飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)

——電子教學(xué)教案航空結(jié)構(gòu)工程系第三章靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第三講靜定結(jié)構(gòu)的位移計算一、結(jié)構(gòu)位移計算概述結(jié)構(gòu)在外界因素（諸如載荷、溫度改變、支座移動、制造誤差等）作用下幾何形狀發(fā)生的變化，稱為結(jié)構(gòu)變形。1、結(jié)構(gòu)的變形結(jié)構(gòu)變形可通過不同的結(jié)構(gòu)位移形式來表征，并通過計算位移值來定量描述。計算結(jié)構(gòu)的位移是結(jié)構(gòu)設(shè)計中的一項非常重要的內(nèi)容，一方面為研究結(jié)構(gòu)的剛度提供數(shù)據(jù)，另一方面為靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算奠定基礎(chǔ)。實質(zhì)：分析結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系的變化。3、計算結(jié)構(gòu)位移的目的二、回顧：外力功和變形能2.1應(yīng)變能和余應(yīng)變能對于圖(a)的桿件為完全彈性體，其橫截面積為A，長度為L。在載荷P作用下桿件的軸向力N由零逐漸增加到最終值P，桿件的變形也由零逐漸增加到Δ。力與變形之間的關(guān)系按圖(b)曲線變化。這時外力所作的功W等于

按照能量守恒原理，外載荷所作的功就以能量的形式貯存于桿件中。彈性體變形后具有的作功能力，稱為變形能或應(yīng)變能，用U表示應(yīng)變能。

二、回顧：外力功和變形能2.1應(yīng)變能和余應(yīng)變能對于完全彈性體，顯然應(yīng)變能就等于外力所作的功，即圖示桿件的應(yīng)變能為式中稱為應(yīng)變能密度(單位體積的應(yīng)變能)。圖(b)中曲線下面的那部分面積就代表了外力所作的功W或應(yīng)變能U的大小。二、回顧：外力功和變形能2.1應(yīng)變能和余應(yīng)變能外力余功W*或余應(yīng)變能U*并無任何物理意義，純粹是為了使用上的方便而定義的一個數(shù)學(xué)量而已。但可以證明，余應(yīng)變能同樣服從工程結(jié)構(gòu)中的能量守恒原理，因而，通過它所建立的一種能量方法同樣可用于實際結(jié)構(gòu)分析。在線彈性情況下，載荷-位移曲線退化為直線，應(yīng)變能U與余應(yīng)變能U*相等，從而應(yīng)變能和余應(yīng)變能可以互換。二、回顧：外力功和變形能2.1應(yīng)變能和余應(yīng)變能將應(yīng)變能U和余應(yīng)變能U*

分別對Δ和P微分，可得到分別表示應(yīng)變能對位移的一階導(dǎo)數(shù)等于外力，而余應(yīng)變能對外力的一階導(dǎo)數(shù)等于位移，可適用于線彈性或非線彈性情況。在線彈性情況下，著名的卡氏第二定理,只適用于線彈性情況。二、回顧：外力功和變形能2.2線彈性結(jié)構(gòu)元件的應(yīng)變能和余應(yīng)變能的表達(dá)式等軸力桿等彎矩梁等扭轉(zhuǎn)桿三、廣義力與廣義位移上述三種作用力及對應(yīng)的三種變形均不相同，但它們有共同點(diǎn)，就是都能使物體發(fā)生變形，從而對物體作了功，所作之實功均等于系數(shù)“1/2”乘“力”乘“位移”。若把這三種不同型式的“力”均稱為廣義力，與此廣義力相對應(yīng)的位移稱為廣義位移的話，則廣義力所作的功可表達(dá)為（廣義力）（廣義位移）

