2023屆高考數(shù)學(xué)專項練習(xí)利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角

與距離的問題

【考點預(yù)測】

知識點1：線與線的夾角

（共面直線1平行直線

（1）位置關(guān)系的分類：人劇且決［相交直線

〔異面直線:不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a'//a,b'〃匕,把優(yōu)與b'所成的銳角（或直

角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

②范圍：（0,專］

③求法:平移法:將異面直線a,b平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形.

知識點2：線與面的夾角

①定義:平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.

②范圍:堂］

③求法：

常規(guī)法:過平面外一點B做口日，平面a,交平面a于點夕；連接AB'，則NBAB'即為直線AB與平

面a的夾角.接下來在中解三角形.即sin/R4B'=%=高（其中九即點B到面a

的距離，可以采用等體積法求優(yōu)斜線長即為線段AB的長度）；

知識點3：二面角

（1）二面角定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這

兩個平面稱為二面角的面.（二面角a-1-p或者是二面角A-CD-B）

（2）二面角的平面角的概念:平面角是指以二面角的棱上一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的

兩條射線,這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍［0,初.

（3）二面角的求法

法一:定義法

在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，

如圖在二面角a—I—的棱上任取一點O,以O(shè)為垂足，分別在半平面a和￡內(nèi)作垂直于棱的射線

OA和OB,則射線04和。6所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點可以不相同，那

求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）.

法二:三垂線法

在面a或面。內(nèi)找一合適的點4,作AO_L￡于。，過4作ABJ_c于里則為斜線48在面￡內(nèi)

的射影，NA5O為二面角a—c—0的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點做面的垂線；即過點力，作40，￡于O;

②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過A作AB_Lc于5連接BO；

③計算：/ABO為二面角a—c—0的平面角，在A"VLB0中解三角形.

圖1圖2圖3

法三:射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影

面積公式（cos。=，如圖2）求出二面角的大?。?/p>

b鐘D&4BC

法四:補梭法

當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為

補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當(dāng)二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝

影面積法解題.

法五:垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是

二面角的平面角.

例如：過二面角內(nèi)一點A作力B_La于作AC±6于。，面ABC交棱Q于點O,則NBOC就是二

面角的平面角.如圖3.此法實際應(yīng)用中的比較少，此處就不——舉例分析了.

知識點4：空間中的距離

求點到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解.

【題型歸納目錄】

題型一:異面直線所成角

題型二:線面角

題型三:二面角

題型四:距離問題

【典例例題】

題型一:異面直線所成角

例1.（2022?吉林?長春市第二實收中學(xué)南三階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A.BXCXDX中,

M,N,E,F分別是Z）a,BC,CQi的中點，則異面直線MN與EF所成的角為（）

A.yB.與

O

「2LD—

。64

例2.（2022.四川內(nèi)江.模擬預(yù)測（理））如圖，在直三棱柱ABC-45G中，BCJ_面ACC.A,,CA=CC、

=2CB,則直線BQ與直線工場夾角的余弦值為（）

A也B跡

「瓜n3

-~-U.—

55

例3.（2022?全國?模擬預(yù)測）己知正方體中ABCD—4BQQ,E,G分別為AQi，GR的中點，則直線

4G,CE所成角的余弦值為（）

V30nV30

A.

10

4V5

C.D-^5-

例4.（2022?全國?模擬頸測）在如圖所示的圓錐中，底面直徑為4代，母線長為4,點。是底面直徑AB所對

弧的中點，點。是母線PB的中點，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為

例5.（2020?黑龍江?哈彈大附中高三期末（文））如圖，在正三棱柱ABC-4BG中，AB==2,M、N

分別是BBX和的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（）

A墾.之B.

「2Df

c,虧

例6.（2023?全國?高三專題練習(xí)（文））如圖，在四面體ABC。中，NBCZ）=90°,AB_L平面BCD,AB=

BC=CD,P為AC的中點，則直線BP與AD所成的角為（）

A.襲B嗇

0

匹

。C3D.當(dāng)

例7.（2022?河南省杞縣高中模擬fl測（文））如圖，在三棱柱ABC-A^C,中，入4_L平面ABC,乙4cB

=90°,BC^AAt=V3,AC=1,則異面直線AC,與CBX所成角的余弦值為（）

V2娓

A.B.

