（優(yōu)選）第五章誤差橢圓當(dāng)前1頁(yè)，總共47頁(yè)。第5章誤差橢圓【學(xué)習(xí)要點(diǎn)及目標(biāo)】了解點(diǎn)位誤差的基本概念；熟悉點(diǎn)位誤差計(jì)算步驟與方法；熟悉誤差曲線、誤差橢圓、相對(duì)誤差橢圓的計(jì)算步驟。當(dāng)前2頁(yè)，總共47頁(yè)。5.1點(diǎn)位誤差概述平面控制測(cè)量的目的是確定待定控制點(diǎn)的一對(duì)平面直角坐標(biāo)。由于觀測(cè)值總是帶有誤差，因而根據(jù)觀測(cè)值，通過(guò)平差計(jì)算所得的是待定點(diǎn)的最或然坐標(biāo)x、y，并不是其坐標(biāo)真值、。如圖5-1所示，P為某待定點(diǎn)的真實(shí)位置，為平差計(jì)算所求得的最或然點(diǎn)位，那么點(diǎn)相對(duì)P點(diǎn)的偏移量就是P點(diǎn)的點(diǎn)位真誤差(簡(jiǎn)稱真位差)。在x、y坐標(biāo)軸上的投影分別為(5-1)當(dāng)前3頁(yè)，總共47頁(yè)。5.1點(diǎn)位誤差概述由圖5-1可知5-2圖5-1點(diǎn)位真誤差當(dāng)前4頁(yè)，總共47頁(yè)。,5.1點(diǎn)位誤差概述P點(diǎn)的最或然坐標(biāo)x、y都是由同一組觀測(cè)值通過(guò)平差計(jì)算所求得的。設(shè)平差后的坐標(biāo)x、y與觀測(cè)值向量之間的線性函數(shù)關(guān)為顯然，隨著觀測(cè)值的不同，x和y也將取得不同的數(shù)值。換言之，對(duì)應(yīng)于不同的子樣觀測(cè)值，將得到不同的x、y值，因而就出現(xiàn)不同的所以它們都是隨機(jī)變量。對(duì)該函數(shù)關(guān)系取數(shù)學(xué)期望，得值當(dāng)前5頁(yè)，總共47頁(yè)。根據(jù)方差的定義，并顧及式(5-1)，則有5.1點(diǎn)位誤差概述對(duì)式(5-2)兩邊取數(shù)學(xué)期望，得式中，，則

是P點(diǎn)真位差平方的理論平均值，即P點(diǎn)的點(diǎn)位方差，若記為則

(5-3)當(dāng)前6頁(yè)，總共47頁(yè)。式中，分別為P點(diǎn)在x、y方向上的中誤差，或稱為x、y方向上的位差。將式(5-3)開(kāi)方即得P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差如果將圖5-1中的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)某一個(gè)角度，即以為坐標(biāo)系(圖5-2)，則P、點(diǎn)的

坐標(biāo)分別為雖然在新坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的真誤差的大小變了，但的大小將不因坐標(biāo)軸的變動(dòng)而發(fā)生變化，此時(shí)5.1點(diǎn)位誤差概述當(dāng)前7頁(yè)，總共47頁(yè)。據(jù)式(5-2)、式(5-3)可以直接寫(xiě)出可見(jiàn)，點(diǎn)位方差總是等于兩個(gè)相互垂直方向上的位差的平方和，與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)5.1點(diǎn)位誤差概述當(dāng)前8頁(yè)，總共47頁(yè)。圖5-2位差大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)5.1點(diǎn)位誤差概述當(dāng)前9頁(yè)，總共47頁(yè)。如圖5-1所示，如果再將P點(diǎn)的真位差投影于AP方向和垂直于AP的方向上，則得此時(shí)有仿式(5-4)的由來(lái)，又可以寫(xiě)出

