PAGEPAGE1變量間的相關關系、統(tǒng)計案例[考試要求]1.會做兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.4.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應用．1．兩個變量的線性相關(1)正相關在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關．(2)負相關在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關．(3)線性相關關系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．2．回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回歸方程：方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))\o()xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))\o()xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))\o()xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))\o()x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))3．回歸分析(1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))稱為樣本點的中心，即回歸直線經過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．(3)相關系數(shù)當r＞0時，表明兩個變量正相關；當r＜0時，表明兩個變量負相關．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性．4．獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d構造一個隨機變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．eq\a\vs4\al([常用結論])1．回歸直線必過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．2．當兩個變量的相關系數(shù)|r|＝1時，兩個變量呈函數(shù)關系．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系．()(2)通過回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可以估計預報變量的取值和變化趨勢．()(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．()(4)事件X，Y關系越密切，則由觀測數(shù)據計算得到的K2的觀測值越大．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√二、教材習題衍生1．在兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的是()A．模型1的相關指數(shù)R2為0.98B．模型2的相關指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關指數(shù)R2為0.50D．模型4的相關指數(shù)R2為0.25A[R2越接近于1，其擬合效果越好．]2．下面是2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x2222547總計b46120則表中a，b的值分別為()A．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52C[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]3．為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根據表中數(shù)據，得到K2的觀測值k＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性約為________．5%[K2的觀測值k≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據獨立性檢驗，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.]4．某同學家里開了一個小賣部，為了研究氣溫對某種冷飲銷售量的影響，他收集了一段時間內這種冷飲每天的銷售量y(杯)與當天最高氣溫x(℃)的有關數(shù)據，通過描繪散點圖，發(fā)現(xiàn)y和x呈線性相關關系，并求得其回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋60.如果氣象預報某天的最高氣溫為34℃，則可以預測該天這種飲料的銷售量為__________杯．128[由題意x＝34時，該小賣部大約能賣出冷飲的杯數(shù)eq\o(y,\s\up6(^))＝2×34＋60＝128杯．]考點一相關關系的判斷判定兩個變量正、負相關的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關．(2)相關系數(shù)：r＞0時，正相關；r＜0時，負相關．(3)線性回歸直線方程中：eq\o(b,\s\up6(^))>0時，正相關；eq\o(b,\s\up6(^))<0時，負相關．1．觀察下列各圖形，其中兩個變量x，y具有相關關系的圖是()①②③④A．①② B．①④C．③④ D．②③C[由散點圖知③中的點都分布在一條直線附近．④中的點都分布在一條曲線附近，所以③④中的兩個變量具有相關關系．]2．已知變量x和y近似滿足關系式y(tǒng)＝－0.1x＋1，變量y與z正相關．下列結論中正確的是()A．x與y正相關，x與z負相關B．x與y正相關，x與z正相關C．x與y負相關，x與z負相關D．x與y負相關，x與z正相關C[由y＝－0.1x＋1，知x與y負相關，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負相關．]3．對四組數(shù)據進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是()相關系數(shù)為r1相關系數(shù)為r2相關系數(shù)為r3相關系數(shù)為r4A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3A[由相關系數(shù)的定義以及散點圖可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.]4．x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________．①x，y是負相關關系；②在該相關關系中，若用y＝c1ec2x擬合時的相關系數(shù)為r1，用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合時的相關系數(shù)為r2，則|r1|＞|r2|；③x，y之間不能建立線性回歸方程．①②[在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負相關關系，故①正確；由散點圖知用y＝c1ec2x擬合比用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合效果要好，則|r1|＞|r2|，故②正確；x，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故③錯誤．]考點二回歸分析用最小二乘法求線性回歸方程的步驟線性回歸分析[典例1－1](2020·貴陽模擬)某地隨著經濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表1是該地一建設銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，年份x20132014201520162017儲蓄存款y(千億元)567810表1為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據進行了處理，t＝x－2012，z＝y(tǒng)－5得到下表2：時間代號t12345z01235表2(1)求z關于t的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關于x的回歸方程；(3)用所求回歸方程預測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達多少？(附：對于線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))·\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x))[解](1)eq\x\to(t)＝3，eq\x\to(z)＝2.2，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))tizi＝45，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))teq\o\al(2,i)＝55，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(45－5×3×2.2,55－5×9)＝1.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以eq\o(z,\s\up6(^))＝1.2t－1.4.