創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天用放縮法證明不等式之老陽(yáng)三干創(chuàng)作創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天所謂放縮法就是利用不等式的傳達(dá)性,對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行通情達(dá)理的放大年夜和減小的過(guò)程,在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”,不然就不可以同向傳達(dá)了,此法既能夠單獨(dú)用來(lái)證明不等式,也能夠是其余方法證題時(shí)的一個(gè)重要步伐.下邊舉例說(shuō)說(shuō)運(yùn)用放縮法證題的稀有題型.一.“添舍”放縮經(jīng)過(guò)對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以抵達(dá)解題目的,這是老例思路.例1.設(shè)a,b為不相等的兩正數(shù),且a3－b3＝a2－b2,求證1＜a＋b＜4.3證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b,于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b,又a＋b＞0,得a＋b＞1,又ab＜1（a＋b）2,而4（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋41（a＋b）2,即34（a＋b）2＜a＋b,因此a＋b＜4,故有1＜a＋b＜4.33例2.已知a、b、c不全為零,求證：證明：因?yàn)?2b232b2bb,同理aabb（a2）4b＞（a2）a2≥a2創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天22c,22abbcc＞b2caca＞c.因此a2abb2b2bcc2c2aca2＞3（abc）2二.分式放縮一個(gè)分式若分子變大年夜則分式值變大年夜,若分母變大年夜則分式值變小,一個(gè)真分式,分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大年夜,利用這些性質(zhì),可抵達(dá)證題目的.例3.已知a、b、c為三角形的三邊,求證：1＜bab＋ac＜2.c＋acb證明：因?yàn)閍、b、c為正數(shù),acaa,＞b＞ab,c＞cc,因此acbcababa＋b＋c＞＋a＋c＋＋b＋c＋＋c＋＝1,又a,b,c為三bcacababababc角形的邊,故b+c＞a,則abc

為真分?jǐn)?shù),則a＜2a,同理bcabcb＜2b,c＜2c,acabcababc故a＋b＋c＜2a＋2b＋2c2.bcacababcabcabc綜合得1＜bac＋abc＋acb＜2.三.裂項(xiàng)放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n相關(guān)的n項(xiàng)和,可采用數(shù)列中裂項(xiàng)乞降等方法來(lái)解題.創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天例4.已知n∈N*,求11112n.23n證明：因?yàn)?則111231122322nn1212n12nn證畢.例5.已知nN*且an1223n(n1),求證：n(n1)an(n1)2對(duì)全部正整數(shù)n都建立.22證明：因?yàn)閚(n1)n2n,因此an12nn(n1),2又n(n1)n(n1),2因此an1223n(n1)352n1(n1)2,綜合知2222222結(jié)論建立.四.公式放縮利用已知的公式或恒不等式,把欲證不等式變形后再放縮,可獲簡(jiǎn)解.例6.已知函數(shù)f(x)2x1,證明：對(duì)nN*且n3都有x21nf(n).證明：由題意知f(n)nn2n1n(12)(11)122n(2n1)12n1n12n1n1n12n1(n1)(2n1)又因?yàn)閚N*且n3,因此只須證2n2n1,又因?yàn)?創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天2n(11)nCn0Cn1Cn2Cnn1Cnn1nn(n1)n12n1所2以f(n)nn.1例7.已知f(x)1x2,求證：那時(shí)abf（a）f（b）ab.證明：（）（）a2b2abab22fafb1a1b1a21b21a21b2abab(ab)abab證畢.abab五.換元放縮對(duì)不等式的某個(gè)部份進(jìn)行換元,可顯現(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì),而后隨機(jī)進(jìn)行放縮,可達(dá)解題目的.例8.已知abc,求證1b1c10.abca證明：因?yàn)閍bc,因此可設(shè)act,bcu(tu0),因此tu0則11111111tu0,即abbccatuututtu1110.abbcca例9.已知a,b,c為△ABC的三條邊,且有a2b2c2,當(dāng)nN*且n3時(shí),求證：anbncn.證明：因?yàn)閍2b2c2,可設(shè)a=csina,b=ccosa（a為銳角）,因?yàn)?sina1,0cosa1,則那時(shí)n3,sinnasin2a,cosnacos2a,因此anbncn(sinnacosna)cn(sin2a2acn.cos)創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天六.單一函數(shù)放縮依據(jù)題目特點(diǎn),經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)特別的單一函數(shù),利用其單一性質(zhì)進(jìn)行放縮求解.例10.已知a,b∈R,求證abab.1ab1a1b證明：結(jié)構(gòu)函數(shù)f(x)x(x0),第一判斷其單一性,設(shè)1x0x1x2,因?yàn)閒(x1)f(x2)x1x2x1x20,因此1x11x2(1x1)(1x2)fx1fx2,因此f(x)在[0,]上是增函數(shù),取x1ab,x2ab,明顯知足0x1x2,因此f(ab)f