第四課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)

靈活方醫(yī)方致偎影

課時(shí)作業(yè)

三選題明細(xì)表

知識(shí)點(diǎn)、方法綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)25

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)1,3

函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用46,7

B級(jí)綜合運(yùn)用練

1.已知函數(shù)f(x)=33_笠^；g(x)=|-rnx,m是實(shí)數(shù).

(1)若f(x)在區(qū)間⑵+8)上為增函數(shù),求m的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，求m的取值

范圍.

解：(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=x2-(m+l)x,

因?yàn)閒(x)在區(qū)間⑵+8)上為增函數(shù)，

所以f(x)=x(x-m-l)20在區(qū)間(2,+8)上恒成立，

所以x-m~l20在區(qū)間(2,+°°)上恒成立，

即mWx-1在區(qū)間⑵+8)上恒成立，

由x>2,得mWl,

所以m的取值范圍是

(2)h(x)=f(x)-g(x)=|x:i-^^x2+mx-|,

所以h'(x)=(xT)(x-m)=0,解得x=m或x=l,

當(dāng)m=l時(shí),h'(x)=(xT)?20,h(x)在R上是增函數(shù),不符合題意,

當(dāng).時(shí)，令h'(x)>0,解得x〈m或x>l,令h'(x)<0,解得

所以h(x)在(-8,m),(1,+8)上單調(diào)遞增,在(m,1)上單調(diào)遞減，

所以h(x)極大值=h(m)6Z3

h(x)極小值=h(1)=~~^

要使h(x)=f(x)-g(x)有3個(gè)零點(diǎn),

1a11

--m6+-m7-->0,_

623

mt解得m<l-8，

(L。，

所以m的取值范圍是(-8,1-V3).

2.設(shè)函數(shù)f(x)=x,-2klnx(k>0).

(1)當(dāng)k=4時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,證)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：⑴因?yàn)閮x舊-2klnx(k>0),

所以f(x)的定義域是(0,+8),f，(x)=2x-匹空之

XX

令f'(x)=0,得x=2或x=-2(舍去).

當(dāng)x變化時(shí)，函數(shù)f(x),f'(x)變化情況如表：

X(0,2)2(2,+8)

f'(x)—0+

f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8),

在x=2處取得極小值,f(2)=4-81n2,無極大值.

(2)由⑴知f(x)的最小值為f(4)=k-kink,

若函數(shù)有零點(diǎn)，則有f(Vfc)W0,解得k2e.

當(dāng)k》e時(shí)，函數(shù)f(x)在(1,粕)上單調(diào)遞減，

又f⑴=1>0,f(Ve)=e-k^O,所以函數(shù)f(x)在(1,粕)上有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)0<k<e時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為正數(shù),所以函數(shù)f(x)在(1,粕)上沒

有零點(diǎn).

綜上,當(dāng)kee時(shí)，函數(shù)f(x)在(1,五)上有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)0<k<e時(shí),函數(shù)f(x)在(1,五)上沒有零點(diǎn).

3.已知函數(shù)f(x)=-x2+21nx+2.

(1)求f(x)的極值；

(2)若g(x)=lnx+2-x-k-f(x),在(a2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k

的取值范圍.

解：(l)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

f(x)=2x+—2EaT),

XX

由f'(x)=0得x=l,當(dāng)0<x〈l時(shí)，f'(x)>O,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x〉l時(shí),f'(x)〈O,f(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)有極大值f(1)=1,無極小值.

(2)若g(x)=x2-lnx-x-k,xe(1,2),

g'(x)=2x」T=3+i)(”)，則當(dāng)X=1時(shí)，g，(x)=0,當(dāng)時(shí)，

XX2

gz(x)<0,當(dāng)l<x<2時(shí),g'(x)>0,

于是得g(x)在§1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,g(x)rain=g(l)=

-k，而g(?=ln2-J-k,g(2)=2-ln2-k,

顯然g(?〈g(2),要g(x)在$2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

(~k<0,11

i即°〈k〈ln2-；,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0,In2-；).

\jlnn9Z---K>U,44

4.已知函數(shù)f(x)=e2x+(l-2a)ex-ax(aGR).

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

⑵若f(x)在定義域內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

解：(1)由題意，函數(shù)f(x)=e2x+(l-2a)e-ax的定義域?yàn)镽,

且fz(x)=2e2x+(l-2a)ex-a=(2ex+l)(ex-a).

當(dāng)aWO時(shí)，#(x)>O,f(x)在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0,即ex-a=O,

解得x=lna,

當(dāng)xW(-8,ina)時(shí),f'(x)<0,f(x)在(-8,]na)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x￡(lna,+8)時(shí)，伊(x)>0,f(x)在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)aWO時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-°°,Ina)上單調(diào)遞減,在(Ina,+°°)上單調(diào)遞增.