3~4~

V32V5

C.D.

25

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在正方體ABC?！狝BQQ中，過點C做直線，，使得直線I與直線BA1

和/R所成的角均為70。,則這樣的直線從）

A.不存在B.2條

C.4條D.無數(shù)條

例9.（2022?湖南?長沙一中高三開學(xué)考試）已知點4為圓臺002下底面圓。2的圓周上一點，S為上底面

圓Oi的圓周上一點，且SO1=1,=遍，。必=2,記直線SA與直線0,0.2所成角為仇則（）

A"C（0端］

B.（0奇］

■號］

D.。€年向

例10.(2022?沏北武漢?模擬預(yù)測)已知異面直線a,b的夾角為。，若過空間中一點P,作與兩異面直線夾角

均為專的直線可以作4條，則6的取值范圍是.

例11.(2022?江蘇常州?模擬預(yù)測)在三棱錐A-BCD中，已知48，平面BCD,BC_LC。，若=2,

BC=3=4,則4c與BD所成角的余弦值為.

題型二:線面角

例12.(2022?福建?三明一中模擬預(yù)測)已知正方體4BCD—ABQQi中，4B=2四,點E為平面4BO

內(nèi)的動點，設(shè)直線AE與平面A.BD所成的角為a,若sina=2售，則點E的軌跡所圍成的面積為—

D

例13.(2022?全國?模擬fl測(?))如圖，在三棱臺ABC-ASG中，44_1_平面ABC,AABC=90°,

441=43=&。1=1,4?=2,則AC與平面BCCiB所成的角為

()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

例14.(2022?河南安陽?模擬51測(<))如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=

2,PB=PC,。為AB的中點.

(1)證明：BC_LPD；

(2)若AC_LPB,PA=3,求直線PA與平面PBC所成的角的正弦值.

例15.(2022?河南安FB?模擬覆瀏(<))如圖，在四面體ABCD中，AB=，BC=CD,E為的中點,

F為AC上一點.

⑴求證:平面ACE±平面BDF；

⑵若NBC0=9O°,ZBAD=60°,AC=，5BC,求直線B尸與平面

4CO所成角的正弦值的最大值.

B

例16.(2022?吉林?長春市第二實段中學(xué)高三階段練習(xí))如圖，已知四棱錐P-ABC。中，PO_L平面

ABCD,且AB〃DC,4AB=DC,PM=^PC.

5

(1)求證：P力〃平面MDB；

⑵當(dāng)直線PC,PA與底面ABCD所成的角都為?且。。=4,時，求出多面體MPABD的

體積.

AB

例17.(2022?全國?高三專題練習(xí)(文))己知正三棱柱ABC-A8G中，力B=2,Af是BG的中點.

⑴求證：力G〃平面4MB；(V

(2)點P是直線力G上的一點，當(dāng)AG與平面ABC所成的角的正切值為2

時,求三棱錐P-4MB的體積.

例18.(2022?四川盾瀘縣第二中學(xué)模擬很測(文))如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形,

△S4O為等腰直角三角形，SA=SD=2U,AB=2,R是BC的中點.

(1)在AD上是否存在點E,使得平面SEF±平面4BCO,若存在，求出點E的位置;若不存在,請說

明理由.

(2)ASBC為等邊三角形，在(1)的條件下,求直線SE與平面SBC所成角的正弦值.

例19.(2022?江蘇南通?模板fll測)如圖，在矩形ABCD中，=4,M,N分別是和CO的中

點，P是的中點.將矩形AMND沿MN折起,形成多面體AMB-DNC.

(1)證明：BO〃平面ANP；

⑵若二面角A-MN-B大小為120°,求直線AP與平面ABCD所成角的正弦值.

題型三:二面角

例20.(2023?河北?高三階段練習(xí))如圖，ABCO為圓柱O。，的軸截面，E尸是圓柱上異于的母線.

(1)證明：BE,平面。EF；

(2)若AB=BC=遍，當(dāng)三棱錐B—DEF的體積最大時，求二面角B-DF—E的正弦值.

例21.(2023?全國?高三專題練習(xí)(理))如圖，在三棱錐P-ABC中，=BC=2,PA==PC=4。

=22，O為AC的中點.

⑴證明：PO_L平面4BC；

⑵若點M在棱上，且PM與面A5C所成角的正切值為瓜,求二面

角Af—R4—C的平面角的余弦值.

