考點(diǎn)11雙曲線大題11種常見(jiàn)考法歸類1、求雙曲線軌跡常用方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.2、利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4、解析幾何中的弦長(zhǎng)、面積及最值問(wèn)題對(duì)于這類問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.5、圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問(wèn)題的求解方法設(shè)直線方程為，設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)為，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，假設(shè)定點(diǎn)存在，設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，把定點(diǎn)滿足的性質(zhì)用坐標(biāo)表示，代入后變形可求得定點(diǎn)坐標(biāo)．如果是定值問(wèn)題，則把代入要求定值的式子化簡(jiǎn)后可得．6、直線過(guò)定點(diǎn)基本思路如下：（1）假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；（2）利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；（3）利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；（4）由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).7、等角定點(diǎn)基本思路如下：（1）假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；（2）得到韋達(dá)定理的形式；（3）角度相等，多可以轉(zhuǎn)化為斜率相等或者相反等關(guān)系，利用韋達(dá)定理表示出等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；（4）由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).8、圓過(guò)定點(diǎn)基本思路如下：（1）可以根據(jù)特殊性，計(jì)算出定點(diǎn)，然后證明（2）利用以“某線段為直徑”，轉(zhuǎn)化為向量垂直計(jì)算（3）利用對(duì)稱性，可以猜想出定點(diǎn)，并證明。（4）通過(guò)推導(dǎo)求出定點(diǎn)（計(jì)算推導(dǎo)難度較大）9、求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．10、解決直線與雙曲線的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、雙曲線的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．考點(diǎn)一求雙曲線的方程1．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C的焦點(diǎn)和離心率.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用雙曲線焦點(diǎn)求出c，再通過(guò)離心率求出a，即可根據(jù)雙曲線性質(zhì)求出b，再通過(guò)焦點(diǎn)所在軸確定雙曲線形式，代入a，b即可得出答案；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程消去y利用已知結(jié)合判別式列出不等式轉(zhuǎn)化求解得出k的初步取值范圍，再通過(guò)設(shè)出A，B坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理得出與與k的關(guān)系，通過(guò)得出，再轉(zhuǎn)化為k的不等式得出k的另一個(gè)范圍，最后綜合即可得出答案.【詳解】（1）雙曲線C的焦點(diǎn)為，，且焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線C的離心率，，，，雙曲線C的方程為：；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程消去y得：，直線與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，，解得且，設(shè)點(diǎn)，，則，，，，，又，，，解得，，則k的取值范圍為：.2．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)，或或.【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）由題知，進(jìn)而先討論直線的斜率不存在不滿足條件，再討論的斜率存在，設(shè)方程為，設(shè)，進(jìn)而與雙曲線方程聯(lián)立得線段中點(diǎn)為，再結(jié)合題意得，進(jìn)而再分和兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)，所以，，解得所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)，，所以，直線的斜率存在，設(shè)方程為，所以，聯(lián)立方程得所以，且，所以，設(shè)，則所以，所以，線段中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，點(diǎn)在線段的中垂線上，所以，所以，當(dāng)時(shí)，線段中點(diǎn)為，此時(shí)直線的方程為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以，，整理得，解得或，滿足.綜上，直線的方程為，或或.3．（2022秋·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)求雙曲線C的左頂點(diǎn)到漸近線的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程組，即可求解雙曲線方程；（2）根據(jù)雙曲線方程，分別求左頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及漸近線方程，代入點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，所以雙曲線C的方程為．（2）雙曲線C：的左頂點(diǎn)為，漸近線方程為，所以雙曲線C的左頂點(diǎn)到漸近線的距離為．考點(diǎn)二與雙曲線軌跡有關(guān)的問(wèn)題4．（2022秋·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，該動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程．(2)已知點(diǎn)在曲線上，斜率為的直線與曲線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．記直線和直線的斜率分別為，，從下面①、②、③中選取兩個(gè)作為已知條件，證明另外一個(gè)成立．①；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用兩圓位置關(guān)系得到，從而得到，再利用雙曲線的定義即可得到曲線的方程；（2）依次選擇其中兩個(gè)作為已知條件，聯(lián)立直線與曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得證.【詳解】（1）依題意，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為r，因?yàn)樵搫?dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，此處要特別注意圓在圓的內(nèi)部與圓相切，否則圓無(wú)法與圓外切，所以，，所以，由雙曲線定義可知，M的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，所以2a＝4，2c＝6，即a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以曲線C的方程為..（2）選擇①②?③：設(shè)直線l：y＝kx＋m，A，B，聯(lián)立，消去，得x2－16mkx－8m2－8＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，因?yàn)?，k1＋k2＝0，所以＋＝0，即＋＝0，即2kx1x2＋－8＝0，所以2k×＋－8＝0，化簡(jiǎn)得8k2＋2k－1＋m＝0，即＝0，所以或m＝1－4k，當(dāng)m＝1－4k時(shí)，直線l：y＝kx＋m＝k＋1過(guò)點(diǎn)P，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由于曲線是雙曲線的右支，易知，又由x2－16mkx－8m2－8＝0得，此時(shí)，則，解得，故，即時(shí)，滿足題意，綜上：，所以③成立.選擇①③?②：設(shè)直線l：y＝－x＋m，A，B，聯(lián)立，消去，得，所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，由第1種選擇可知且，此處不再詳細(xì)說(shuō)明，所以k1＋k2＝＋＝＋＝－1＋＋＝－1＋＝－1＋＝0，所以②成立.選擇②③?①：設(shè)直線l：y＝－x＋m，A，B，P(x0，y0)，聯(lián)立，消去，得，所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，由第1種選擇可知且，此處不再詳細(xì)說(shuō)明，由k1＋k2＝＋＝＋＝0，得＋＝0，即－x1x2＋－2x0＝0，所以－8m2－8＋8m×－2x0＝0，故2m＋2x0y0－8＝0，由于的任意性，所以，，解得，又，所以，則，滿足，所以P，①成立.5．