歷屆《三角函數(shù)綜合題》中考真題訓(xùn)練１.（2023?貴陽)貴陽市某消防支隊(duì)在一幢居民樓前進(jìn)行消防演習(xí)，如圖所示，消防官兵運(yùn)用云梯成功救出在C處的求救者后，發(fā)現(xiàn)在C處正上方17米的B處又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯將其救出,已知點(diǎn)A與居民樓的水平距離是15米,且在A點(diǎn)測(cè)得第一次施救時(shí)云梯與水平線的夾角∠ＣＡＤ=6０°,求第二次施救時(shí)云梯與水平線的夾角∠BAD的度數(shù)(結(jié)果精確到１°）．2．(202３?營(yíng)口)如圖，一艘船以每小時(shí)3０海里的速度向北偏東７5°方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得碼頭C在船的東北方向,航行40分鐘后到達(dá)B處，這時(shí)碼頭C恰好在船的正北方向,在船不改變航向的情況下,求出船在航行過程中與碼頭Ｃ的最近距離.(結(jié)果精確到0.1海里,參考數(shù)據(jù)≈１.41,≈1.73)3.(20２3?黃岡）在黃岡長(zhǎng)江大橋的東端一處空地上,有一塊矩形的標(biāo)語牌AＢCD（如圖所示),已知標(biāo)語牌的高ＡB=5m,在地面的點(diǎn)E處，測(cè)得標(biāo)語牌點(diǎn)Ａ的仰角為30°,在地面的點(diǎn)Ｆ處,測(cè)得標(biāo)語牌點(diǎn)A的仰角為75°，且點(diǎn)E,F，Ｂ，C在同一直線上，求點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離.（計(jì)算結(jié)果精確到0．1米,參考數(shù)據(jù)：≈1.４１,≈１.７3)４．（２02３?隨州)風(fēng)電已成為我國(guó)繼煤電、水電之后的第三大電源，風(fēng)電機(jī)組重要由塔桿和葉片組成(如圖1),圖2是從圖1引出的平面圖.假設(shè)你站在A處測(cè)得塔桿頂端C的仰角是55°,沿ＨA方向水平前進(jìn)43米到達(dá)山底G處,在山頂B處發(fā)現(xiàn)正好一葉片到達(dá)最高位置，此時(shí)測(cè)得葉片的頂端D(D、C、H在同一直線上）的仰角是45°.已知葉片的長(zhǎng)度為３5米(塔桿與葉片連接處的長(zhǎng)度忽略不計(jì))，山高ＢG為10米，BG⊥ＨＧ,CH⊥AH，求塔桿CH的高．（參考數(shù)據(jù)：taｎ55°≈1．4，taｎ3５°≈0.7，sｉｎ55°≈0．8,sｉｎ35°≈0．6)5.(2023?桂林）“Ｃ919”大型客機(jī)首飛成功，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)航空科技的愛好,如圖是某校航模愛好小組獲得的一張數(shù)據(jù)不完整的航模飛機(jī)機(jī)翼圖紙,圖中AB∥ＣD，AM∥BN∥ED,AE⊥DE，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出線段ＢE和ＣD的長(zhǎng).（ｓin37°≈0．６0，ｃｏs3７°≈0.80,tan3７°≈0.75，結(jié)果保存小數(shù)點(diǎn)后一位）６(2023?青羊區(qū)模擬）如圖，小明今年國(guó)慶節(jié)到青城山游玩,乘坐纜車,當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱通過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B時(shí),它通過了200m，纜車行駛的路線與水平夾角∠α＝16°,當(dāng)纜車?yán)^續(xù)由點(diǎn)Ｂ到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，它又走過了200m,纜車由點(diǎn)Ｂ到點(diǎn)D的行駛路線與水平面夾角∠β=42°，求纜車從點(diǎn)Ａ到點(diǎn)D垂直上升的距離．(結(jié)果保存整數(shù)）（參考數(shù)據(jù):ｓiｎ1６°≈0．2７,cｏs16°≈0．77，sin42°≈0.66,coｓ42°≈0．７４）７．（２02３?呼和浩特)如圖,地面上小山的兩側(cè)有A,B兩地，為了測(cè)量A，B兩地的距離，讓一熱氣球從小山西側(cè)A地出發(fā)沿與AB成30°角的方向，以每分鐘40ｍ的速度直線飛行,10分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得ＣB與AB成7０°角,請(qǐng)你用測(cè)得的數(shù)據(jù)求A,B兩地的距離AB長(zhǎng).