例22.(2022?廣東?大埔縣虎山中學(xué)南三階段練習(xí))如圖，力B是圓的直徑，P力垂直圓所在的平面，。是圓

上的點.

(1)求證:平面P4C±平面PBC；

(2)若AB=2,AC=1,P4=L求:二面角C-P3-4的正切值.

例23.(2022?北京?景山學(xué)校模擬預(yù)測)如圖，正三棱柱ABC-A.B.C,中，E,F分別是棱441，CG上的

點，平面BEF±平面AB84,“是45的中點.

⑴證明：C7W〃平面BER；

(2)若4。=4￡=2,求平面BEF與平面/BC夾角的大小.

B

例24.(2022?湖南?小禮中學(xué)二?)如圖，在正方體ABCD-4BGR中，點后在線段CD1上，CE=2EDX,

點F為線段AB上的動點.

⑴若EFH平面A。。/],求篇的值；

(2)當(dāng)尸為4B中點時，求二面角E—OF—。的正切值.

例25.(2022?天津*華中學(xué)一模)如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面ABCD_L平面ABE,AB//DC,

AB±BC,AB=2BC=2CD=2,=，點M■為BE的中點.

(1)求證：CM〃平面力DE；

(2)求平面EBD與平面BDC夾角的正弦值：

例26.(2022?浙江?海寧中學(xué)模擬fit測)如圖所示，在四邊形ABCD中，4?！˙C,AB_L=

yBC.現(xiàn)將/\ABD沿BD折起，使得點A到E的位置.

(1)試在邊上確定一點R,使得BD±EF；

(2)若平面EBD±平面BCD,求二面角E-BC-D所成角的正

切值.

例27.(2022?湖北武漢?模擬現(xiàn)瀏)如圖，在三棱錐P-中，平面PAC_1_平面ABC,PA=PC=4,

ABJ_BC,D,E分別為PC,AC中點，且BD_L力C.

⑴求管號的值；

(2)若工。=4,求二面角E-BO-C的余弦值.

例28.(2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)二模(理))在如圖所示的圓錐中，R4、PB、PC是該圓錐的三

條不同母線，M、N分別為P4、PB的中點，圓錐的高為兒底面半徑為r,A:r=3:2,且圓錐的體積為

327r.

⑴求證:直線MN平行于圓錐的底面；

(2)若三條母線PA、PB、PC兩兩夾角相等，求平面MNC與圓錐底面的夾角的

余弦值.

例29.(2022?天津河北?二模)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，^ABC=60°,四邊形PACQ是矩

形，PA=1,且平面PACQ±平面ABCD.

(1)求直線BP與平面PACQ所成角的正弦值;

(2)求平面BPQ與平面DPQ的夾角的大?。?/p>

例30.(2021?江蘇蘇州?高三階段練習(xí))已知四棱錐Q-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，且平

面QAD±平面ABCD.

(1)證明：AB_LQD；

(2)若點Q到平面ABCD的距離為2，記二面角B-QO-4的正切值

為m,求」-+QD的最小值.

題型四:距離問題

例31.(2022?四川廣安?模擬51測(文))如圖，四棱錐E—力BCD中，底面/BCD為直角梯形，其中AB±

BC,CD〃AB,面48￡_1_面45。9,且AB=AE=8E=2BC=2CD=4,點M在棱4E上.

⑴若2EM=AM,求證：CE//平面BDM.

(2)當(dāng)力EJ.平面MBC時，求點E到平面BDM■的距離.

例32.(2022?全國?模擬fl測(文))如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB_L平面ABC,AC^BC,PA^

PB,且點。在以點。為圓心為直徑的半圓崩上.

(1)求證：/BJ.PC；

⑵若47=2,且PC與平面ABC所成角為卷，求點8到平面P4C的距離.

AB

O

C

例33.(2022?河南安FB?模擬頻測(文))如圖，在三棱錐P-4BC中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=

2,23=「。，。為4口的中點.

(1)證明：BCLPO；

(2)若PA=3,=啰,求點A到平面PDC的距離.

例34.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，在直棱柱ABCD-45GD中，底面ABCD是直角梯形，

ABHDC,AB±BC,AB=3DC=3,8。=6,點2在面ADD.A,上，過點P和棱3田的平面把直棱

柱分成體積相等的兩部分.