（2022秋·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)是圓外的一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程(2)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸是否存在定點(diǎn)使？若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求軌跡方程；（2）當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)，直線方程代入軌跡方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，即，把代入可求得，得定點(diǎn)，驗(yàn)證此點(diǎn)對(duì)直線斜率為0時(shí)也適合．【詳解】（1）線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)．，∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，，，又，則，∴軌跡的方程是；（2）當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，令，則由得∵直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，假設(shè)存在點(diǎn)使，則，，即，即，軸上存在點(diǎn)，使得，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，點(diǎn)使得，綜上，軸上存在點(diǎn)，使得．6．（2022秋·四川成都·高二成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）雙曲線的一條漸近線為，且一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于異支兩點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用漸近線方程以及焦點(diǎn)到直線的距離即可求解.（2）首先設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立后，設(shè)出，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及韋達(dá)定理即可求解軌跡方程，最后確定好范圍即可.【詳解】（1）由漸近線為知，①，又焦點(diǎn)到漸近線的距離為，即到直線的距離，所以，②，聯(lián)立①②，解得，，則雙曲線方程為.（2）因?yàn)橹本€與雙曲線交于異支兩點(diǎn)，所以直線的斜率必存在，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線，與雙曲線聯(lián)立得：，設(shè)，則有解得，由知，兩式相除得，即代入得，又，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線l，使得A，B，M，N四點(diǎn)共圓.若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不存在直線符合題意，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，則由，可得，，再結(jié)合，消去，即可得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）判斷直線l的斜率存在，設(shè)l：，設(shè)，，將直線方程代入曲線C的方程，化簡(jiǎn)后利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式表示出，表示出線段MN的中垂線方程，求出其與與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，而AB的中垂線為x軸，所以若A，B，M，N共圓，則圓心為，從而由列方程求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，所以，，所以，，又，整理得，即曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）易知當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，直線l與曲線C沒(méi)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，設(shè)l：，將直線l與曲線C聯(lián)立，得，消去y，整理得，因?yàn)榍?，所以且，設(shè)，，則，，所以MN的中點(diǎn)，且，將，代入上式，整理得，當(dāng)時(shí)，線段MN的中垂線方程為：，令y＝0，解得，即與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)k＝0時(shí)，線段MN的中垂線為y軸，與x軸交于原點(diǎn)，符合Q點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)锳B的中垂線為x軸，所以若A，B，M，N共圓，則圓心為，所以，所以，整理得，即，因?yàn)榍?，所以上述方程無(wú)解，即不存在直線l符合題意.8．（2022秋·江西南昌·高二南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，直線，的斜率之積為．(1)求頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)若，求面積大?。敬鸢浮?1)，；(2).【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線，的斜率乘積列方程，化簡(jiǎn)求得的軌跡方程.（2）由及確定點(diǎn)A的軌跡與（1）的軌跡結(jié)合，求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即可計(jì)算作答．【詳解】（1）設(shè)，則直線AB的斜率，直線AC的斜率，，依題意有，化簡(jiǎn)得，，所以頂點(diǎn)的軌跡方程為得，.（2）因，，則點(diǎn)A的軌跡是以線段BC為弦，所含圓周角為的兩段圓?。ǔ它c(diǎn)外），圓弧所在圓的圓心在線段BC的中垂線上，即y軸上，半徑，由對(duì)稱性不妨令圓心在y軸正半軸上，設(shè)為，則有，解得，因此點(diǎn)A的軌跡方程為，而點(diǎn)A在雙曲線上，由消去x得：，而，解得，因此，所以面積為.考點(diǎn)三直線與雙曲線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題9．（2022秋·四川成都·高二樹德中學(xué)?？计谀┮阎p曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，且它的一條漸近線方程為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為根據(jù)題意求出即可（2）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，由韋達(dá)定理，然后利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可【詳解】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，所以，①又雙曲線的一條漸近線為，所以，②又，③聯(lián)立上述式子解得，，故所求方程為；（2）設(shè)，，聯(lián)立，整理得，由，所以，，即10．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谥校┮阎p曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)時(shí)，求弦長(zhǎng)|AB|的值．【答案】(1)(2)24【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）求得直線的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得.【詳解】（1）若焦點(diǎn)F（c，0），其到漸近線的距離，又因?yàn)殡p曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得a＝2，所以雙曲線C的方程為；（2）由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l方程為：設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，得，所以，，從而.所以弦長(zhǎng)|AB|的值為24．11．（2022秋·四川成都·高二成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎p曲線C：的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為，求m的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可得到雙曲線的方程；（2）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，在利用弦長(zhǎng)公式列出方程，即可求解.【詳解】（1）雙曲線離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2，，，解得，，，所求雙曲線C的方程為；（2）設(shè),,聯(lián)立，，，，．，，解得．12．（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）雙曲線C的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線C的一條準(zhǔn)線方程為.(1)求雙曲線C的方程；(2)若雙曲線C的一弦中點(diǎn)為，求此弦所在的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，得雙曲線的半焦距，再由準(zhǔn)線方程求得，從而可得，然后可得雙曲線方程．（2）設(shè)弦的兩端分別為，，利用點(diǎn)差法，代入雙曲線方程相減，利用中點(diǎn)坐標(biāo)可求得弦所在直線斜率，從而得直線方程．【詳解】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)為，

