【要點(diǎn)知識(shí)梳理】拋物線的定義知足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：在平面內(nèi).(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等.定點(diǎn)不在定直線上.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)

焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程(p，0)x＝－p22pp(-2，0)x＝2pp(0，2)y＝－22x＝－2py（p>0)3.拋物線y2＝2px(p>0)的幾何性質(zhì)(1)離心率：e＝1.(2)p的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．(3)焦半徑：|MF|＝px0，此中M(x0，y0)．2

pp(0，－2)y＝2【方法技巧】拋物線的過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦叫拋物線的通徑，拋物線y2＝2px(p>0)的通徑長為2p.拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F的焦點(diǎn)弦AB的傾斜角為θ，則有以下性質(zhì)：(1)y1y2＝p2，x1x2＝p2.4(2)|AF|＝x1＋p＝p；21－cosθ|BF|＝x2＋p＝p；21＋cosθ|AB|＝x1＋x2＋p＝2p2.sinθ(3)S△AOB＝p2(θ為直線AB的傾斜角)．2sinθ(4)1＋12為定值.|AF||BF|p(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．(6)以AF或(BF)為直徑的圓與y軸相切．【隨堂訓(xùn)練】1．一動(dòng)圓的圓心在拋物線x2＝－8y上，且動(dòng)圓恒與直線y－2＝0相切，則動(dòng)圓必過定點(diǎn)A．(4,0)B．(0，－4)C．(2,0)D．(0，－2)答案D分析由拋物線的定義知到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線的距離相等，動(dòng)圓必過焦點(diǎn)．2．已知拋物線對(duì)于x軸對(duì)稱，它的極點(diǎn)在座標(biāo)原點(diǎn)O，而且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|＝A．22B．23C．4D．2512F且斜率為1的直線l被拋物線截得的線段長為3．已知拋物線C：y＝x，則過拋物線的焦點(diǎn)249B.17A.48C．5D．44．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線2＝4x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線訂交于A，B兩點(diǎn)，y此中點(diǎn)A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________．5．已知斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a＞0)的焦點(diǎn)F，且與y軸訂交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為________．答案：y2＝8x分析：依題意得，|OF|＝a，又直線l的斜率為2，可知|AO|＝2|OF|＝a，△AOF的面積等于421a2222·|AO||OF·|＝16＝4，則a＝64.又a＞0，因此a＝8，該拋物線的方程是y＝8x.6．平面內(nèi)知足：x－12＋y－12＝|x＋y－2|的動(dòng)點(diǎn)(x，y)的軌跡是________．2答案直線分析∵點(diǎn)(1,1)在直線x＋y－2＝0上，∴軌跡是過點(diǎn)(1,1)且斜率為1的直線．2的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝25，|AF|<|BF|，則|AF|＝7.過拋物線y＝2x12________.【高頻考點(diǎn)打破】考點(diǎn)1拋物線定義的應(yīng)用例1、(1)動(dòng)點(diǎn)P到直線x＋4＝0的距離減去它到點(diǎn)

M(2,0)的距離之差等于

2，則點(diǎn)

P的軌跡是A．直線

B．橢圓C．雙曲線

D．拋物線(2)在拋物線y2＝4x上找一點(diǎn)M，使|MA|＋|MF|最小，此中A(3,2)，F(xiàn)(1,0)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)的最小值．【感悟提高】利用拋物線的定義可解決的兩類問題(1)軌跡問題：用拋物線的定義能夠確立動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離相關(guān)的軌跡能否為拋物線.(2)距離問題：波及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、到準(zhǔn)線的距離問題時(shí)，注意二者之間的轉(zhuǎn)變?cè)诮忸}中的應(yīng)用