(1)求截面與直棱柱的側(cè)面BCGB所成角的正切值;

(2)求棱OA到截面的距離.

例35.(2021?湖南獐大附中高三階段練習(xí))如圖，已知&ABC為等邊三角形，。，E分別為4。，邊的中

點,把ZVIOE沿DE折起，使點A到達(dá)點P,平面PDE±平面BCDE,若BC=4.

(1)求PB與平面BCDE所成角的正弦值；

(2)求直線DE到平面PBC的距離.

BB

例36.(2022?黑龍江齊齊哈爾?三模(文))如圖所示的斜三棱柱ABC-A{B{CX中，AAXB}B是正方形,且點

G在平面AA.B.B上的射影恰是43的中點H,河是G8的中點.

⑴判斷與面C44G的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若GH=四，45=2,求斜三棱柱兩底面間的距離.

例37.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在直三棱柱ABC-45G中，AAl=2,AB=l,^ABC=90°；點

D、E分別在上，且8出_|_4。,四棱錐C—與直三棱柱的體積之比為3：5.求異面

直線OE與BG的距離.

例38.(2022?上海市實驗學(xué)校模板預(yù)測)如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為2，側(cè)棱與底面所成角

大小為60°.

(1)求此正三棱錐體積；

(2)求異面直線PA與BC的距離.

例39.（2020?全國?高三專題練習(xí)（文））如圖，四棱錐P-ABCO中，底面4BC。為矩形，凡4_1.底面

力58,。4=43=蓼，AD=L點E是棱PB的中點.直線與平面ECD的距離為（）

13

A.1?冬

c.4OD.V2

例40.（2020?全國?高三專題練習(xí)（文））用六個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六

面體ABCD-45GR的棱長為4,則平面ABXDX與平面BCQ間的距離為（）

A.V3B.乎C.D.2V3

oJ

利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離的問題

【考點測】

知識點1：線與線的夾角

f拄面直線!平行直線

（1）位置關(guān)系的分類：八冏且淺（相交直線

〔異面直線:不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a'Ha,b'〃匕,把優(yōu)與b'所成的銳角（或直

角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

②范圍：（0,專］

③求法:平移法:將異面直線a,b平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形.

知火點2：線與面的夾角

①定義:平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.

②范圍:堂］

③求法：

常規(guī)法:過平面外一點B做口日，平面a,交平面a于點夕；連接AB'，則NBAB'即為直線AB與平

面a的夾角.接下來在中解三角形.即sin/R4B'=%=高（其中九即點B到面a

的距離，可以采用等體積法求優(yōu)斜線長即為線段AB的長度）；

知識點3：二面角

（1）二面角定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這

兩個平面稱為二面角的面.（二面角a-1-B或者是二面角A-CD-B）

（2）二面角的平面角的概念:平面角是指以二面角的棱上一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的

兩條射線,這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍［0,初.

（3）二面角的求法

法一:定義法

在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，

如圖在二面角a—I—的棱上任取一點O,以O(shè)為垂足，分別在半平面a和￡內(nèi)作垂直于棱的射線

OA和OB,則射線04和。6所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點可以不相同，那

求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）.

法二:三垂線法

在面a或面。內(nèi)找一合適的點4,作AO_L￡于。，過4作ABJ_c于里則為斜線48在面￡內(nèi)

的射影，NA5O為二面角a—c—0的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點做面的垂線；即過點力，作40，￡于O;

②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過A作AB_Lc于5連接BO；

③計算：/ABO為二面角a—c—0的平面角，在A"VLB0中解三角形.

圖1圖2圖3

法三:射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影

面積公式（cos。=，如圖2）求出二面角的大??；

b鐘D&4BC

法四:補梭法

當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為

補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當(dāng)二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝

影面積法解題.

法五:垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是

二面角的平面角.

例如：過二面角內(nèi)一點A作力B_La于作AC±6于。，面ABC交棱Q于點O,則NBOC就是二

面角的平面角.如圖3.此法實際應(yīng)用中的比較少，此處就不——舉例分析了.

知識點4：空間中的距離

求點到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解.