∴∵一條準(zhǔn)線方程為，，解得，∴，∴雙曲線的方程為．（2）設(shè)弦的兩端分別為，．則有：．弦中點(diǎn)為，．故直線的斜率．則所求直線方程為：．13．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)，其焦點(diǎn)，在x軸上，且．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)是否存在被點(diǎn)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)不存在被點(diǎn)平分的弦，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)所求雙曲線方程為（，），根據(jù)已知求出即得解；（2）假設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，記弦所在的直線為l，設(shè)是弦MN的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求出直線l的方程，再檢驗(yàn)即得解.（1）解：設(shè)所求雙曲線方程為（，），由可知，即．又點(diǎn)在雙曲線上，所以，得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：假設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，記弦所在的直線為l，設(shè)是弦MN的中點(diǎn)，，，則，．因?yàn)辄c(diǎn)M，N在雙曲線C上，所以，，兩式相減得，所以，所以直線MN的斜率，所以直線l的方程為，即．由，得，顯然，所以直線l與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，所以直線l不存在，故不存在被點(diǎn)平分的弦．14．（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且雙曲線C的漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，若直線l與雙曲線C的兩支分別于A，B兩點(diǎn)，直線l與兩漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l使得坐標(biāo)原點(diǎn)O在以為直徑的圓上且滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)沒(méi)有，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)以及漸近線即可聯(lián)立求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解,根據(jù)兩點(diǎn)距離求解，根據(jù)已知條件建立方程求解即可.【詳解】（1）由題意有，，①將點(diǎn)代入雙曲線方程得，②聯(lián)立①②解得，故雙曲線C的方程為（2）假設(shè)滿足題意的直線l存在．易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，整理得，且，解得且．由韋達(dá)定理有則，因?yàn)镸為直線與漸近線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得N點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由題知，，即，整理得．①因?yàn)樵c(diǎn)O在以為直徑得圓上，∴，，，，整理得．②聯(lián)立①②得，，無(wú)解，故沒(méi)有滿足條件的直線l．考點(diǎn)四直線與雙曲線的面積（最值）問(wèn)題15．（2022秋·河北邯鄲·高二?？计谀┮阎p曲線：與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)，傾斜角為，與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)共漸近線設(shè)出雙曲線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解；（2）根據(jù)題意求出直線的方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去后由韋達(dá)定理得，從而由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，再求出到直線距離后即可求得的面積．【詳解】（1）依題意，設(shè)所求雙曲線方程為，代入點(diǎn)得，即，所以雙曲線方程為，即．（2）由（1）得，則，，，又直線傾斜角為，則，故直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去，得，則，，，由弦長(zhǎng)公式得，又點(diǎn)到直線的距離，所以．16．（2022秋·重慶云陽(yáng)·高二重慶市云陽(yáng)鳳鳴中學(xué)校?？计谀┮阎p曲線：的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出，再根據(jù)漸近線方程及，求出，，得到雙曲線方程；（2）設(shè)出直線：，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)直線，的斜率之積為，列出方程，得到，得到直線方程，數(shù)形結(jié)合得到的面積.【詳解】（1）由題意知焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則，因?yàn)橐粭l漸近線方程為，所以，又，解得：，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立，則，所以，，由，解得或（舍去），

所以，，：，令，得，，所以的面積為.17．（2022秋·遼寧大連·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與雙曲線Q交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，是雙曲線Q右支上一點(diǎn)，，設(shè)(1)求雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：C，D，B三點(diǎn)共線；(3)若面積為，求直線l的方程．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)離心率即可求解，（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合點(diǎn)差法以及向量共線的坐標(biāo)表示即可求解，（3）根據(jù)三角形面積公式，利用聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)即可得到關(guān)于的方程，【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由得,又，所以,，由得①，由于，在雙曲線上，所以，相減得②由①②得③，由于，所以，將③代入得，所以，因此C，D，B三點(diǎn)共線（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程為：，故，所以，直線的方程為，聯(lián)立，所以由于軸，，所以，所以，由于，代入得，令，則，化簡(jiǎn)得，由于，所以，因此，解得或由于，所以，故直線方程為18．（2022秋·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且的最小值為6，(1)求雙曲線方程(2)求面積的最小值【答案】(1)(2)12【分析】（1）結(jié)合題意，得到的最小值為，從而利用雙曲線的幾何性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）先由條件得到，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于的解析式，利用換元法與的單調(diào)性即可求得的最小值.【詳解】（1）依題意得，當(dāng)軸時(shí)，取得最小值，不妨設(shè)，則，故，則，所以，則，又，則，聯(lián)立，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）得，設(shè)，，直線，因?yàn)殡p曲線的漸近線為，又由直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，所以，則，從而，聯(lián)立，得，則，，，所以，設(shè)，則，，令，易得在上單調(diào)遞減，則，所以，即面積的最小值為.19．（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）已知，為雙曲線E：（，）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線E上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若不與坐標(biāo)軸平行的動(dòng)直線l與雙曲線E相切，分別過(guò)點(diǎn)，作直線l的垂線，垂足為P，Q，求面積最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，再結(jié)合雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)及，即可求解；（2）設(shè)l的方程為：，與雙曲線方程聯(lián)立可得，由已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到線及兩點(diǎn)之間的距離可求得，再利用換元法及二次函數(shù)求最值即可得解.