PAGEPAGE10/10量子力學(xué)試題集量子力學(xué)期末試題及答案（A）選擇題(每題3分共36分）黑體輻射中的紫外災(zāi)難表明:C黑體在紫外線部分輻射無(wú)限大的能量；黑體在紫外線部分不輻射能量；C。經(jīng)典電磁場(chǎng)理論不適用于黑體輻射公式;D。黑體輻射在紫外線部分才適用于經(jīng)典電磁場(chǎng)理論。2．關(guān)于波函數(shù)Ψ的含義,正確的是：BAΨ代表微觀粒子的幾率密度；B。Ψ歸一化后，代表微觀粒子出現(xiàn)的幾率密度；C。Ψ一定是實(shí)數(shù)；D.Ψ一定不連續(xù)。3．對(duì)于偏振光通過(guò)偏振片，量子論的解釋是：DA。偏振光子的一部分通過(guò)偏振片；B。偏振光子先改變偏振方向，再通過(guò)偏振片；C.偏振光子通過(guò)偏振片的幾率是不可知的；D.每個(gè)光子以一定的幾率通過(guò)偏振片。4．對(duì)于一維的薛定諤方程,如果Ψ是該方程的一個(gè)解，則。一定也是該方程的一個(gè)解；一定不是該方程的解；Ψ與一定等價(jià)；無(wú)任何結(jié)論。對(duì)于一維方勢(shì)壘的穿透問(wèn)題,關(guān)于粒子的運(yùn)動(dòng),。粒子在勢(shì)壘中有確定的軌跡；B.粒子在勢(shì)壘中有負(fù)的動(dòng)能；C.D粒子不能穿過(guò)勢(shì)壘。如果以表示角動(dòng)量算符,ihB。ihC.iD。h=A。一定不是的本征態(tài)；B.一定是的本征態(tài)；C。一定是的本征態(tài);D。∣Ψ∣一定是的本征態(tài)。如果一個(gè)力學(xué)量與對(duì)易，則意味著：CA。一定處于其本征態(tài)；B.一定不處于本征態(tài)；C。一定守恒；D。其本征值出現(xiàn)的幾率會(huì)變化。9．與空間平移對(duì)稱性相對(duì)應(yīng)的是：BA。能量守恒；B。動(dòng)量守恒；C。角動(dòng)量守恒;D。宇稱守恒。n=2-3。4ev，則n=5能級(jí)能量為：DA.-1。51ev;B?！?。85ev；C。-0。378ev；D。—0。,l=N—2n下，簡(jiǎn)并度為：B；B。；C。N(N+1);（N+1（n+2)12。自旋單態(tài);C。自旋三態(tài)；D.本征值為1。二填空題（每題4分共24分）n=5n=4能級(jí)時(shí),發(fā)出的光子能量為：———————-———，光的波長(zhǎng)為--—-—-——————.如果已知初始三維波函數(shù)=—--———————-，任意時(shí)刻的波函數(shù)為-——————-—-——。在一維勢(shì)阱（或勢(shì)壘）x=x點(diǎn)波函數(shù)—-————-—（連續(xù)或不連續(xù)),它的導(dǎo)數(shù)-————————-——（連續(xù)或不連續(xù)）.如果選用的函數(shù)空間基矢為，則某波函數(shù)處于態(tài)的幾率用Dirac符號(hào)表示為—--——-————,某算符在態(tài)中的平均值的表示為—--—-——--—。5．在量子力學(xué)中，波函數(shù)在算符操作下具有對(duì)稱性，含義是————-—-——-——-——--——-——-,與對(duì)應(yīng)的守恒量一定是--——-——--—算符。6．金屬鈉光譜的雙線結(jié)構(gòu)是— ———--——-———-———，產(chǎn)生的原因是—-——-—-—-————--—-——-。三計(jì)算題（40分）1．設(shè)粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中,該勢(shì)阱為：V(x）=0，當(dāng)0≤x≤a，V（x）=∞,當(dāng)x〈0或x〉0,求粒子的能量和波函數(shù).（10)2．設(shè)一維粒子的初態(tài)為，求.（10分3．計(jì)算表象變換到表象的變換矩陣。（10分）4。4個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)單態(tài)，,,把所有滿足對(duì)稱性要求的態(tài)寫出來(lái)。(10分）B卷（25分)1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點(diǎn)?(4分）2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡(jiǎn)并態(tài)和偶宇稱態(tài)？（6分）3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？并寫出兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、在一維情況下，求宇稱算符和坐標(biāo)的共同本征函數(shù)。（6分）5、簡(jiǎn)述測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的主要內(nèi)容,并寫出時(shí)間和能量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。