【題型歸納目錄】

題型一:異面直線所成角

題型二:線面角

題型三:二面角

題型四:距離問題

【典例例題】

題型一:異面直線所成角

例1.（2022?吉林?長舂市第二實會中學(xué)南三階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A.B.C.D,中,

分別是Qa,8C,CQi的中點，則異面直線與EF所成的角為（）

A2LR工

A,2口,3

D.

c.464

【答案】C

【解析】取CC、的中點H,連接FH,EH,NH,ME,

由正方體的性質(zhì)可知NH〃ME且NH=ME,所以MNHE為平行四邊形,

所以MN〃EH,

所以異面直線與EF所成的角的平面角為/EE",

又AB=2,

則EH=FH=V2,FE=V22+l2+l2=A/6,

22

則cosZ-FEH=EH+EF-FH-_V3

2xEHxEF--F

所以NFEH=專,

故選：C.

例2.（2022?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測（理））如圖，在直三棱柱ABC-45G中，5。，面ACC.A,,CA=CC,

=2CB,則直線BQ與直線夾角的余弦值為（）

A誓5B.43

C.坐D.4

55

【答案】C

【解析】連接CBi交BG于。，若E是A。的中點，連接BE,ED,

由ABC-為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知：。是CB］的中點,

所以ED//AB,,故直線與直線4場夾角，即為ED與BC,

的夾角NBDE或補角,

若BC=1,則CE=1,BD=CD=^-,

BC_L面ACC}A},ECu面ACC}AX，則CB，CE,

而ECLCCi,又BCC\eg=C,BC,CC\u面BCC.B.,故EC

±面BCCiBi,

又CDu面BCG8,所以CEJ_CD.

所以ED=y/CD，2+CE2=-|-,BE=dCB7CE2=V2,

魯+>2_展

222

在/^BDE中cosZ.BDE=BD+ED-BE

2BD-ED2X多「.

故選:C

例3.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知正方體中ABCD—AiBQQi，E,G分別為43,GR的中點，則直線

4G,CE所成角的余弦值為（）

V30V30

AA-1FBR.十

4V5nV145

c-irD-

【答案】c

【解析】如圖所示：

取AB的中點F,連接EF,CF,易知4G//CF,則NECF（或其補角）為直線

AG與CE所成角.不妨設(shè)AB=2,則CF=V5,EF=V6,EC='i,由余弦定理

得cosNECF=年邛二/=今售，即直線AtG與CE所成角的余弦值為絳.

2XJX"5血血

故選：C.

例4.（2022?全國?模椒頸測）在如圖所示的圓錐中，底面直徑為4遍,母線長為4,點。是底面直徑所對

弧的中點，點。是母線PB的中點，則異面直線力B與CD所成角的余弦值為

【答案】B

【解析】設(shè)底面圓心為連接P。，OO,取P。的中點E,連接DE,CE,則DE//AB,

且OE=所以ZCDE為AB與CD所成的角（或其補角）.

由題意知OB=2j^,PB=4,所以PO=2,所以CE=布爐轉(zhuǎn)了=〃豆.

由題意知OC±PO,ABQPO=O,POu平面POB,

所以O(shè)CJ_平面POB.又OCu平面P。。，所以平面POC_L平面POB,

又平面POCCI平面POB=PO,DEU平面POB且DE工PO,

所以DE_L平面POC,因為CEu平面POC,

所以O(shè)E，CE.又DE=4OB=業(yè)所以CD=VDE2+CE2=4,

所以cosNCDE=§.

故選：B.

例5.（2020?黑龍江?哈舜大附中方三期末（文））如圖，在正三棱柱ABC-ABQ中，=44產(chǎn)2,M、N

分別是和5G的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（

A.之B.

c.4D

5f

【答案】D

【解析】作BC的中點、E,連接5E,作BE的中點P,連接M3A{F,

即AAMF為異面直線AM與CN所成的角，

由已知條件得B[E=V22+l2=0，則MF=坐，AM=V22+l2=V5,

由余弦定理得AF=22+—2X2x-i-xcos6(T=,

在△AMF中，有余弦定理可知AF-=AM-+MF2-2AM-MF-cosAAMF,

即竽=5+卜2xx坐xcos/AMF,解得cos/4m,，

故選：D.