【詳解】（1）由已知得，解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)切線l的方程為：，聯(lián)立，整理得由題知，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則則，解得同理，解得點(diǎn)到直線的距離所以的面積又，所以令，由，則，所以所以當(dāng)，即時(shí)，所以面積最大值為20．（2022秋·江西撫州·高二江西省臨川第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到的距離與到直線的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn)，在直線，上分別取點(diǎn)A，B，當(dāng)A，B分別位于第一、二象限時(shí)，若，，求△AOB面積的取值范圍.附：在△ABC中，若，則△ABC的面積為.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，把幾何關(guān)系中距離之比轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而求得結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)，A，B的坐標(biāo)，由向量關(guān)系找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)并代入雙曲線方程，再把所求的結(jié)果結(jié)合已知中給出的面積公式，求得△AOB面積的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為d.由已知可得，即，兩邊平方得，，整理得.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)，，，，，因?yàn)椋?，?將點(diǎn)代入雙曲線方程，得化簡(jiǎn)得.所以△AOB面積為，因?yàn)?，所以?故△AOB面積的取值范圍.21．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓：，圓：，一動(dòng)圓與圓和圓同時(shí)內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，兩互相垂直的直線，相交于點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，求與的面積之和的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)動(dòng)圓圓心到兩定點(diǎn)距離的關(guān)系可以判斷其為雙曲線；（2）分兩種情況討論，每一種情況中計(jì)算、，從而求得面積的表達(dá)式，再求范圍即可.【詳解】（1）由：，得，可知，其半徑為，由：，得，可知，其半徑為.設(shè)動(dòng)圓半徑為，動(dòng)圓圓心到的距離為，到的距離為，則有或，即，得，又，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，由，可得，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為；（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意，，設(shè)：，與雙曲線聯(lián)立，由于其于雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，得且，且，設(shè)：，即，設(shè)圓到直線的距離為，則，因?yàn)榻粓A于，兩點(diǎn)，故，得.且，由題意可知，所以，因?yàn)?，可?②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，所以，綜上.考點(diǎn)五常規(guī)韋達(dá)定理應(yīng)用22．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，且雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若與雙曲線交于，，若，求的值（為原點(diǎn)）.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，列出方程，求得即可得到其標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)，列出方程，即可求得.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，漸近線方程為，即，設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為，到其中一條漸近線的距離為，所以，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，由題意可知，消去可得，則，因?yàn)椋?，解得，所以，?23．（2022秋·四川成都·高二石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)雙曲線?的上焦點(diǎn)為?，過(guò)?且平行于?軸的弦其長(zhǎng)4.(1)求雙曲線?的標(biāo)準(zhǔn)方程及實(shí)軸長(zhǎng);(2)直線與雙曲線?交于?兩點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)?的取值.【答案】(1)?的標(biāo)準(zhǔn)方程為?，雙曲線?的實(shí)軸長(zhǎng)也為?；(2).【分析】（1）由弦長(zhǎng)為4，可得，從而得知標(biāo)準(zhǔn)方程及實(shí)軸長(zhǎng)；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得值.【詳解】（1）雙曲線的上焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，令，代入，得，而，可知，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)也為.（2）聯(lián)立,可得，且，將代入①式，可知，即,再代入②式，有，計(jì)算可得，且滿足.24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點(diǎn)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線與雙曲線的一支交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意建立的方程組即可求解;(2)利用韋達(dá)定理確定的取值范圍，再建立之間的等量關(guān)系即可求解.【詳解】（1）由離心率又,所以，又右頂點(diǎn)為，所以，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，則由得，因?yàn)橹本€與雙曲線一支交于、兩點(diǎn)，所以，解得，因此，因?yàn)椋?，所以，所以，?25．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線為，焦點(diǎn)到漸近線的距離是．(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由漸近線為可得，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離是，求出c，利用雙曲線中即可求得雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關(guān)于的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，然后表示出的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程計(jì)算．【詳解】（1）解：由題知，，設(shè)右焦點(diǎn)，取一條漸近線，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，，從而，所以雙曲線的方程為.（2）解：設(shè)，，由，得，則，，所以，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓，得，所以．考點(diǎn)六雙曲線的向量問(wèn)題26．（2022秋·江蘇連云港·高二校考期中）雙曲線：，已知是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，直線，的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線的焦距為，直線過(guò)點(diǎn)且與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由點(diǎn)在雙曲線上得到，再由，的斜率之積為得到，從而得到，由此可求得雙曲線的離心率；（2）先由條件求得雙線曲方程，再聯(lián)立直線與雙曲線得到，又由得到，從而求得值，由此可得直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)槭请p曲線E上一點(diǎn)，可得，即為，由題意可得，，可得，即有.（2）由題意可得，，則雙曲線的方程為，易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，設(shè)，則，，①又，可得，②由①②可得，，代入①可得，解得，則直線l的方程為.27．（2022秋·四川瀘州·高二校考期中）已知雙曲線（，）中，離心率，實(shí)軸長(zhǎng)為4(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且在雙曲線存在點(diǎn)，使得，求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)離心率以及實(shí)軸長(zhǎng)即可求解的值，進(jìn)而可求雙曲線方程，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，得韋達(dá)定理，進(jìn)而結(jié)合向量滿足的關(guān)系即可代入求值.