(結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表達(dá)即可)８.（20２3?張家界）位于張家界核心景區(qū)的賀龍銅像,是我國(guó)近百年來最大的銅像．銅像由像體AD和底座CD兩部分組成．如圖，在Rｔ△ＡBC中，∠ABC=70．５°,在Rｔ△DBC中，∠DＢC=45°,且CD＝２．3米,求像體AD的高度（最后結(jié)果精確到0．1米，參考數(shù)據(jù)：siｎ７０.５°≈０．943，cos70.5°≈0.334,tａｎ7０.5°≈２.824）9.（2０23?長(zhǎng)春）如圖,某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯AＢ的傾斜角為31°，ＡB的長(zhǎng)為１2米，求大廳兩層之間的距離BC的長(zhǎng)．(結(jié)果精確到0.１米）(參考數(shù)據(jù)：siｎ31°=0.515，ｃos31°＝0.８57，tａn３1°＝0.60)10（20２3?常德)南海是我國(guó)的南大門，如圖所示,某天我國(guó)一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域正在進(jìn)行常態(tài)化巡航,在Ａ處測(cè)得北偏東３0°方向上,距離為2０海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行,便迅速沿北偏東75°的方向前往監(jiān)視巡查,通過一段時(shí)間后，在C處成功攔截不明船只，問我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了多少海里(最后結(jié)果保存整數(shù)）？(參考數(shù)據(jù):coｓ75°=0．2５88，sin７５°=0．9６59,tan75°=3.7３２，=1.732,=1.414)11.（2０２3?黔東南州)黔東南州某校九年級(jí)某班開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，小明和小軍合作用一副三角板測(cè)量學(xué)校的旗桿，小明站在B點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端Ｅ點(diǎn)的仰角為45°,小軍站在點(diǎn)D測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為30°，已知小明和小軍相距（ＢD)６米,小明的身高（ＡB)1.5米，小軍的身高(ＣD)1．7５米，求旗桿的高ＥF的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到０.１,參考數(shù)據(jù):≈１.41，≈1.７３）12.(2023?黔東南州)如圖，一艘貨輪在Ａ處發(fā)現(xiàn)其北偏東４5°方向有一海盜船,立即向位于正東方向B處的海警艦發(fā)出求救信號(hào)，并向海警艦靠攏,海警艦立即沿正西方向?qū)ω涊唽?shí)行救援,此時(shí)距貨輪20０海里，并測(cè)得海盜船位于海警艦北偏西6０°方向的C處．(1)求海盜船所在C處距貨輪航線ＡB的距離．（2）若貨輪以45海里/時(shí)的速度在Ａ處沿正東方向海警艦靠攏，海盜以5０海里／時(shí)的速度由C處沿正南方向?qū)ω涊嗊M(jìn)行攔截，問海警艦的速度應(yīng)為多少時(shí)才干搶在海盜之前往救貨輪？（結(jié)果保存根號(hào))參考答案及分析(2023?貴陽）解:延長(zhǎng)ＡD交BC所在直線于點(diǎn)E．由題意,得BＣ＝1７米，AE＝１5米,∠ＣＡE＝6０°,∠AＥB=９0°,在Rt△ACE中,tan∠CAE=,∴CE=ＡE?tａｎ６0°=1５米.在Rt△AＢE中,tａn∠BＡＥ==，∴∠BＡE≈71°.答：第二次施救時(shí)云梯與水平線的夾角∠BAＤ約為71°．【點(diǎn)評(píng)】本題考察了解直角三角形的應(yīng)用，一方面構(gòu)造直角三角形,再運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題,構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．２.（2０23?營(yíng)口）【分析】過點(diǎn)C作CE⊥ＡＢ于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，由題意可知：船在航行過程中與碼頭C的最近距離是CE，根據(jù)∠DAＢ=3０°,AB=２０，從而可求出ＢＤ、ＡD的長(zhǎng)度,進(jìn)而可求出CE的長(zhǎng)度．