(5分（15分）已知厄密算符，滿足，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示;2、在A表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3ABS（15分）線性諧振子在時(shí)處于狀態(tài),其中，求1、在時(shí)體系能量的取值幾率和平均值.2（15分)當(dāng)為一小量時(shí)，利用微擾論求矩陣的本征值至的二次項(xiàng),本征矢至的一次項(xiàng).(10分).問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)?它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成?一、1、厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)，本征矢是正交、歸一和完備的.2、在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零的狀態(tài)為束縛態(tài)；簡(jiǎn)并態(tài)是指一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)以上本征函數(shù)的情況;將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號(hào),若得到的新函數(shù)與原來(lái)的波函數(shù)相同,則稱該波函數(shù)具有偶宇稱。3、全同玻色子的波函數(shù)是對(duì)稱波函數(shù)。兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為:4、宇稱算符和坐標(biāo)的對(duì)易關(guān)系是:，將其代入測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系知，只有當(dāng)時(shí)的狀態(tài)才可能使和同時(shí)具有確定值，由知,波函數(shù)滿足上述要求,所以是算符和的共同本征函數(shù)。5、設(shè)和的對(duì)易關(guān)系，是一個(gè)算符或普通的數(shù)。以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令,，則有，這個(gè)關(guān)系式稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系.時(shí)間和能量之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為：二、1、由于,所以算符的本征值是，因?yàn)樵贏表象中,算符的矩陣是對(duì)角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是:A表象中算符的矩陣是，利用得:令,（為任意實(shí)常數(shù)）A表象中的矩陣表示式為:2、在A表象中算符的本征方程為：即 和不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零,對(duì)有，對(duì)有:所以,在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3ABA三、解：1、的情況：已知線諧振子的能量本征解為：，于是時(shí)的波函數(shù)可寫成:，容易驗(yàn)證它是歸一化的波函數(shù)，于是時(shí)的能量取值幾率為:能量的平均值為：2、時(shí)體系波函數(shù)顯然，哈密頓量為守恒量,它的取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變,故時(shí)體系能量的取值幾率和平均值與的結(jié)果完全相同.四、解：將矩陣改寫成:能量的零級(jí)近似為:，，,1、23，,利用波函數(shù)的一級(jí)修正公式，可求出波函數(shù)的一級(jí)修正為:，,近似到一級(jí)的波函數(shù)為:,，,體系可能的狀態(tài)有以下四個(gè):（1）;（2）（3);（4）（20分）已知?dú)湓釉跁r(shí)處于狀態(tài)其中為該氫原子的第個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋分量的取值概率與平均值解已知?dú)湓拥谋菊髦禐閷r(shí)的波函數(shù)寫成矩陣形式利用歸一化條件于是,歸一化后的波函數(shù)為能量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為能量平均值為自旋分量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為自旋分量的平均值為時(shí)的波函數(shù)二。(20分）質(zhì)量為的粒子在如下一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)