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率，實(shí)軸長(zhǎng)為4，，解得，因?yàn)樗噪p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）將直線與曲線聯(lián)立得，設(shè)，，則，，設(shè)，由得，即，又因?yàn)?，解得，所以?28．（2022秋·甘肅蘭州·高二蘭州市第二十八中學(xué)?？计谀┮阎p曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線交于、兩點(diǎn)．(1)若雙曲線的離心率為，虛軸長(zhǎng)為，求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)，，若的斜率存在，且，求的斜率．【答案】(1)(2)【分析】(1)由離心率公式和的關(guān)系式，即可求出結(jié)果；(2)求出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，消元，運(yùn)用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件，即可求出直線的斜率.【詳解】（1）由題意可知：，，解得：，所以雙曲線的方程為，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.（2）因?yàn)?，，所以雙曲線方程為，可得，設(shè)的方程為：，，則直線的斜率為：，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去可得：，因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則且，即，可得：，則，，，由可得，，即，將代入可得：，即，解得：，解得：，即直線的斜率為.考點(diǎn)七參數(shù)最值與范圍問(wèn)題29．（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線方程；(2)直線與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意求出即可；（2）聯(lián)立方程得，根據(jù)直線與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，可得，解之即可.【詳解】（1）解：由題意可得，解得，所以雙曲線方程為；（2）解：聯(lián)立，消得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，所以，解得，所以k的取值范圍為.30．（2022秋·湖北武漢·高二華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：與x軸的正半軸交于點(diǎn)M，動(dòng)直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)且垂直于x軸時(shí)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若，求點(diǎn)M到直線l距離的最大值．【答案】(1)；(2)2【分析】（1）由雙曲線方程求得右焦點(diǎn)，則可求出l過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)且垂直于x軸時(shí)的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，由及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可解出m，得到雙曲線方程；（2）由得，分別討論直線斜率存在、不存在的情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，直接求出交點(diǎn)，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算可解出，即可得點(diǎn)M到直線l距離；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理及數(shù)量積運(yùn)算可得與b的關(guān)系，即可結(jié)合點(diǎn)線距離公式進(jìn)一步討論距離范圍.【詳解】（1）由曲線為雙曲線得，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)形式為，故，右焦點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，代入雙曲線方程得，故，由得，故雙曲線C的方程為；（2）由得，i.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立得，故當(dāng)才有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，，解得或（舍）.故點(diǎn)M到直線l距離為2；ii.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立得，故當(dāng)（*）才有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，故，即，即，整理得，得或.①當(dāng)時(shí)，直線l為過(guò)與M重合，不合題意；②當(dāng)時(shí)，代入（*）可得時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，∴點(diǎn)M到直線l距離為.綜上，點(diǎn)M到直線l距離的最大值為2.31．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，）的離心率為，點(diǎn)到其左右焦點(diǎn)，的距離的差為2．(1)求雙曲線的方程；(2)在直線上存在一點(diǎn)，過(guò)作兩條相互垂直的直線均與雙曲線相切，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率以及點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為2，可求得a，b，c，進(jìn)而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線與雙曲線相切，討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿足條件；②若切線的斜率存在，則設(shè)其斜率為，，從而得到切線方程，再根據(jù)切線與雙曲線相切，聯(lián)立方程組，得，進(jìn)而可得關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)兩切線互相垂直有，即可得到，再結(jié)合在直線上，推出，求解即可得到的取值范圍．【詳解】（1）依題意有雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，則，得，則，所以雙曲線的方程為；（2）①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿足條件；②若切線的斜率存在，則設(shè)其斜率為，，則切線方程為，聯(lián)立，消并整理得，則，化簡(jiǎn)得，即，化成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)該方程的兩根為，，即為兩切線的斜率，所以，即，又點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有交點(diǎn)，所以，即，即，故的取值范圍為．32．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l：為雙曲線C：的一條漸近線，且雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)A，B是雙曲線右支上兩點(diǎn)，若直線l上存在點(diǎn)P，使得為正三角形，求直線AB的斜率的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)漸近線方程求出的關(guān)系，再根據(jù)過(guò)點(diǎn)求出方程.(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)易得為原點(diǎn)，驗(yàn)證；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)設(shè)方程為，點(diǎn)，又為正三角形找到的關(guān)系，化簡(jiǎn)求解.【詳解】（1）雙曲線C：的漸近線為直線l：為曲線C：的漸近線，所以即，所以雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn).即，所以，所以雙曲線方程為：（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則為原點(diǎn)，則，舍去.由題意得的斜率一定不為零，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)方程為，點(diǎn).把直線方程代入雙曲線方程得：并且即則故線段的中點(diǎn)為，又為正三角形，故，由正三角形可得即則即代入，若，則，不滿足，則，得則，又兩點(diǎn)在右支上，故，則，解得.考點(diǎn)八直線與雙曲線的定點(diǎn)問(wèn)題直線定點(diǎn)33．