廣義力與廣義位移的定義：一般而論，任何一個力或一組相互有關(guān)且又彼此獨(dú)立的力系，如果可以用一個代數(shù)量來表示它，則稱它為一個廣義力，與此廣義力相對應(yīng)的位移稱為廣義位移。廣義力與相應(yīng)的廣義位移乘積的一半等于該廣義力所作的功。三、廣義力與廣義位移如果桿件同時承受有集中力、彎矩、扭矩作用，則廣義外力與廣義位移分別為于是，廣義力所作的功等于一般地：（非線性）（線性）三、廣義力與廣義位移一些典型結(jié)構(gòu)元件的廣義力和廣義位移：等軸力桿：等彎曲桿：等扭轉(zhuǎn)桿：等剪力桿：研究彈性體力學(xué)問題的兩種能量方法當(dāng)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)發(fā)生微小變化時，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量有什么變化？當(dāng)平衡的力狀態(tài)發(fā)生微小變化時，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量有什么變化？虛位移原理虛力原理統(tǒng)稱為：虛功原理重要定義1虛位移——一種假想的、滿足位移約束條件的、任意的、微小的連續(xù)位移。假象的：是指虛位移僅僅是想象中發(fā)生但實際并不一定發(fā)生的一種可能位移。滿足位移約束的：是指虛位移應(yīng)當(dāng)滿足變形體的變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。任意的：是指虛位移與變形體是否受力無關(guān)。微小的：是指虛位移并不影響變形體的幾何關(guān)系，即不影響力的平衡關(guān)系。因此，在發(fā)生虛位移的過程中，外力與內(nèi)力均保持不變，即保持原有的平衡狀態(tài)。虛位移的例子位移邊界條件為：w為梁的真實撓度曲線。幾種虛位移的形式：變形體的真實位移是否可作為虛位移呢？完全可以虛功的例子真實外力虛位移虛功為：重要定義3虛力——一種假想的、滿足平衡條件的任意力系。假象的：是指虛力僅僅是想象中一種可能力系。滿足平衡條件的：是指虛力應(yīng)當(dāng)滿足力的平衡方程（內(nèi)部）和力的邊界條件（外部）。任意的：是指虛力與變形體的變形無關(guān)。因此，在發(fā)生虛力的過程中，變形體的位移均保持不變，即保持原有的協(xié)調(diào)狀態(tài)。虛力的例子真實受力和變形狀態(tài)：虛力狀態(tài)1：雖然力狀態(tài)是平衡的，但力狀態(tài)與實際變形無關(guān)系。不是真實的受力狀態(tài)，而僅是滿足平衡條件的力狀態(tài)。重要定義4余虛功——虛力在真實位移上所作的功，或虛廣義力在與其無關(guān)的廣義位移上所作的功。因為，在發(fā)生虛力的過程中，位移保持不變，在余虛功的表達(dá)式中也無系數(shù)“1/2”。為了與余功W*區(qū)別，記余虛功為δW*，虛力δP，則余虛功為余虛功的例子余虛功為：真實位移虛力2、虛功原理2.2剛體(或剛體系)的虛位移原理一剛體(系)處于平衡的充分必要條件是

：對于任何可能的虛位移(剛體虛位移)，作用于剛體(系)的所有外力所做虛功之和為零。對于一剛體(系)，去掉約束而代之以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。-FPΔP+FB

ΔB=0假設(shè)一種剛體虛位移，則有相當(dāng)于∑MA=02、虛功原理2.4彈性系統(tǒng)的虛位移原理平衡的力狀態(tài)協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài)彈性系統(tǒng)在外力作用下處于平衡狀態(tài)，對任意的虛位移，系統(tǒng)中所有外力在虛位移上所作的虛功總和等于所有內(nèi)力在虛位移上所作的虛功總和。外力虛功內(nèi)力虛功符號標(biāo)記：Si、Vi分別表示在真實外力作用下，彈性體內(nèi)部第i個元件的內(nèi)力和位移；δSi表示第i個元件的虛內(nèi)力；δVi