(5-5)為縱向位差為橫向位差。通過(guò)縱、橫向位差來(lái)求點(diǎn)位誤差，這在測(cè)量工作中是一種常用的方法。5.1點(diǎn)位誤差概述當(dāng)前10頁(yè)，總共47頁(yè)。5.2點(diǎn)位誤差計(jì)算5.2.1點(diǎn)位方差因?yàn)榇c(diǎn)的x、y坐標(biāo)平差值的方差可表達(dá)為(5-6)就是該點(diǎn)最或然坐標(biāo)x和y的權(quán)倒數(shù)。(2)按條件平差時(shí)。當(dāng)三角網(wǎng)按條件平差時(shí)，因待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值是觀測(cè)值的函數(shù)，這時(shí)可根據(jù)第1章中的協(xié)因數(shù)傳播律來(lái)求待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值的協(xié)因數(shù)。當(dāng)前11頁(yè)，總共47頁(yè)。5.2.2任意方向的位差如圖5-3所示，設(shè)某任意方向與x軸夾角為為求待定點(diǎn)P在方向上的真位差需先找出與x、y方向上的真位差的函數(shù)關(guān)系P點(diǎn)在方向上的真位差，實(shí)際上就是P點(diǎn)的真位差在方向上的投影值由圖5-3可以看出的關(guān)系為當(dāng)前12頁(yè)，總共47頁(yè)。5-3、的關(guān)系根據(jù)廣義傳播律，得顧及式(5-6)，又得式(5-11)就是求任意方位方向上點(diǎn)位方差的基本公式5.2.2任意方向的位差當(dāng)前13頁(yè)，總共47頁(yè)。5.2.3位差的極大值、極小值與極值方向在式(5-11)中，對(duì)于某具體平差問(wèn)題和協(xié)因數(shù)Q為與角無(wú)關(guān)的定值，即是以為單一自變量的函數(shù)。因此，只要將對(duì)求導(dǎo)，并令其為零，即可求出取得極值時(shí)的方向也就是使即由此得(5-12)當(dāng)前14頁(yè)，總共47頁(yè)。5.2.3位差的極大值、極小值與極值方向根據(jù)式(5-12)可得兩個(gè)解極值方向?yàn)闉榕袛嗄囊粋€(gè)是極大值方向，哪一個(gè)是極小值方向，將代入式(5-11)，得上式中，括號(hào)內(nèi)前兩項(xiàng)恒為正值，因此，當(dāng)同號(hào)時(shí)，為極大值而為極小值；當(dāng)異號(hào)時(shí)，為極小值，而當(dāng)前15頁(yè)，總共47頁(yè)。為極大值。習(xí)慣上，用E表示極大值，F(xiàn)表示極小值，表示極大值方向，表示極小值方向。總是互差即將分別代入式(5-11)，得兩個(gè)位差極值的初步表達(dá)式為下面導(dǎo)出計(jì)算位差極值的常用公式。將代入式(5-11)，并考慮到5.2.3位差的極大值、極小值與極值方向當(dāng)前16頁(yè)，總共47頁(yè)。得顧及式(5-12)，則由三角學(xué)知?jiǎng)t5.2.3位差的極大值、極小值與極值方向當(dāng)前17頁(yè)，總共47頁(yè)。5.2.3位差的極大值、極小值與極值方向令則這就是求極值E、F

的常用公式。不難看出，與E、F

間存在以下關(guān)系，即(5-14)

(5-15)(5-16)當(dāng)前18頁(yè)，總共47頁(yè)。5.2.4用極值表示任意方向上的位差任意方向位差計(jì)算公式(5-11)中，方向是從x軸算起的，并且是通過(guò)協(xié)因數(shù)來(lái)計(jì)算位差。但既然已經(jīng)算得了極值和極值方位，那么很多時(shí)候，以極值方向作為起始方向并通過(guò)極值來(lái)上的位差計(jì)算公式，此處方向是以極大值E的方向?yàn)槠鹗驾S的即把xOy坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角后形成坐標(biāo)系，見(jiàn)圖5-4當(dāng)前19頁(yè)，總共47頁(yè)。圖5-4以E為起始軸時(shí)的角度關(guān)系5.2.4用極值表示任意方向上的位差當(dāng)前20頁(yè)，總共47頁(yè)。由圖5-4中可知，任意方向在兩個(gè)坐標(biāo)系中的方位角有以下關(guān)系，即把代入式(5-10)，得5.2.4用極值表示任意方向上的位差當(dāng)前21頁(yè)，總共47頁(yè)。顧及以及式(5-6)，有由式(5-12)知顯然，再顧及式(5-13)，則得再顧及式(5-13)，則得此即以極大值方向?yàn)槠鹗驾S，用E、F表示的任意方向上位差的實(shí)用公式

(5-17)5.2.4用極值表示任意方向上的位差當(dāng)前22頁(yè)，總共47頁(yè)。例5-1如圖5-5所示，在固定三角形內(nèi)插入一點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)平差后得P點(diǎn)坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣為(cm2/")單位權(quán)方差為=1.96"2。試求:(1)位差的極值方向(2)位差的極大值E、極小值F與P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差。(3)已算出PM方向的方位角求PM方向上的位差。5.2.4用極值表示任意方向上的位差當(dāng)前23頁(yè)，總共47頁(yè)。圖5-5三角形內(nèi)插一點(diǎn)解(1)由式(5-12)得則5.2.4用極值表示任意方向上的位差當(dāng)前24頁(yè)，總共47頁(yè)。(2)由式(5-14)和式(5-15)得所以5.2.4用極值表示任意方向上的位差當(dāng)前25頁(yè)，總共47頁(yè)。(3)將PM的方位角直接代入式(5-11)，得或者，因?yàn)樗詫、F和值代入式(5-17)同樣可得即5.2.4用極值表示任意方向上的位差當(dāng)前26頁(yè)，總共47頁(yè)。5.3誤差曲線應(yīng)該看到，點(diǎn)位中誤差雖然可以評(píng)定待定點(diǎn)的點(diǎn)位精度，但它卻不能全面反映該點(diǎn)在任意方向上的位差大小。即使上面提到的、、、、以及E、F、。等，也只是待定點(diǎn)在幾個(gè)特定方向上的位差。在工程控制測(cè)量中，除了計(jì)算待定點(diǎn)在某給定方向上的位差外，有時(shí)為了更清楚、直觀地了解某些待定點(diǎn)的位差在平面各方向上的分布情況，需要把待定點(diǎn)在各方向上的位差都圖解出來(lái)，以便分析研究其點(diǎn)位誤差特性，優(yōu)化測(cè)量方案。