（2022秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)，的雙曲線的右頂點(diǎn)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）將、點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，即可解出結(jié)果；（2）由已知可得，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，直線的方程為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)條件可知不滿足；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，表示出的方程為，證明該直線過(guò)點(diǎn)，即證明恒成立.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出與，代入整理，即可證明.【詳解】（1）由已知可得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由（1）可得，，設(shè)，，，直線的方程為.由可得，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn).假設(shè)直線的斜率不存在，此時(shí)直線的方程為，此時(shí)直線與雙曲線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足，所以直線斜率一定存在.設(shè)斜率為，則直線的方程為，即.因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，設(shè)，則有，所以，所以.于是的方程為.下面證明：直線過(guò)定點(diǎn).即證，即證，即證.又，代入左邊可得，（*）聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程，可得，由已知應(yīng)滿足，解得且，且，代入（*）式可得，恒成立，所以，直線過(guò)定點(diǎn).34．（2022秋·廣東廣州·高三廣州市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在C上．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為A．證明：直線AQ過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可分析得點(diǎn)，，在雙曲線上，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，聯(lián)立即可求解；（2）設(shè)出直線的方程為，并與雙曲線方程聯(lián)立，再設(shè)出，的坐標(biāo)，求出直線的方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可證明．【詳解】（1）由題意可知點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，一定在雙曲線上，而，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)不在雙曲線上，所以點(diǎn)，，在雙曲線上，則，解得，，所以雙曲線方程為；（2）證明：設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程可得：，設(shè)，，，，則，則，，所以直線的方程為：，即，令，則，由，，得，所以，綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．35．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)已知可求出，，即可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)，，.設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立得到，根據(jù)韋達(dá)定理求出，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，整理得到，因?yàn)樵撌綖槌?shù)，所以有，求出，代入即可求出常數(shù).【詳解】（1）由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線焦點(diǎn)，.則到漸近線，即的距離為，所以，又漸近線的斜率為2，即，所以，所以雙曲線的方程為.（2）由已知可得，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則.聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程可得，，設(shè)，，.當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，所以，.，解得，且.由韋達(dá)定理可得，，且，.又，，則，因?yàn)?，，所以，要使為常?shù)，則應(yīng)與無(wú)關(guān)，即應(yīng)有，解得，此時(shí)是個(gè)常數(shù)，這樣的點(diǎn)存在.所以，在軸上存在定點(diǎn)的坐標(biāo)為，使得為常數(shù).等角定點(diǎn)36．（2022秋·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等軸雙曲線：的虛軸長(zhǎng)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)軸上是否存在一定點(diǎn)P，使得?若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)滿足題意的定點(diǎn)Р存在，坐標(biāo)為.【分析】（1）由題意得，，即可得到雙曲線方程；（2）根據(jù)已知可設(shè)直線AB的方程為.設(shè)存在，根據(jù)，可得，代入相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，由的任意性，即可得出存在.【詳解】（1）由雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為，有，可得，又由雙曲線C是等軸雙曲線，可得，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知，，，則雙曲線C的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)直線AB的方程為，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，可知直線與雙曲線的漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以.則恒成立，有，，，.若，可知直線AP和直線BP的斜率互為相反數(shù)，即.又，，所以整理可得，，即，即.要使時(shí)，該式恒成立，即與的取值無(wú)關(guān)，則應(yīng)有，所以.由上知滿足題意的定點(diǎn)Р存在，坐標(biāo)為.37．（2022秋·浙江寧波·高二效實(shí)中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線：的離心率為，且右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為．(1)求雙曲線方程；(2)設(shè)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)．在軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)以及距離公式得出方程；（2）由三角函數(shù)得出，，再由結(jié)合倍角公式得出.【詳解】（1）由題意可知，，解得即雙曲線方程為；（2）設(shè)，，，則，.因?yàn)椋约?，即，?所以，存在點(diǎn)滿足題意.38．（2022秋·廣東江門·高二江門市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線.斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線相交于，兩點(diǎn).(1)求曲線的方程；(2)求斜率的取值范圍；(3)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得無(wú)論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，總有軸平分？如果存在，求出定點(diǎn)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)題意與雙曲線定義可以判斷出的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，根據(jù)定義即可寫出曲線的方程；（2）曲線的方程與直線聯(lián)立，根據(jù)存在兩個(gè)交點(diǎn)列出條件解出即可得出斜率的取值范圍；（3）軸平分即是，將用A、B和M的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可求出定點(diǎn).【詳解】（1）由可知，的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，虛軸長(zhǎng)為，所以曲線的方程為：；（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，整理得，因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，，所以，解得或，故斜率的取值范圍為；（3）由軸平分可知，由（2）可得，又，，則，，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，則，，即，展開可得因?yàn)樾甭实娜≈捣秶鸀椋?，即，整理可得：，即，得，所以軸上存在定點(diǎn)，且圓定點(diǎn)39．