, （1）（2）(3）(4）（6）（7)（8)（9）解對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為其中，利用波函數(shù)再處的連接條件知，,.在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件

（1）(2）（3）得到于是有此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于

(6)

（4）(5)故最后得到勢(shì)阱的寬度（20分）（1）任意角動(dòng)量算符滿足.證明對(duì)分量有

（8）

（7)同理可知,對(duì)與分量亦有相應(yīng)的結(jié)果，故欲證之式成立。投影算符是一個(gè)厄米算符證明在任意的兩個(gè)狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為而投影算符的共軛算符的矩陣元為顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符.利用證明,其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系.證明四（20分) 在與表象中，在軌道角動(dòng)量量子數(shù)的子空間中分別計(jì)算算符、與的矩陣元進(jìn)而求它們的本征值與相應(yīng)的本征矢.解,算符、與皆為三維矩陣相應(yīng)的本征解為對(duì)于算符、而言,需要用到升降算符，即而當(dāng)時(shí)，顯然，算符、的對(duì)角元皆為零，并且，

(1)（2）（3）（4）只有當(dāng)量子數(shù)相差時(shí)矩陣元才不為零,即于是得到算符、的矩陣形式如下滿足的本征方程為相應(yīng)的久期方程為將其化為得到三個(gè)本征值分別為將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為滿足的本征方程為相應(yīng)的久期方程為將其化為得到三個(gè)本征值分別為將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為

（5）(6）(7）(8）（9）（10）（11)（12）（13）（14）（15）(16)（17）五（20分) 由兩個(gè)質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體系，加上微擾項(xiàng)（分別為兩個(gè)線振子的坐標(biāo)后用微擾論求體系基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。提示：線諧振子基底之下坐標(biāo)算符的矩陣元為式中，。解體系的哈密頓算符為其中已知的解為其中

（1)（2）（3）（4)將前三個(gè)能量與波函數(shù)具體寫出來(lái)對(duì)于基態(tài)而言,，,體系無(wú)簡(jiǎn)并。利用公式

（5）可知顯然，求和號(hào)中不為零的矩陣元只有于是得到基態(tài)能量的二級(jí)修正為第二激發(fā)態(tài)為三度簡(jiǎn)并，能量一級(jí)修正滿足的久期方程為其中將上式代入（10）式得到整理之,滿足于是得到第二激發(fā)態(tài)能量的一級(jí)修正為

(6）(7）（8）（9）(10）（12)（13）(14)微觀粒子具有波粒 二象性。德布羅意關(guān)系是粒子能量動(dòng)量P與頻波之間的關(guān)系其表達(dá)式為： E=，p=.根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，的物理意義為:x—dx量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米 算符表示.坐標(biāo)的分量算符和動(dòng)量的分量算符的對(duì)易關(guān)系為:。量子力學(xué)關(guān)于測(cè)量的假設(shè)認(rèn)為：當(dāng)體系處于波函（x）所描寫的狀態(tài),測(cè)量某力學(xué)量F所得的值，必定是算符的本征值 。定態(tài)波函數(shù)的形式為：。一個(gè)力學(xué)量為守恒量的條件是：不顯含時(shí)間，且與哈密頓算符對(duì)易 .根據(jù)全同性原理,_反對(duì)稱的 ，玻色子體系的波函數(shù)_對(duì)稱的 _。每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值為： 。1、(10分)利用坐標(biāo)和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系,證明軌道角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系:證明：2（10分）Schr?dinger證明幾率守恒：其中幾率密度幾率流密度證明：考慮Schr?dinger方程及其共軛式:在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：1（10分）設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量E、角動(dòng)量平方L2、角動(dòng)量Z分量LZ的可能值及這些可能值出現(xiàn)的幾率.解:在此狀態(tài)中，氫原子能量有確定值，幾率為1角動(dòng)量平方有確定值為角動(dòng)量Z分量的可能值為其相應(yīng)的幾率分別為

,幾率為1，2、(10分）求角動(dòng)量z分量 的本征值和本征函解：波函數(shù)單值條件,要求當(dāng)φ轉(zhuǎn)過(guò)2π角回到原位時(shí)波函數(shù)值相等,即：求歸一化系數(shù)最后，得Lz