表示第i個元件的虛位移。2、虛功原理協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)平衡的虛力狀態(tài)彈性系統(tǒng)在外力作用下處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)，對任意的虛力狀態(tài),系統(tǒng)中所有虛外力在位移上所作的余虛功總和等于所有虛內(nèi)力在位移上所作的虛余功總和。2.4彈性系統(tǒng)的虛力原理外力余虛功內(nèi)力余虛功待分析平衡的力狀態(tài)3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應(yīng)用關(guān)于虛位移原理【例1】建立圖示桁架1點(diǎn)的平衡方程。解：（1）設(shè)三根桿的內(nèi)力分別為N1、N2、N3，在1點(diǎn)處與外載荷應(yīng)滿足平衡條件。N1N2N3（2）假設(shè)1處的水平位移為δu，垂直位移為δv。根據(jù)桁架的幾何參數(shù)，可以得出各桿與結(jié)點(diǎn)1的位移相協(xié)調(diào)的變形，如表所示。

桿號桿長伸長量1-2桿：1-3桿：1-4桿：協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài)【例1】建立圖示桁架1點(diǎn)的平衡方程。解：（3）外力虛功、內(nèi)力虛功分別為N1N2N3（4）根據(jù)虛位移原理，，有由于虛位移δu、δv為任意值，有1點(diǎn)的X向平衡方程1點(diǎn)的Y向平衡方程出導(dǎo)3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應(yīng)用待分析的平衡系統(tǒng)的力狀態(tài)虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)關(guān)于虛位移原理實際受力狀態(tài)的平衡方程實質(zhì)：用幾何法解靜力平衡問題。待分析協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)關(guān)于虛力原理【例2】圖示桁架在外力作用下處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)。已知桿子12、13、14的伸長量分別為ΔL12、ΔL13、ΔL14，求1點(diǎn)的水平位移u和垂直位移v。解：（1）內(nèi)位移ΔL12、ΔL13

和ΔL14，與1點(diǎn)的水平位移u和垂直位移v應(yīng)滿足協(xié)調(diào)條件。（2）假設(shè)1點(diǎn)處的水平力為δPx，垂直力為δPy。根據(jù)虛力的定義，可以求與虛外力平衡的一種內(nèi)力狀態(tài)，如圖所示。

滿足平衡條件的虛力狀態(tài)0【例2】解：（3）外力余虛功、內(nèi)力余虛功分別為（4）根據(jù)虛位移原理，，有由于虛力δPx、δPy為任意值，有1點(diǎn)的X向幾何方程1點(diǎn)的Y向幾何方程出導(dǎo)3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應(yīng)用待分析的協(xié)調(diào)系統(tǒng)的位移狀態(tài)虛設(shè)的平衡力狀態(tài)關(guān)于虛力原理實際變形狀態(tài)的幾何(協(xié)調(diào))方程實質(zhì)：用靜力平衡法解幾何問題。虛力原理對求解靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力具有重要的應(yīng)用。五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達(dá)式利用虛功原理(虛力原理)，可以求出變形結(jié)構(gòu)中任意一點(diǎn)由于變形而產(chǎn)生的位移。真實的位移狀態(tài)平衡的虛力狀態(tài)令

，則有虛功原理五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達(dá)式式中：即為所求m點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)位移值；