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率，且點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在求直線的方程，若不存在說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)詳解【分析】(1)根據(jù)雙曲線的離心率可得：，然后再利用曲線過(guò)點(diǎn)即可求解；(2)易知：直線的斜率不存在時(shí)，不存在，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與曲線方程，消元列出韋達(dá)定理，依題意要存在，則有，此方程無(wú)解，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，則，，所以雙曲線可化為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，所以，則，故雙曲線的方程為：.（2）不存在，理由如下：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，是以和為端點(diǎn)的線段，則不存在以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理可得：，所以即，則，，，所以，若存在以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即，所以，解得：不存在，綜上，不存在這樣的直線，使得以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).40．（2022秋·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知、為橢圓C：的左右頂點(diǎn)，直線與C交于兩點(diǎn)，直線和直線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程.(2)直線l與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，直線的斜率與直線斜率之比為，求證以為直徑的圓一定過(guò)C的左頂點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)，由題可得，，根據(jù)斜率公式結(jié)合條件即得；（2）由題可設(shè)直線，方程，與聯(lián)立可得，進(jìn)而可得，然后根據(jù)斜率關(guān)系即得.（1）由題意得，，設(shè)，，，則，，即，，得，又∵點(diǎn)在C上，即，得，∴；（2）∵，設(shè)直線方程為，則方程為，聯(lián)立，得（且），設(shè)，得，，同理設(shè)，得，，，，∴，即，∴以MN為直徑的圓一定過(guò)C的左頂點(diǎn).41．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程.(2)若動(dòng)直線經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)【分析】（1）由漸近線夾角得或，結(jié)合雙曲線所過(guò)點(diǎn)可求得，由此可得雙曲線方程；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，可知；假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可化簡(jiǎn)整理，根據(jù)等式恒成立的求解方法可得的值.【詳解】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；當(dāng)時(shí)，由得：，，雙曲線的方程為：；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；綜上所述：雙曲線的方程為：.（2）由題意得：，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則恒成立；方法一：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).方法二：①當(dāng)直線斜率為時(shí)，，則，，，，，，解得：；②當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，；當(dāng)，即時(shí)，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).42．（2022秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為是雙曲線上的一點(diǎn)，且的面積為4．(1)求雙曲線的方程；(2)分別是雙曲線的左?右頂點(diǎn)，是雙曲線上異于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn)，問(wèn)以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出此定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)以為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn)和【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，求得，從而求得雙曲線的方程.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)直線和直線的方程求得的坐標(biāo)，從而求得以為直徑的圓的方程，進(jìn)而求得定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）離心率，所以①，由于是直角三角形，且②，由于，所以③，由①②③解得，故雙曲線的方程為：．（2）設(shè)，則直線的方程為：，令，解得，即，直線的方程為：，令，解得，即．設(shè)以為直徑的圓上任意一點(diǎn)為，故有：，代入坐標(biāo)，，則以為直徑的圓的方程為，注意到：上式對(duì)任意的點(diǎn)恒成立，由對(duì)稱性可令，則，由于在雙曲線上，則，即，代入上式，解得，所以，以為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn)和．考點(diǎn)九直線與雙曲線的定值問(wèn)題43．（2022秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線C過(guò)點(diǎn),.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知,過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N,設(shè)直線AM、AN的斜率分別為、,求證:為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)設(shè)雙曲線C的方程為,將,代入求解即可;(2)由題意易得直線l的斜率存在,設(shè),,直線l的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線方程,化簡(jiǎn)的式子,結(jié)合韋達(dá)定理即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為,將,代入上式得:,解得,雙曲線C的方程為.（2）設(shè),,由題意易得直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為,代入整理得,,,,且,則,故為定值.44．（2022秋·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)滿足．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）與直線交于點(diǎn)．設(shè)直線的斜率分別為，，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出即可求雙曲線方程；(2)設(shè)，，將直線的斜率，之積表示為的代數(shù)表達(dá)式，利用韋達(dá)定理即可證明.【詳解】（1）由題意知，，又，所以，，由，可得，又，所以，故，所以雙曲線的方程為；（2）因?yàn)?，，若直線的斜率不存在，則與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意，故的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立得：，設(shè)，，則，．因?yàn)椋剩?，①又，，所以：，②?lián)立①②，解得，于是所以為定值．45．（2022秋·江蘇·高二海安高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離是，不與坐標(biāo)軸平行的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（異于），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：在雙曲線上存在定點(diǎn)，使得的面積為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)定值為，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件及雙曲線的漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式及點(diǎn)在雙曲線上，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)已知條件及直線的斜截式方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及三點(diǎn)共線，結(jié)合兩直線相交及三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，一條漸近線為，則由題意可知，，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，,則，消去，得，，因?yàn)?，所以，所以，所以所以，由題意可知，，由三點(diǎn)共線可得即，由三點(diǎn)共線可得即，相交可得，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)在定直線上，則使得的面積為定值的點(diǎn)一定為過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線與雙曲線的交點(diǎn)，此時(shí)，且.46．