(2)將t＝x－2012，z＝y(tǒng)－5，代入eq\o(z,\s\up6(^))＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2012)－1.4，即eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2x－2410.8.(3)因為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2×2022－2410.8＝15.6，所以預測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達15.6千億元．點評：在線性回歸分析中，只需利用公式求出回歸直線方程并利用其進行預測即可(注意回歸直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)))，利用回歸方程進行預測，常把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．利用回歸直線方程求出的是估算值，非準確值．非線性回歸方程[典例1－2]某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，w]＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))wi.(1)根據散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型；(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數(shù)據，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(2)的結果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))\o()ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))\o()ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).[解](1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關于w的線性回歸方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當x＝49時，年銷售量y的預報值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(2)的結果知，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．點評：對于非線性回歸分析問題，應先進行變量代換，求出代換后的回歸直線方程，再求非線性回歸方程．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．(2020·全國卷Ⅱ)某沙漠地區(qū)經過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加，為調查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數(shù)據(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))xi＝60，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))yi＝1200，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\o(y,\s\up6(－))2))，eq\r(2)≈1.414.[解](1)由已知得樣本平均數(shù)eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i＝60，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200＝12000.(2)樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,20,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分層抽樣：根據植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣．理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計．2．十九大報告指出，必須樹立“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，這一理念將進一步推動新能源汽車產業(yè)的迅速發(fā)展．以下是近幾年我國新能源汽車的年銷量數(shù)據及其散點圖(如圖所示)：年份20132014201520162017年份代碼x12345新能源汽車的年銷量y/萬輛1.55.917.732.955.6(1)請根據散點圖判斷eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))與eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))x2＋eq\o(d,\s\up6(^))中哪個更適宜作為新能源汽車年銷量y關于年份代碼x的回歸方程模型；(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數(shù)據，建立y關于x的回歸方程，并預測2022年我國新能源汽車的年銷量．(精確到0.1)eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)2)，eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(c,\s\up6(^))eq\x\to(w).附：令wi＝xeq\o\al(2,i).eq\x\to(y)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))22.7210374135.2851.2[解](1)根據散點圖得，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))x2＋eq\o(d,\s\up6(^))更適宜作為年銷量y關于年份代碼x的回歸方程．(2)依題意得，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1＋4＋9＋16＋25,5)＝11，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)wi－\o(w,\s\up6(－))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yi－\o(y,\s\up6(－)))),\i\su(i＝1,5,)wi－\o(w,\s\up6(－))2)＝eq\f(851.2,374)≈2.28，則eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(c,\s\up6(^))eq\o(w,\s\up6(－))＝22.72－2.28×11＝－2.36，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝2.28x2－2.36.令x＝10，則eq\o(y,\s\up6(^))＝2.28×100－2.36＝225.64≈225.6，故預測2022年我國新能源汽車的年銷量為225.6萬輛．考點三獨立性檢驗1．比較幾個分類變量有關聯(lián)的可能性大小的方法(1)通過計算K2的大小判斷：K2越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．(2)通過計算|ad－bc|的大小判斷：|ad－bc|越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．2．獨立性檢驗的一般步驟(1)根據樣本數(shù)據制成2×2列聯(lián)表．(2)根據公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)計算K2的觀測值k.(3)比較觀測值k與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷．[典例2](2020·全國卷Ⅲ)某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質量等級[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表)；(3)若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”．根據所給數(shù)據，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤400人次>400空氣質量好空氣質量不好附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.[解](1)由所給數(shù)據，該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率的估計值如表：空氣質量等級1234概率的估計值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為eq\f(1,100)(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)根據所給數(shù)據，可得2×2列聯(lián)表：人次≤400人次＞400空氣質量好3337空氣質量不好228根據列聯(lián)表得K2＝eq\f(100×33×8－22×372,55×45×70×30)≈5.820.由于5.820＞3.841，故有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關．點評：獨立性檢驗是判斷兩個分類變量之間是否有關系的一種方