⑵由⑴知,當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),所以f(x)在定義

域上至多有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí),由(1)知,f(x)在(-°°,Ina)上單調(diào)遞減,在(Ina,+°°)上單

調(diào)遞增，

所以f(x)"in=f(Ina)=a2+(l-2a)a-alna=a-a2-alna,

因?yàn)閒(x)在R上至多有一個(gè)零點(diǎn),則滿足f(x)min^O,即1-a-lna，0,

設(shè)g(a)=lna+a-1,a>0,可得g'(a)=-+l>0,所以晨a)在(0,+8)上單

a

調(diào)遞增，

且g(l)=O,由不等式g(a)WO,可得0<aWl,

即fix*"與。時(shí)，可得(KaWL綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(一8,1］.

C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練

5.(2021?安徽示范高中高考模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+-+l.

X

⑴若函數(shù)f(X)在［1,e］上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解：(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0,+8),

所以f'(x)筌20,即x-a20在x￡［1,e］上恒成立,所以aWl,所以

實(shí)數(shù)a的取值范圍是

⑵因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0,+8),f,&)=等.

①當(dāng)aWO①『(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

且Xf。時(shí)，f(x)f-8,Xf+8時(shí)，f(x)f+8,所以f(x)只有一個(gè)

零y八占、、，?

②當(dāng)a>0時(shí),f'(a)=0,且當(dāng)x￡(0,a)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x￡(a,+8)時(shí)，

f'(x)>0,所以f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+-)上單調(diào)遞增，

所以f(x)min=f(a)=lna+2.

(i)若f(x)miWO,即Ina+2<0,所以0<a<e-2,

因?yàn)閒(x)在(a,+8)上單調(diào)遞增,f(a)<0,

f(l)=a+l>0,

所以f(x)在(a,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn).

又因?yàn)閒(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,且f(a)<0,

所以f(a2)=21na+-+l.

a

令g(x)=21nx+-+l,xG(0,e'2),

X

所以g'(x)卓<0,所以g(x)在(0,不)上單調(diào)遞減,

所以g(x)>g(e-2)=e2-3>0,

即f(a2)=21na+-+l>0,因?yàn)?<a2<a,且f(a2)>0,f(a)<0,所以f(x)在

a

(0,a)上只有一個(gè)零點(diǎn),所以當(dāng)0<a〈e-2時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

(ii)若f(xDO,即Ina+2>0,a>e；f(x)無零點(diǎn).

(iii)若f(x)min=0,即Ina+2=0,a=e\f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)aWO或a=e'時(shí),f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)O〈a〈e,時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>e2時(shí),f(x)無零點(diǎn).

6.f(x)=alnx+eX+b(a>0),其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴判斷f(x)的單調(diào)性；

(2)令m(x)=f(x)-ex,a=l,若對(duì)于x￡[1,+°°),m(x)W&@-(bWO)恒

b

成立，求b的取值范圍.

解：(1)因?yàn)閒(x)=alnx+ex+b(a>0,x>0),

所以f,(x)二空，

XX

因?yàn)閍>0,x>0,所以竺之>0,

X

故f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由題意得m(x)=lnx+b由>0),即求對(duì)于x￡[1,+8),Inx+bW

空式(br0)恒成立時(shí)一,b的取值范圍，因?yàn)閙/(x)」>0,故m(x)在

bx

(0,+8)上單調(diào)遞增,且當(dāng)x>e"時(shí),m(x)>0,

又因?yàn)?x+l)2>0,故得b>0,故只需求blnx+b2^(x+1)2,

當(dāng)x=l時(shí),b?W4,解得0<bW2,(*)

令r(x)=x2+2x+l-blnx-b2,

191

故r'(x)=2x+2-也空3=2(X+R-仁,

XXX

令(p(x)=2(x+1)2-b-1^4-b,

由(*)知e(x)>0,故r(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以只需r(x)=x2+2x+l-blnx-b2^r(1)=4-b2^0,

解得0〈bW2.

綜上所述,b的取值范圍是0〈bW2.

7.已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax-l,aGR.

⑴若對(duì)任意x￡［l,+8),不等式,)忘為儀)恒成立,求a的取值

范圍；

⑵已知函數(shù)h(x)=|f(x)|-a有3個(gè)不同的零點(diǎn)Xi,X2,x3(xi<x2<x3).

①求a的取值范圍；

②求證：x3-x2>-\/l+2a-y/l-2a.

(1)解:若對(duì)任意xe［1,+8),不等式f(x)W2g(x)恒成立，

即2xlnxWx'+axT在［1,+8)上恒成立,

即a221nx-x+-(x^l),

X

記F(x)=21nx-x+-(x^l),則a2F(x)ax,

Xm

2

又F'(x)=--l-4=-^-^0,

XXzX1

故F(X)在［1,+8)上單調(diào)遞減,故F(x)max=F(1)=0.

故a的取值范圍是［0,+8).

(2)①解:令h(x)=O,得If(x)|=a，問題轉(zhuǎn)化為y=|f(x)j的圖象和y=a

的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，而f(x)=xlnx(x>O),f'(x)=lnx+1,

令f'(x)>0,解得x>；令f'(x)<0,解得0<xC,

ee

故f(X)在(o<)上單調(diào)遞減,在e,+8)上單調(diào)遞增，