（2022秋·河南·高三期末）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率是．(1)求雙曲線的方程；(2)在雙曲線上任取兩點(diǎn)，滿足，過(guò)作于，求證：存在定點(diǎn)，使是定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求雙曲線方程即可；（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程得由得或，分類討論即可.【詳解】（1）由題知，,，又因?yàn)椋獾茫?（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程所以，或，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，不符合題意，舍去；所以，直線恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)樵谥?，存在定點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，使得.47．（2022秋·河北衡水·高三校考階段練習(xí)）已知雙曲線的上?下頂點(diǎn)分別為為虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)直線與雙曲線交于不同于的兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于點(diǎn)，證明：存在定點(diǎn)，使為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）不妨設(shè)，求出、的坐標(biāo)，根據(jù)可得答案；（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理求出，，，根據(jù)求出，代入整理得，求出，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入雙曲線方程，根據(jù)，求出矛盾；再由，得點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓的圓心，為圓的半徑可得答案.【詳解】（1）由題，不妨設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，解得，所以的方程為；?）設(shè)，且，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，整理得，且，所以，，，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，不符合題意，所以時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入雙曲線方程，得所以，且，，所以，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以，解得與矛盾；因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓的圓心，為圓的半徑，由為的中點(diǎn)，得，，所以存在定點(diǎn)，使得使為定值.48．（2022·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，動(dòng)點(diǎn)C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3．(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程E．(2)過(guò)點(diǎn)作直線l交曲線E于P，Q兩點(diǎn)（P，Q在y軸兩側(cè)），過(guò)原點(diǎn)O作直線的平行線交曲線E于M，N兩點(diǎn)（M，N在y軸兩側(cè)），試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)為定值2【分析】（1）設(shè)，則由題意可得，化簡(jiǎn)后可得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；（2）由題意設(shè)直線：，，，將直線方程代入雙曲線方程中化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出，設(shè)的方程為，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)后可表示出，從而可求出的值.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€AC與直線BC的斜率乘積為3，所以，所以，故動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為．（2）易知直線的斜率存在且不為0．設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程組得，則，因?yàn)镻，Q在y軸兩側(cè)，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以的方程為．設(shè)，則，聯(lián)立方程組，得．所以，，所以，所以，即為定值2．49．（2022秋·遼寧本溪·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為8，雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)分別是雙曲線的左?右頂點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)（不與重合），線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)焦距為8，可得，再用點(diǎn)到直線的距離公式可解；（2）先寫出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的斜率，可得線段的垂直平分線方程，分別求出其與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入可證.【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，左焦點(diǎn)為，所以，所以.又焦距為8，所以，所以，故所求雙曲線的方程為.（2）證明：設(shè)，由（1）得，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，又，則直線的方程為，即又直線的方程為，聯(lián)立方程得，又，代入消去，得，因?yàn)?，所?所以，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，所以為定值.考點(diǎn)十直線與雙曲線的定直線問(wèn)題50．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線：的離心率為，其左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，為的左支上不同于的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)為時(shí)，線段的中點(diǎn)恰好在軸上．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)，連接交的右支于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：當(dāng)在的左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)離心率公式和點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)點(diǎn)，，，分別根據(jù)韋達(dá)定理，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出．【詳解】（1）由離心率，，得，當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)為時(shí)，線段的中點(diǎn)恰好在軸上，則軸為的左焦點(diǎn)，故，代入:的方程得：，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，其中，，由題意知，直線的斜率存在且不為，設(shè)：，代入，得，，則，，則，由題意知，直線：，直線：相交于點(diǎn)，所以，即，解得，故當(dāng)在的左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在直線上．51．（2022秋·江蘇徐州·高三期末）已知雙曲線E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)過(guò)平面上一點(diǎn)M分別作E的兩條漸近線的平行線，分別交E于P、Q兩點(diǎn)，若直線PQ的斜率為2，證明：點(diǎn)M在定直線上．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可設(shè)雙曲線E的方程為，又因?yàn)镋過(guò)點(diǎn)，代入即可得出求出E的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立和求出的坐標(biāo)，即可表示出直線的斜率，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線方程為，所以可設(shè)雙曲線E的方程為，因?yàn)镋過(guò)點(diǎn)，所以，，所以E的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立解得聯(lián)立解得不妨設(shè)，，所以，所以，所以點(diǎn)M在定直線y＝x上．52．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知分別為雙曲線