當(dāng)前27頁(yè)，總共47頁(yè)。如果以不同的值代入式(5-17)，算出各個(gè)方向的值，則以和為極坐標(biāo)的點(diǎn)的軌跡必為一閉合曲線(圖5-6)，稱為誤差曲線，它把各方向的位差清楚地圖解了出來(lái)。很顯然，誤差曲線是關(guān)于極值方向(即軸、軸)對(duì)稱的，而且這條曲線在任意方向上的向徑就是點(diǎn)P在該方向的位差。5.3誤差曲線當(dāng)前28頁(yè)，總共47頁(yè)。5.3誤差曲線

圖5-6點(diǎn)的誤差曲線當(dāng)前29頁(yè)，總共47頁(yè)。5.3誤差曲線

利用誤差曲線圖不但可以得到坐標(biāo)平差值在各個(gè)方向上的位差，甚至可以得到坐標(biāo)平差值函數(shù)的中誤差。例如，圖5-7所示為控制網(wǎng)中P點(diǎn)的點(diǎn)位誤差曲線，A、B和C為已知點(diǎn)。在該圖中可以確定以下誤差信息：圖5-7特定方向方差的圖解當(dāng)前30頁(yè)，總共47頁(yè)。5.3誤差曲線

(1)待定點(diǎn)任意方向的位差。(5-18)(2)待定點(diǎn)P至任意已知三角點(diǎn)(視為無(wú)誤差)的邊長(zhǎng)中誤差。例如，PA邊SPA平差后的邊長(zhǎng)中誤差為

(5-19)當(dāng)前31頁(yè)，總共47頁(yè)。5.3誤差曲線

(3)待定點(diǎn)P至任意已知三角點(diǎn)的平差后方位角的中誤差。例如，欲求PA邊平差后方位角的中誤差，則可先在圖中量出垂直于PA方向上的位差，這就是PA邊的橫向位差，于是可求得

(5-20)式中，為常數(shù)206265″。當(dāng)前32頁(yè)，總共47頁(yè)。5.4誤差橢圓

誤差曲線不是一種典型曲線，作圖也不方便，因此降低了它的實(shí)用價(jià)值。但其形狀與以E、F為長(zhǎng)、短半軸的橢圓很相似，如圖5-8所示。而橢圓是一種規(guī)則圖形，作圖也比較容易，所以實(shí)際上常用以E、F為長(zhǎng)、短半軸的橢圓來(lái)代替誤差曲線，并稱為誤差橢圓。因此一般情況下，總是先求出待定點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓，再通過(guò)誤差橢圓求得待定點(diǎn)在任意方向上的誤差，起到與誤差曲線同樣的作用，方便而又全面地反映點(diǎn)位誤差在各個(gè)方向上的分布情況。如圖5-8所示，在以為軸的坐標(biāo)系中，誤差橢圓的方程為

(5-21)當(dāng)前33頁(yè)，總共47頁(yè)。5.4誤差橢圓

圖5-8誤差曲線與誤差橢圓當(dāng)前34頁(yè)，總共47頁(yè)。5.4誤差橢圓

可見(jiàn)，在平面上確定誤差橢圓的參數(shù)為、E、F。有了這3個(gè)參數(shù)，便可以在控制網(wǎng)圖上繪制出待定點(diǎn)的誤差橢圓。為了更清晰地表達(dá)誤差大小，具體繪制時(shí)，對(duì)誤差橢圓要使用和控制網(wǎng)圖形不同的更大的比例尺進(jìn)行夸張顯示。為了說(shuō)明如何在誤差橢圓上圖解誤差信息而達(dá)到在誤差曲線上一樣的效果，就必須討論誤差橢圓與誤差曲線之間的圖解關(guān)系：對(duì)于與軸夾角為的某個(gè)方向，過(guò)橢圓上適當(dāng)一點(diǎn)T(