例6.（2023?全國?高三專題練習(xí)（文））如圖，在四面體ABC。中，NBCD=90°,AB_L平面BCD,AB=

BC=CD,P為AC的中點，則直線BP與AD所成的角為（）

A.4B工

64

C.飛D—

oU，2

【答案】D

【解析】在四面體ABC。中，48,平面BCD,CDU平面BC。，則AB_L

CD,而/BCD=90°,

即BC±CD,叉ABCBC=B,AB,BCu平面ABC,則有CDJ_平面ABC,而BPu平面ABC,

于是得CD_LBP,因P為AC的中點，即ACYBP,而ACQCD=C,AC,CD（2平面ACD,

則BP_L平面ACD,又ADu平面ACD,從而得BP±AD,

所以直線BP與所成的角為年.

故選:D

例7.（2022?河南霍杞縣高中模擬fit測（文））如圖，在三棱柱ABC-A.B.C,中，工人」平面ABC,^ACB

=90°,BC=AAl=V3,47=1,則異面直線AG與CBi所成角的余弦值為（）

V2

A.

3

V32V5

C.

2

【答案】B

【解析】把三棱柱補成如圖所示長方體，連接BQ,CD,則BQ//AG,

所以NCB'D即為異面直線AG與CB1所成角（或補角）.

由題意可得8=43=，4。2+3。2=/可？=2,

BQ=4G=/松+CC9=2,+

CBl+B^-CD26+4-4娓

所以cos/CBQ==

2cBi-BQ2V6-2

故選：B.

AD

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在正方體ARC?！校^點C做直線Z,使得直線I與直線BAX

和BA所成的角均為70。,則這樣的直線Z（）

A.不存在B.2條

C.4條D.無數(shù)條

【答案】C

【解析】在正方體ABCD-4BQQ］中，連接AQ,BD,如圖，

則有BD〃BD，顯然AB=AD=BD,即直線BA和BQ1所成角AA.BD

=60°,

過點。做直線，與直線和BQ所成的角均為70°可以轉(zhuǎn)化為過點B做直

線。與直線BA1和BD所成的角均為70°,

N4BD的平分線AO與直線B4和BD都成30°的角，讓I'繞著點B從AO開始在過直線40并與平面

A'BD垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，

在轉(zhuǎn)動到I'±平面43。的過程中，直線Z'與直線34和BD所成的角均相等，角大小從30°到90°,

由于直線/'的轉(zhuǎn)動方向有兩種，從而得有兩條直線與直線84和30所成的角均為70°,

又AA'BD的鄰補角大小為120°,其角平分線與直線5A和BD都成60°的角，

當(dāng)直線廠繞著點3從的鄰補角的平分線開始在過該平分線并與平面43。垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時,

在轉(zhuǎn)動到I'_L平面A'BD的過程中，直線Z'與直線B4和所成的角均相等，角大小從60°到90°,

由于直線Z'的轉(zhuǎn)動方向有兩種，從而得有兩條直線與直線34和BD所成的角均為70°,

綜上得，這樣的直線，'有4條，

所以過點。與直線BA｝和BQ所成的角均為70°的直線，有4條.

故選:C

例9.（2022?湖南?長沙一中方三開學(xué)考試）已知點力為圓臺下底面圓O2的圓周上一點，S為上底面

圓。的圓周上一點，且SO|=1,。02=4，。24=2,記直線S力與直線0。2所成角為仇則（）

A.。€(0,和B.0e(0奇］C.6e■號］D.J€［勺晝］

【答案】C

【解析】由題意，設(shè)上下底面半徑分別為R,七，其中A1=1,七=2,

如圖，過S作SD垂直下底面于。，則OQWSD,

所以直線SA與直線所成角即為直線S4與直線SO所成角，即

乙ASD=?,

AD_AD

而tan。=~SD~UT，由圓的性質(zhì)，&

=3>

所以tan6*=遍］，所以96［專,左］,

故選：C.

例10.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知異面直線a,b的夾角為仇若過空間中一點P,作與兩異面直線夾角

均為f的直線可以作4條，則。的取值范圍是.