.【變式研究】求與直線

l：x＝－1相切，且與圓

C：(x－2)2＋y2＝1相外切的動(dòng)圓圓心

P的軌跡方程．考點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2.（1）求以下各拋物線的方程：①極點(diǎn)在座標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)M(－2，－4)；②極點(diǎn)在座標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)Q(m，－3)到焦點(diǎn)的距離等于5.2的橫坐標(biāo)之和為3，則拋物線的方程為________．【分析】（1）①設(shè)拋物線方程為y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)，則(－4)2＝m(－2)或(－2)2【感悟提高】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程除能夠用定義法和待定系數(shù)法外，還能夠利用一致方程法，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可一致設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來定，也就是說，不用設(shè)為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，這樣能減少計(jì)算量，同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)．【變式研究】焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______.考點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)例3、已知拋物線極點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在座標(biāo)軸上，又知拋物線上的一點(diǎn)A(m，－3)到焦點(diǎn)F的距離為5，求m的值，并寫出此拋物線的方程．②若拋物線張口方向向左或向右，可設(shè)拋物線方程為y2＝2ax(a≠0)，從p＝|a|知準(zhǔn)線方程可一致成【感悟提高】1．求拋物線的方程一般是利用待定系數(shù)法，即求p但要注意判斷標(biāo)準(zhǔn)方程的形式．2．研究拋物線的幾何性質(zhì)時(shí)，一是注意定義轉(zhuǎn)變應(yīng)用；二是要聯(lián)合圖形剖析，同時(shí)注意平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用．【變式研究】已知拋物線對(duì)于

x軸對(duì)稱，它的極點(diǎn)在座標(biāo)原點(diǎn)

O，而且經(jīng)過點(diǎn)

M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為A．22

3，則|OM|＝

(B．23

)C．4

D．25【規(guī)律總結(jié)】1.“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，很多拋物線問題均可依據(jù)定義獲取簡捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形聯(lián)合”是靈巧解題的一條捷徑．2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是由定義法，待定系數(shù)法，一致方程法

.【經(jīng)典考題精析】（2013·新課標(biāo)Ⅰ文）

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

F

為拋物線

C:

y2

42x的焦點(diǎn)，

P為C上一點(diǎn)，若|PF|

42，則

POF

的面積為（

）（A）2

（B）22

（C）

2

3

（D）

4（2013·新課標(biāo)Ⅱ卷）設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|，則l的方程為（）（A）y=x-1或y=-x+1（B）y=3（X-1）或y=3（x-1）33（C）y=3（x-1）或y=3（x-1）（D）y=2（x-1）或y=2（x-1）22（2013·江西文）已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x24y的焦點(diǎn)。射線FA與拋物線C訂交于點(diǎn)，F(xiàn)M與其準(zhǔn)線訂交于點(diǎn)N，則FM:MN=（）A．2:5B．1:2C．1:5D．1:3（2013·綱領(lǐng)文）已知拋物線C:y28x與點(diǎn)M2,2，過C的焦點(diǎn)且切率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若MAMB0，則k（）（A）1（B）2（C）2（D）222【答案】D【分析】設(shè)AB：yk(x2)代入y28x，【當(dāng)堂穩(wěn)固】1．過點(diǎn)P(－2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )2924A．y＝－x或x＝y(tǒng)232924yB．y＝x或x＝232924C．y＝x或x＝－y23D．y2＝－92x或x2＝－43y答案A分析設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P(－2,3)，解得k＝－9，m＝4，∴y223＝－924y，選A.x或x＝232．焦點(diǎn)為(2,3)，準(zhǔn)線是x＋6＝0的拋物線方程為()A．(y－3)2＝16(x－2)B．(y－3)2＝8(x＋2)C．(y－3)2＝16(x＋2)D．(y－3)2＝8(x－2)3．拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是()|a||a|A.4B.2aC．|a|D．－2答案B2|a||a|分析∵y＝ax，∴p＝2，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，應(yīng)選B.4．已知點(diǎn)P是拋物線2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距y＝2x離之和的最小值為()A.17B．329C.5D.25．一個(gè)正三角形的兩個(gè)極點(diǎn)在拋物線y2＝ax上，另一個(gè)極點(diǎn)在座標(biāo)原點(diǎn)，若這個(gè)三角形的面積為3，則a＝________.答案±23分析設(shè)正三角形邊長為x，則363＝12x2sin60.°x＝12.當(dāng)a>0時(shí)，將(63，6)代入y2＝ax得a＝23.當(dāng)a<0時(shí)，將(－63，6)代入y2＝ax得a＝－23，故a＝±23.6．已知拋物線y＝ax2－1的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形面積為________．答案2