一、空間幾何體題型精選講解題型一空間幾何體的基本概念的考察1、下列命題中正確的是 ()A．以直角三角形的一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓D．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形的半徑等于圓錐底面圓的半徑解析：A符合圓錐的定義．B不符合圓臺的定義．C中圓柱、圓錐、圓臺的底面是圓面，不是圓．D中圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線長．所以選A.答案：A題型二三視圖的考察1、(2009·海南、寧夏)一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位：cm2)為（)A．48＋12eq\r(2)B．48＋24eq\r(2)C．36＋12eq\r(2) D．36＋24eq\r(2)解析：根據(jù)三視圖可知，這個三棱錐的一個底面為等腰直角三角形、一個側(cè)面垂直于底面．其直觀圖如圖所示，其中PD⊥平面ABC，D為BC中點，AB⊥AC，ED⊥AB.連結(jié)PE，由于AB⊥PD，AB⊥DE，故AB⊥PE，即PE為△PAB的底邊AB上的高．在直角三角形PDE中，PE＝5，側(cè)面PAB，PAC的面積相等，故這個三棱錐的全面積是2×eq\f(1,2)×6×5＋eq\f(1,2)×6×6＋eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＝48＋12eq\r(2).故選A.答案：A(2011·遼寧)一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為2，它的三視圖中的俯視圖如下圖所示，左視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是()A．4 B．2eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)解析：設(shè)正三棱柱底面邊長為a，利用體積為2eq\r(3)，容易求出這個正三棱柱的底面邊長和側(cè)棱長都是2，所以底面正三角形的高為eq\r(3)，故所求矩形的面積為2eq\r(3).答案：B題型三平面圖的直觀圖（斜二測面法）如圖所示的直觀圖，其平面圖形的面積為 （） A．3B.eq\f(3\r(2),2)C．6D．3eq\r(2)解析：由斜二測作圖法，水平放置的△OAB為直角三角形，且OB＝2O′B′＝4，OA＝O′A′＝3，則S＝eq\f(1,2)×4×3＝6.答案：C2、如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則這個平面圖形可能是 （）解析：由平行于x、y軸的直線仍然平行知C正確．答案：C題型四其他類型：展開、投影、截面、旋轉(zhuǎn)體等1、面積為eq\r(3)的等邊三角形繞其一邊中線旋轉(zhuǎn)所得圓錐的側(cè)面積是________．解析：設(shè)等邊三角形的邊長為l，則旋轉(zhuǎn)所得的圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為eq\f(l,2)，如圖a，圖b.因為S正三角形＝eq\r(3)，所以eq\f(\r(3),4)l2＝eq\r(3)，即l＝2.所以圓錐側(cè)面積為S側(cè)＝eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π.答案：2π2、如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，交于頂點A的三條棱長分別為AD＝3，AA1＝4，AB＝5，則從A點沿表面到C1的最短距離為 ()A．5eq\r(2)B.eq\r(74)C．4eq\r(5)D．3eq\r(10)解析：長方體可分別沿三條邊B1B、A1B1、BC展開，展開后為三個不同矩形，對角線為最短距離，分別為4eq\r(5)，eq\r(74)，3eq\r(10)，因此，此題選B.3、已知半徑為5的球的兩個平行截面的周長分別為6π和8π，則兩平行截面間的距離為()A．1B．2C．1或7D．2或6解析：由截面周長為6π和8π，知兩截面圓半徑分別為3和4，所以兩截面可在某條直徑的同側(cè)或異側(cè)．同側(cè)時，所求距離為eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；異側(cè)時，所求距離為eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.二、簡單幾何體的表面積與體積題型精選講解題型一與三視圖相結(jié)合1、(2010·天津)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為________解析：由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，由正視圖和俯視圖可知該幾何體的高為1，結(jié)合三個視圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積為eq\f(1,2)(1＋2)×2×1＝3.2、已知一個幾何體是由上下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如下，若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為eq\r(5)，則該幾何體的體積是： A.eq\f(4π,3) B．2πC.eq\f(8π,3) D.eq\f(10π,3)解析：這個幾何體是一個底面半徑為1，高為2的圓錐和一個半徑為1的半球組成的組合體，故其體積為eq\f(1,3)π×12×2＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4π,3).故選A題型二內(nèi)接與外接的知識1、(2008·福建)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為eq\r(3)，則其外接球的表面積是________．解析：考查空間想象能力和創(chuàng)新能力．以已知三棱錐的三個側(cè)面為側(cè)面，可作一個棱長為eq\r(3)的正方體．已知三棱錐的外接球即為正方體的外接球，易求半徑和表面積．2、(2011·全國新課標(biāo))已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上．若圓錐底面面積是這個球面面積的eq\f(3,16)，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________．解析：本題考查球內(nèi)接圓錐問題，屬于較難的題目．由圓錐底面面積是這個球面面積的eq\f(3,16)，得所以eq\f(r,R)＝eq\f(\r(3),2)，則小圓錐的高為R－eq\f(R,2)＝eq\f(R,2)，大圓錐的高為R＋eq\f(1,2)R＝eq\f(3R,2)，所以比值為eq\f(1,3).題型三表面積與體積綜合問題1、(2010·全國)已知正四棱錐S－ABCD中，SA＝2eq\r(3)，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為 ()A．1B.eq\r(3)C．2D．3解析：設(shè)底面邊長為a，則高h(yuǎn)＝eq\r(SA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2)＝eq\r(12－\f(a2,2)).所以體積V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)eq\r(12a4－\f(1,2)a6).設(shè)y＝12a4－eq\f(1,2)a6，則y′＝48a3－3a5，當(dāng)y取最值時，y′＝48a3－3a5＝0，解得a＝0(舍去)或a＝4時，體積最大，此時h＝eq\r(12－\f(a2,2))＝2.2、如圖，一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的等腰三角形，俯視圖是一個圓及其圓心，當(dāng)這個幾何體的體積最大時，圓的半徑是 ()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(2,3)解析：本題考查三視圖及錐體的體積計算．設(shè)底面半徑為r，高為h，又r2＋h2＝1，則V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(1－h(huán)2)h，當(dāng)h＝eq\f(\r(3),3)，即r＝eq\f(\r(6),3)時，體積最大，故選C.補(bǔ)充知識：1．平行于棱錐底面的截面的性質(zhì)棱錐與平行于底面的截面所構(gòu)成的小棱錐，有如下比例性質(zhì)：eq\f(S小錐底,S大錐底)＝eq\f(S小錐全面積,S大錐全面積)＝eq\f(S小錐側(cè),S大錐側(cè))＝對應(yīng)線段(如高、斜高、底面邊長等)的平方之比．注：這個比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積的比時，會大大簡化計算過程；在求臺體的側(cè)面積、底面積的比時，將臺體補(bǔ)成錐體，也可應(yīng)用這個關(guān)系式．有關(guān)棱柱直截面的補(bǔ)充知識在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的上、下底面就是直截面．棱柱的側(cè)面積與截面周長有如下關(guān)系：S棱柱側(cè)＝c直截l(其中c直截、l分別