的本征函數(shù)3、(20分）某量子體系Hamilton量的矩陣形式為:設(shè)c〈<1,應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似。解：c<<1，可取0級(jí)和微擾Hamilton量分別為：H是對(duì)角矩陣,是HamiltonH在自身表象中的形式.所以能量的0級(jí)近似為：0 0E1(0)=1E2（0）=3E3（0)=-2由非簡(jiǎn)并微擾公式得能量一級(jí)修正：能量二級(jí)修正為：二級(jí)近似下能量本征值為：量子力學(xué)期末試題及答案（B)一、填空題：1、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃怠⑦B續(xù)性、有限性.2、｜Ψ（r，t)|^2的物理意義：t時(shí)刻粒子出現(xiàn)在r處的概率密度。3、一個(gè)量的本征值對(duì)應(yīng)多個(gè)本征態(tài)，這樣的態(tài)稱為簡(jiǎn)并.4、兩個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符對(duì)易，它們具有共同的確定值。二、簡(jiǎn)答題：1、簡(jiǎn)述力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符必須是線性厄米的。答：力學(xué)量的觀測(cè)值應(yīng)為實(shí)數(shù),力學(xué)量在任何狀態(tài)下的觀測(cè)值就是在該狀態(tài)下的平均中,能和可觀測(cè)的力學(xué)量相對(duì)應(yīng)的算符必然是線性厄米算符。2、一個(gè)量子態(tài)分為本征態(tài)和非本征態(tài),這種說(shuō)法確切嗎?答:不確切。針對(duì)某個(gè)特定的力學(xué)量，對(duì)應(yīng)算符為A，它的本征態(tài)對(duì)另一個(gè)力學(xué)量(對(duì)應(yīng)算符為B)就不是它的本征態(tài),它們有各自的本征值，只有兩個(gè)算符彼此對(duì)易,它們才有共同的本征態(tài).3、輻射譜線的位置和譜線的強(qiáng)度各決定于什么因素？答:.三、證明題。2、證明概率流密度J不顯含時(shí)間。四、計(jì)算題。1、第二題: 如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為、電荷均勻分布的小球計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正。解:這種分布只對(duì)的區(qū)域有影響，對(duì)的區(qū)域無(wú)影響。據(jù)題意知其中是不考慮這種效應(yīng)的勢(shì)能分布,即為考慮這種效應(yīng)后的勢(shì)能分布,在區(qū)域,在區(qū)域，可由下式得出，由于很小，所以，可視為一種微擾，由它引起一級(jí)修正為（基態(tài)）∵，故?！嗟谌}其相應(yīng)的久期方程:即：由歸一化條件得：量子力學(xué)期末試題及答案（C)一、填空題1、黑體輻射揭示了經(jīng)典物理學(xué)的局限性。2、索末非提出的廣義量子化條件是3、一粒子有波函數(shù)由描寫，則=4、粒子在勢(shì)場(chǎng)U(r）中運(yùn)動(dòng)，則粒子的哈密頓算符為5、量子力學(xué)中，態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。6、氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)中，對(duì)于n=2的能級(jí)由原來(lái)的一個(gè)能級(jí)分裂為３個(gè)子能級(jí)。7、1925年，烏論貝克（Uhlenbeck）和歌德斯密脫（Goudsmit）提出每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S，它在任何方向的投影只能取兩個(gè)數(shù)值，即8、Pauli算符的反對(duì)易關(guān)系式是9、如果全同粒子體系的波函數(shù)是反對(duì)稱的，則組成該體系的全同粒子一定是費(fèi)米子10、在兩個(gè)電子的對(duì)稱自旋態(tài)中，的本征值是二、選擇題A6、么正矩陣S的定義是為（Ａ）ABC D7,的條件是（Ｂ)A與時(shí)間無(wú)關(guān)，與時(shí)間無(wú)關(guān) B與時(shí)間無(wú)關(guān)，與時(shí)間有關(guān)C與時(shí)間有關(guān)與時(shí)間有關(guān) D與時(shí)間有與時(shí)間無(wú)關(guān)8、自旋量子數(shù)S的值為（）A 1/4 B 3/4C /2 D 1/2B 19、Pauli算符的x分量的平方的本征值為（Ｂ)B 1A 0C i D 2i10、電子自旋角動(dòng)量