【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)Ｅ，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)Ｄ,由題意可知：船在航行過程中與碼頭C的最近距離是CE,AＢ=30×＝2０，∵∠NAC=４5°，∠NAB＝75°,∴∠DＡB=30°,∴BＤ=ＡB=1０,由勾股定理可知：ＡＤ=10∵BC∥AN,∴∠BCD=4５°，∴CD=BD=１０，∴ＡC＝１0+10∵∠DAB=30°，∴CE=AC＝5+5≈13.7答：船在航行過程中與碼頭C的最近距離是13．7海里【點(diǎn)評(píng)】本題考察解三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是純熟運(yùn)用銳角三角函數(shù)以及勾股定理，本題屬于中檔題型.3．(2023?黃岡)【分析】如圖作FＨ⊥AE于H．由題意可知∠HＡF=∠HFA=4５°，推出AＨ=HF，設(shè)AH=HＦ＝x,則EF=２x,ＥH=x,在Rt△AEB中，由∠E=30°,ＡＢ=5米，推出AE=２AＢ=10米，可得x＋x=10,解方程即可.【解答】解：如圖作FH⊥AＥ于Ｈ.由題意可知∠ＨAF=∠HFA＝45°,∴ＡH＝HF,設(shè)AＨ＝HF=x，則EF＝２x,EH＝x,在Rt△AEB中，∵∠E＝３0°，AB=５米,∴AE=2AＢ=10米，∴ｘ+x=10,∴x＝５﹣5，∴EF=２x=10﹣1０≈７.3米，答:E與點(diǎn)F之間的距離為７.3米．【點(diǎn)評(píng)】本題考察解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)、一元一次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)建方程解決問題．４.（２023?隨州）【分析】作BＥ⊥DH,知ＧH=ＢE、BG=EH＝１0，設(shè)AH=x，則BE=GH=43+ｘ，由ＣH＝AHｔan∠CAＨ=tan5５°?x知CＥ=CH﹣ＥH＝tan55°?x﹣10,根據(jù)ＢE=DE可得關(guān)于x的方程，解之可得.【解答】解:如圖,作BE⊥DH于點(diǎn)E,則GH=BE、BＧ=EＨ=10,設(shè)AH=ｘ,則ＢE=GＨ=ＧＡ+AH＝4３+x,在Rt△ACH中,CH=AHtan∠CＡH＝taｎ55°?x，∴CＥ＝CH﹣EH=ｔan55°?x﹣1０，∵∠ＤＢＥ=４５°,∴BＥ＝DE=CE+ＤC,即４３+x=tan55°?ｘ﹣10＋３5,解得：x≈45,∴CH=tan5５°?x＝1.4×45=６3，答:塔桿ＣＨ的高為63米．【點(diǎn)評(píng)】本題考察了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題規(guī)定學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．５．(202３?桂林）【分析】在Rt△BＥD中可先求得BＥ的長(zhǎng)，過C作CF⊥AE于點(diǎn)F，則可求得AF的長(zhǎng)，從而可求得EF的長(zhǎng),即可求得ＣD的長(zhǎng)．【解答】解:∵BN∥ED,∴∠NBD=∠BＤＥ=３7°，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴BE=DE?tａn∠ＢＤＥ≈18.75(cm），如圖，過Ｃ作ＡE的垂線，垂足為F,∵∠FCA=∠CAM=4５°,∴ＡＦ=ＦＣ=2５ｃｍ,∵CD∥ＡE,∴四邊形CDEF為矩形，∴CD=EF,∵AE=AB+EB=35.75（ｃm）,∴ＣD=EF=AE﹣AF≈10.8(cｍ),答：線段BE的長(zhǎng)約等于18.8ｃｍ，線段CD的長(zhǎng)約等于１0.8cm．【點(diǎn)評(píng)】本題重要考察解直角三角形的應(yīng)用，運(yùn)用條件構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意角度的應(yīng)用.6.（2０２3?青羊區(qū)模擬)【分析】本題規(guī)定的實(shí)際是ＢC和ＤF的長(zhǎng)度,已知了AB、BD都是２00米，可在Rｔ△ＡBC和Rｔ△BFＤ中用α、β的正切函數(shù)求出BC、ＤF的長(zhǎng).【解答】解:Rｔ△AＢC中，斜邊ＡＢ=200米，∠α＝１6°,BC=AＢ?ｓinα=２00×ｓin１6°≈54(m），Rt△ＢＤF中，斜邊BD=２00米，∠β＝42°，DF＝BD?sinβ=2０0×sin42°≈１3２，因此纜車垂直上升的距離應(yīng)當(dāng)是BC+DF=18６(米）.