課時追蹤檢測（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1．下邊說法正確的選項是( )A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線B．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率不存在D．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線，則f′(x0)有可能存在分析：選Cf′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率，當(dāng)切線垂直于x軸時，切線的斜率不存在，但存在切線．112．曲線y＝x在點2，2的切線的斜率為()A．2B．－2C．4D．－411分析：選D由于y′＝limy＝limx＋x－xxx→0xx→0＝lim2－1＝－12.x→0x＋x·xx所以曲線在點11，2的切線斜率為＝′|＝＝－4.2kyx21353．曲線y＝3x－2在點1，－3處切線的傾斜角為( )A．1B.πC.5πD．－π4441313分析：選B∵y′＝lim3x＋x－2－3x－2xx→0＝limx2＋xx＋1x2＝x2，x→03∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝1.π∴切線的傾斜角為4，故應(yīng)選B.4．曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于( )A．1B.121D．－1C．－2122分析：選A∵y′|x＝1＝limax－a×1＝x→0x2ax＋ax2＝lim(2a＋ax)＝2a，limxx→0x→02a＝2，∴a＝1.5．過正弦曲線y＝sinx上的點π，1的切線與y＝sinx的圖象的交點個數(shù)為( )2A．0個B．1個C．2個D．無數(shù)個分析：選D由題意，y＝f(x)＝sinx，sinπx－sinππ＋2＝lim2則f′x2x→0cosx－1＝lim.x→0x當(dāng)x→0時，cosx→1，π∴f′2＝0.∴曲線y＝sinx的切線方程為y＝1，且與y＝sinx的圖象有無數(shù)個交點．6．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是y＝21x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________.分析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(1)＝1，由點M在切線上得f(1)＝1×1＋2＝5，所以222f(1)＋f′(1)＝3.答案：317．已知曲線f(x)＝x，g(x)＝x過兩曲線交點作兩條曲線的切線，則曲線f(x)在交點處的切線方程為____________________．y＝xx＝1，分析：由1，得y＝1，y＝x∴兩曲線的交點坐標(biāo)為(1,1)．由f(x)＝x，1＋x－111得f′(x)＝limx＝lim1＋＝，x→0x→0x＋1221∴y＝f(x)在點(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)．即x－2y＋1＝0，答案：x－2y＋1＝08．曲線y＝x2－3x的一條切線的斜率為1，則切點坐標(biāo)為________．分析：設(shè)f(x)＝＝x2－3，切點坐標(biāo)為(x0，0)，yxy22′(0)＝limx0＋x－3x0＋xx0＋3x0fxx→0x2x0x－3xx2＝2x0－3＝1，故x0＝2，＝limxx→02，－2)．000答案：(2，－2)9．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點到直線的最短距離．解：依據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線對應(yīng)的切點到直線xx0＋x22－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點坐標(biāo)為(x2－x00000xx→01111，所以x0＝2，所以切點坐標(biāo)為2，4，1－2切點到直線x－－2＝0的距離2472－2＝＝，所以拋物線上的點到直線－2820的最短距離為8.10．已知直線l：y＝4x＋a和曲線C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切點的坐標(biāo)．解：設(shè)直線l與曲線C相切于點P(x0，y0)，∵y＝x＋x3＋x2320000xx＝(22－4x0.x)＋(3x0－2)x＋3x0y2∴當(dāng)x→0時，x→3x0－4x0，2即f′(x0)＝3x0－4x0，2由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得3x0－4x0＝4，2解得x0＝－3或x0＝2.49∴切點的坐標(biāo)為－3，27或(2,3)，349當(dāng)切點為－3，27時，492有27＝4×－3＋a，121∴a＝27，當(dāng)切點為(2,3)時，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，121249當(dāng)a＝27時，切點為－3，27；a＝－5時，切點為(2,3)．層級二應(yīng)試能力達標(biāo)已知y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是( )A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不可以確立分析：選B由圖可知，曲線在點A處的切線的斜率比曲線在點B處的切線的斜率小，聯(lián)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(x)<f′(x)，選B.AB2．已知曲線y＝23上一點(1,2)，則點A處的切線斜率等于()xAA．0B．2C．4D．6分析：選Dy＝2(1＋x)3－2×13＝6x＋6(x)2＋2(x)3，limy＝limx→0xx→0[2(x)2＋6x＋6]＝6，應(yīng)選D.3．設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù)，且知足limff2xy＝f(x)上2x＝－1，則曲線x→0點(1，f(1))處的切線斜率為()A．2B．－1C．1D．－2分析：選Bllimff2x2xx→0f2xf＝f′(x)＝－1.＝lim－2xx→04．已知直線－by－2＝0與曲線y＝x3在點(1,1)處的切線相互垂直，則a為()axPb412A.3B.321C．－3D．－3分析：選D由導(dǎo)數(shù)的定義可得y′＝3x2，∴y＝x3在點P(1,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|xaa11＝3，由條件知，3×b＝－1，∴b＝－3.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，此中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則fxf＝______.limxx→0分析：由導(dǎo)數(shù)的觀點和幾何意義知，fxf＝f′(1)＝kAB＝0－4limx＝－2.x→02－0答案：－26．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(0)>0，關(guān)于隨意實數(shù)x，有ff(x)≥0，則f的最小值為________．分析：由導(dǎo)數(shù)的定義，得fxff′(0)＝limxx→0＝limax2＋bx＋c－c＝lim(a·Δx＋b)＝b.x→0xx→0又由于關(guān)于隨意實數(shù)x，有f(x)≥0，＝b2－4ac≤0，b2c>0.則所以ac≥，所以a>0，4fa＋b＋cb＋2ac2b所以f＝b≥b≥b＝2.答案：2127．求曲線y＝x和y＝x在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積．解：聯(lián)立兩曲線方程，得1解得x＝1，y＝x，即交點坐標(biāo)為(1,1)．y＝x2，y＝1，曲線y1處的切線的斜率為＝在點(1,1)x51－1f′(1)＝lim1＋x1＝lim－1＝－1，x1＋xx→0x→01所以曲線y＝x在點(1,1)的切線方程為y－1＝－1(x－1)，即y＝－x＋2.同理，曲線y＝x2在點(1,1)處的切線的斜率為f′(1)＝limx2－12xx2x＝limxx→0x→0＝lim(2＋x)＝2.x→0所以曲線y＝x2在點(1,1)的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，兩條切線y＝－113x＋2和y＝2x－1與x軸所圍成的圖形如下圖．所以S＝2×1×2－2＝4.故三角形的面3積為.48．過點P(－1,0)作拋物線y＝x2＋x＋1的切線，求切線方程．解：設(shè)切線過拋物線上的點2＋1)，則y′|x＝x＝limfx0＋xfx0Qxxx0000x→0x＝lim(2x0＋x＋1)＝2x0＋1，由于切線過點(－1,0)和點(0，x2＋0＋1)，其斜率知足0x→