【答案】（拳專］

【解析】如圖，將異面直線a、匕平移到過P點，此時兩相交直線確定的平面為a,如圖，Q平移為優(yōu)，即PA,b

平移為〃，即8E.

a

設(shè)ZAPB=0,PCua且PC是/APB的角平分線，則PC與a'和b'的夾角相等，即PC與a、b夾角均相

等，

①將直線尸。繞著P點向上旋轉(zhuǎn)到PD,當(dāng)平面PCD_La時，PD與a'、b'的夾角依然相等，即PD與a、b

的夾角依然相等；

將直線PC繞著P點向下旋轉(zhuǎn)時也可得到與a、b的夾角均相等的另外一條直線，

易知PC與PA夾角為當(dāng)P。向上或向下旋轉(zhuǎn)的過程中，P。與PA夾角增大，則若要存在與兩異面直

線夾角均為告的直線，有〈警；

②同理，ZAPE=兀一出將NAPE的角平分線繞著P向上或向下旋轉(zhuǎn)可得兩條直線與a、b的夾角均為

如此，即可作出4條直線與異面直線a、b夾角均為年，

O

又0v0＜。e（.￡].

故答案為：傳，手].

例11.（2022?江蘇常州?模擬覆測）在三棱錐A-BCD中，已知AB，平面BCD,BC_LCD,若4B=2,

BC=CD=4,則力。與BD所成角的余弦值為___________________.

【答案】事

【解析】如圖，取AB,AD中點E,F,G,連接EF,FG,EG,

所以EF〃AC,FG〃BD,則/EFG（或其補角）即為AC與BD所成角，

因為AB_L平面BCD,所以4B_L3C，所以力。=2/5,則EF=，5,

因為3cl.cD,所以所以FG=2，2,,

A

取E0中點H,連接所以“G〃AB,所以HGL平面八

BO/\

所以HGLEH,又GH=±AB=1,EH=3CD=2,/&、\

所以EG=YGH&+EH?=娓,//\:平

（出產(chǎn)+（2d—（西）2_9

所以cosZ.EFG=

2xV5x2V2

所以AC與BD所成角的余弦值為胃口

O

故答案為：軍.

0

題型二:線面角

例12.（2022?福建?三明一中模擬覆測）已知正方體ABCD-48。。中，AB=2/,點E為平面AtBD

內(nèi)的動點，設(shè)直線AE與平面A.BD所成的角為a,若sina=竽,則點E的軌跡所圍成的面積為_

【答案】正

【解析】如圖所示，連接4G交平面4BO于O,連接EO,

由題意可知4G_L平面4B。，

所以NAEO是AE與平面AXBD所成的角，

所以Z.AEO=a.

由sina=2m可得tana=2,即=2.

0jC/Cy

在四面體4—ABD中，BD=AiD=A1B=2^/6,AB=AD=AA1=2V3,

所以四面體A—A\BD為正三棱錐，O為△BEZ41的重心，

如圖所示：

所以解得BO=§x2n=22，）0=，4呼-802=2,

又因為卻2,

所以EO=1,

即E在平面43。內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，

所以S=7tX12=7T.

故答案為：K.

例13.（2022?全國?模擬覆測（理））如圖，在三棱臺ABC-AiBiCi中，人4_L平面ABC,^ABC=90°,

441=4Bi=BC=l,48=2,則力。與平面BCQBi所成的角為

()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【答案】A

【解析】將棱臺補全為如下棱錐。一4BC,

由Z.ABC-90°,AAt—AtBt—BC=1,AB=2,易知：DA—BC—2,

AC=2V2,

由AAtJL平面ABC,AB,ACA.平面ABC,則AA,±AB,AAt±

AC,

所以口。=2⑥，8=2，5,故口。2+m2=82,

所以殳BCD=yx2x2V2=2V2,若A到面BCgBi的距離為伍又

=

^D-ABC匕-BCD,

則4x2xx2x2=-^-hx2V2，可得/1=V2,

JNo

綜上，47與平面BCG5所成角oe[o號]，則弧6=備=},即6

_兀

--6,

故選:A

例14.(2022?河南安國?模擬覆測(理))如圖，在三棱錐尸-ABC中，底面4BC是直角三角形，AC=BC=

2,PB=PC,。為48的中點.

(1)證明：BC_LPD；

(2)若力。_LPB,R4=3,求直線PA與平面PBC所成的角的正弦值.

【解析】(1)證明：如圖，取中點￡,連接PE,DE

?；PB=PC,E為BC中點、

：.PE±BC

又D為AB的中點、，所以DE〃AC

-底面力是直角三角形，/C=BC=2,/CJ_

即￡>EJ_BC

PEADE=E,