答：纜車垂直上升了186米．【點(diǎn)評(píng)】本題考察了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合圖形理解題意是解決問題的關(guān)鍵.7.(２023?呼和浩特）【分析】過點(diǎn)C作CM⊥AB交AＢ延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，通過解直角△ACM得到AM的長(zhǎng)度，通過解直角△BCM得到ＢM的長(zhǎng)度,則AB=AM﹣BＭ.【解答】解:過點(diǎn)C作CM⊥AB交AＢ延長(zhǎng)線于點(diǎn)Ｍ，由題意得:AC=40×10=40０（米)．在直角△ACM中,∵∠Ａ=３0°,∴CＭ=AC=2０0米，ＡM=AＣ=２0０米．在直角△BCM中，∵ｔaｎ2０°=，∴BM=200tan20°,∴AＢ=AM﹣ＢM=2００﹣2０0tan２0°＝200（﹣tan20°),因此A，Ｂ兩地的距離AB長(zhǎng)為200(﹣tan２0°）米.【點(diǎn)評(píng)】本題考察解直角三角形的應(yīng)用、三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，記住三角函數(shù)的定義,以及特殊三角形的邊角關(guān)系,屬于中考?？碱}型.８.（2０23?張家界)【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC的長(zhǎng),再運(yùn)用tａn70.5°=求出答案.【解答】解：∵在Rt△ＤBC中,∠ＤBC＝45°,且CD=2.3米，∴ＢC=2.3m，∵在Rt△ＡBC中,∠ＡBC=70.5°,∴tan７0.5°=＝≈2.８24,解得:AD≈4.２，答:像體AD的高度約為4.2ｍ．【點(diǎn)評(píng)】此題重要考察了解直角三角形的應(yīng)用，對(duì)的掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．9.(2023?長(zhǎng)春）【分析】過B作地平面的垂線段BC，垂足為C，構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用正弦函數(shù)的定義,即可求出BC的長(zhǎng).【解答】解：過Ｂ作地平面的垂線段ＢC，垂足為Ｃ.在Rｔ△AＢＣ中,∵∠AＣB＝90°,∴BC=AＢ?siｎ∠BAＣ=1２×0．515≈６．2(米）．即大廳兩層之間的距離BC的長(zhǎng)約為6.2米．【點(diǎn)評(píng)】本題考察了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，把坡面與水平面的夾角α叫做坡角.在解決坡度的有關(guān)問題中,一般通過作高構(gòu)成直角三角形,坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值,水平寬度或鉛直高度都是直角邊,實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題.1０.(202３?常德）【分析】過B作BD⊥ＡＣ,在直角三角形AＢD中，運(yùn)用勾股定理求出BD與ＡD的長(zhǎng)，在直角三角形ＢCD中，求出CD的長(zhǎng)，由AＤ+DC求出AC的長(zhǎng)即可．【解答】解:過B作BD⊥ＡＣ,∵∠ＢAC＝７5°﹣30°=45°，∴在Rｔ△AＢD中,∠BAＤ＝∠ABD＝45°,∠ADＢ=9０°,由勾股定理得:BD=AD＝×２0＝1０（海里),在Rｔ△BCD中，∠C＝１5°，∠CBD＝75°,∴ｔａn∠CＢD=,即ＣＤ=１０×3.73２=５2.77048,則ＡC＝ＡＤ＋ＤC=10+10×3.732=66.９1048≈６7(海里）,即我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了67海里．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題,純熟掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.１1.（２023?黔東南州）【分析】過點(diǎn)A作AM⊥EF于Ｍ，過點(diǎn)C作ＣN⊥EF于Ｎ，則ＭＮ＝0.２5m.由小明站在B點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為45°，可得△ＡEM是等腰直角三角形，繼而得出得出ＡM=ＭE,設(shè)ＡM=MＥ＝ｘm，則CN＝(x+6)ｍ，EＮ=(ｘ﹣0.２５)ｍ.在Rt△CEN中,由tan∠EＣＮ==,代入ＣN、EN解方程求出x的值,繼而可求得旗桿的高EF．【解答