表示外力作用下結(jié)構(gòu)元件i的真實位移；

表示單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力。這就是單位載荷法(Dummy-UnitLoadMethod)，它是Maxwell(1864)和Mohr(1874)提出的，故也稱為Maxwell-MohrMethod。上式可寫成：五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達(dá)式如何求？：外力作用下第i個結(jié)構(gòu)元件的廣義力；：第i個結(jié)構(gòu)元件的剛度系數(shù)桁架：剛架：等五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達(dá)式根據(jù)不同類型元件的廣義力與廣義位移，可得到不同類型結(jié)構(gòu)的位移計算公式。平面或空間桁架平面剛架截面形狀系數(shù)。如：（1）對矩形截面k=6/5；（2）對圓形截面k=10/9。軸力彎矩剪力五、單位載荷法－求位移的Mohr公式2、用單位載荷法求結(jié)構(gòu)位移的一般步驟求在外載荷作用下的結(jié)構(gòu)真實內(nèi)力；施加與所求位移相對應(yīng)的單位廣義力，并求在單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力；代入單位載荷法的一般表達(dá)式中，求廣義位移；若，表示所求位移的方向與單位力方向相同；，表示所求位移的方向與單位力方向相反。著重指出：單位力的位置、類型和方位必須與所求位移相對應(yīng)。施加單位廣義力的原則：單位廣義力×位移＝所求位移值如何施加與所求位移對應(yīng)的單位廣義力求5點(diǎn)的豎向位移1求1點(diǎn)和6點(diǎn)的水平相對位移11如何施加與所求位移對應(yīng)的單位廣義力求1－5桿的轉(zhuǎn)角求1點(diǎn)和6點(diǎn)在1、6連線上的相對位移11如何施加與所求位移對應(yīng)的單位廣義力求1－5桿、3－6桿的相對轉(zhuǎn)角如何施加與所求位移對應(yīng)的單位廣義力求A點(diǎn)的豎向位移1求A截面的轉(zhuǎn)角1如何施加與所求位移對應(yīng)的單位廣義力求A、B兩點(diǎn)的豎向相對位移1求A、B兩截面的相對轉(zhuǎn)角111例1：求桁架4點(diǎn)的豎向位移Δ4V，設(shè)各桿EA均相同。解：1、幾何特性分析該桁架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。3、為求4點(diǎn)的豎向位移，在4點(diǎn)豎向方向上施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即求。4、由單位載荷法求Δ4V2、求桁架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。例1：求桁架4點(diǎn)的豎向位移Δ4V，設(shè)各桿EA均相同。Δ4V>0，與單位力的方向一致。例2：求剛架A點(diǎn)的豎向位移ΔAV。設(shè)E、J、G、A均相同。解：1、幾何特性分析該剛架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、求剛架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。例2：求剛架A點(diǎn)的豎向位移ΔAV。設(shè)E、J、G、A均相同。3、為求A點(diǎn)的豎向位移，在A點(diǎn)豎向方向上施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即求。例2：求剛架A點(diǎn)的豎向位移ΔAV。設(shè)E、J、G、A均相同。4、由單位載荷法求ΔAV。彎曲軸向剪切對于細(xì)長桿件，相比彎矩來說，軸力和剪力對變形的影響很小,可略去軸力項和剪力項的影響，只計及彎矩項。例3：求半徑為R的半園環(huán)A點(diǎn)的位移ΔA。設(shè)抗彎剛度為EJ。解：1、幾何特性分析該剛架為靜定的。2、求剛架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。外側(cè)受壓例3：求半徑為R的半園環(huán)A點(diǎn)的位移ΔA。設(shè)抗彎剛度為EJ。3、為求A點(diǎn)的位移，在A點(diǎn)豎向和水平方向上分別施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即求。內(nèi)側(cè)受壓外側(cè)受壓例3：求半徑為R的半園環(huán)A點(diǎn)的位移ΔA。設(shè)抗彎剛度為EJ。4、由單位載荷法，分別求Δ

AV、ΔAH

。由此計算得到A點(diǎn)的位移ΔA為1、概述六、圖乘法及其應(yīng)用——積分的計算在用單位載荷法計算結(jié)構(gòu)位移時，經(jīng)常遇到類似形式的積分。其中、都是積分變量的函數(shù)，并且或兩者之一是線性變化的。在這種情形下，可以導(dǎo)出一種較為簡便的計算方法，稱為圖形互乘法。2、圖乘法的公式推導(dǎo)六、圖乘法及其應(yīng)用——積分的計算設(shè)在區(qū)間上定義兩個函數(shù)和，其中是的線性函數(shù)，求積分的值。延長至o點(diǎn)，建立oy軸，有N1的圖形對y軸的靜矩圖乘法是維利沙金(Vereshagi