)作切線TQ與其垂直，相交于垂足D點(diǎn)。那么，線段的長(zhǎng)度就一定是誤差曲線上方向的位差。下面就來(lái)證明。當(dāng)前35頁(yè)，總共47頁(yè)。5.4誤差橢圓

由圖5-8可知將上式平方，得

(5-22)設(shè)過(guò)橢圓上點(diǎn)T的切線的斜率為K，由式(5-21)得又知切線TD與直線OD垂直，則切線斜率又應(yīng)為則有即當(dāng)前36頁(yè)，總共47頁(yè)。5.4誤差橢圓

將上式平方并兩端同乘以E2F2，并移項(xiàng)得將上式代入式(5-22)，有因T(

)是橢圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程則將式(5-23)與式(5-17)對(duì)比，可知當(dāng)前37頁(yè)，總共47頁(yè)。5.4誤差橢圓

以上的證明也間接說(shuō)明了如何利用誤差橢圓求某點(diǎn)在任意方向上的位差的方法。即在求時(shí)，只要作橢圓的切線與方向垂直，則垂足與原點(diǎn)的連線長(zhǎng)度就是方向上的位差。在以上討論中，都是以一個(gè)待定點(diǎn)為例。如果網(wǎng)中有多個(gè)待定點(diǎn)，可以利用上述方法，依次為每一個(gè)待定點(diǎn)確定一個(gè)誤差橢圓并求解誤差信息。當(dāng)前38頁(yè)，總共47頁(yè)。5.5相對(duì)誤差橢圓

在平面控制網(wǎng)中，有時(shí)不僅需要了解待定點(diǎn)相對(duì)于起始點(diǎn)的精度，還要研究任意兩個(gè)待定點(diǎn)之間相對(duì)位置的精度。前面討論了利用點(diǎn)位誤差橢圓求解某些量的中誤差的方法，但卻不能確定待定點(diǎn)與待定點(diǎn)之間的某些精度指標(biāo)，因?yàn)檫@些待定點(diǎn)間的坐標(biāo)是相關(guān)的。為了直觀展示兩個(gè)待定點(diǎn)之間的相對(duì)精度，就需要進(jìn)一步作出兩待定點(diǎn)之間的相對(duì)誤差橢圓。設(shè)有兩個(gè)待定點(diǎn)為Pi和Pk，其坐標(biāo)平差值的協(xié)因數(shù)陣為當(dāng)前39頁(yè)，總共47頁(yè)。5.5相對(duì)誤差橢圓

兩待定點(diǎn)平差后的相對(duì)位置可通過(guò)坐標(biāo)差來(lái)表示，即其矩陣表達(dá)式為

(5-24)根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律，得

(5-25)利用這些協(xié)因數(shù)，根據(jù)式(5-12)和式(5-14)、式(5-15)，就可得到計(jì)算Pi和Pk點(diǎn)間相對(duì)誤差橢圓元素的3個(gè)公式，即(5-26)當(dāng)前40頁(yè)，總共47頁(yè)。5.5相對(duì)誤差橢圓

在計(jì)算出相對(duì)誤差橢圓元素以后，便可用繪制誤差橢圓的方法畫(huà)出相對(duì)誤差橢圓。只是誤差橢圓是以待定點(diǎn)為中心繪制的，而相對(duì)誤差橢圓則通常以兩待定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為中心繪制。根據(jù)相對(duì)誤差橢圓便可圖解出所需要的任意方向上的相對(duì)位差大小。例5-2

如圖5-9所示的測(cè)角網(wǎng)中，已知點(diǎn)為A、B、C，其坐標(biāo)分別為A(14899.84m，130.81m)、B(22939.70m，2136.89m)、C(51721.82m，15542.85m)；待定點(diǎn)為P1、P2，平差后坐標(biāo)分別為P1(16467.745m，4986.847m)、P2(6126.997m，5957.482m)；單位權(quán)中誤差為；未知數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為當(dāng)前41頁(yè)，總共47頁(yè)。5.5相對(duì)誤差橢圓

試作出P1、P2點(diǎn)間的相對(duì)誤差橢圓。圖5-9測(cè)角網(wǎng)示意圖當(dāng)前42頁(yè)，總共47頁(yè)。5.5相對(duì)誤差橢圓

解由式(5-25)和式(5-26)得當(dāng)前43頁(yè)，總共47頁(yè)。5.5相對(duì)誤差橢圓

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，即可以適當(dāng)?shù)谋壤?，在兩待定點(diǎn)連線的中點(diǎn)上繪相對(duì)誤差橢圓(圖5-10中P1、P2點(diǎn)連線的中間)。圖5-10

誤差橢圓與相對(duì)誤差橢圓當(dāng)前44頁(yè)，總共47頁(yè)。5.5相對(duì)誤差橢圓

有了P1、P2點(diǎn)的相對(duì)誤差橢圓