離是12nmile.假設(shè)走私艇6的速度不變，那二么走私艇C最早會在什么時間進(jìn)入我國領(lǐng)海？解析：如下圖，設(shè)MN交人6于點(diǎn)日，從而確定么BEC=90°,由條件確定/ABC=90°,利用勾股定理求出CE的長，最后由速度公式求出時間.解：如下圖，設(shè)MN交人6于點(diǎn)日，那么/BEC=90°.由題意，得AB2+BC2=52+122=169=132=AC2,故^ABC是直角三角形，/ABC=90°