第5講大題專攻

——利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題CONTENTS目錄01備考領航·重難排查02考點整合·研透悟通03專題檢測01一、考情分析高頻考點高考預測判斷函數(shù)零點個數(shù)以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三次有理函數(shù)為載體(有時與三角函數(shù)結合)，探究函數(shù)的零點問題是高考的?？键c，通常以壓軸題的形式呈現(xiàn)根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍二、真題感悟(2022·全國乙卷)(利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù))已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；解：當a＝1時，f(x)＝ln(1＋x)＋x·e－x，∴f′(0)＝1＋1＝2，∵f(0)＝0，∴所求切線方程為y－0＝2·(x－0)，即y＝2x.(2)若f(x)在區(qū)間(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍．令g(x)＝ex＋a(1－x2)，則g′(x)＝ex－2ax，g′(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，g′(－1)＝e－1＋2a，g′(0)＝1，∴g(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，∵g(－1)＝e－1＞0，∴g(x)＞0在(－1，＋∞)上恒成立，∴f′(x)＞0在(－1，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，∵f(0)＝0，∴f(x)在(－1，0)，(0，＋∞)上均無零點，不符合題意．∴g(x)在(－1，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增．g(－1)＝e－1＞0，g(0)＝1＋a，g(1)＝e＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．∵f(0)＝0，∴當x∈(0，＋∞)時，f(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上無零點，不符合題意．

(ⅱ)當g(0)＜0，即a＜－1時，存在x1∈(－1，x0)，x2∈(0，1)，使得g(x1)＝g(x2)＝0，∴f(x)在(－1，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增，在(x1，x2)上單調遞減．∵f(0)＝0，∴f(x1)＞f(0)＝0，當x→－1時，f(x)＜0，∴f(x)在(－1，x1)上存在一個零點，即f(x)在(－1，0)上存在一個零點，∵f(0)＝0，當x→＋∞時，f(x)＞0，∴f(x)在(x2，＋∞)上存在一個零點，即f(x)在(0，＋∞)上存在一個零點．綜上，a的取值范圍是(－∞，－1)．常見函數(shù)的圖象與性質02判斷函數(shù)零點個數(shù)∴g(x)是R上的偶函數(shù)．由①②及g(x)是偶函數(shù)可得g(x)在R上有三個零點．|方法總結|判斷函數(shù)零點個數(shù)的2種常用方法直接法直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖．函數(shù)零點的個數(shù)問題即是函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)問題分離參數(shù)法分離出參數(shù)，轉化為a＝g(x)，根據(jù)導數(shù)的知識求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間上的單調性，求出極值以及最值，畫出草圖．函數(shù)零點的個數(shù)問題即是直線y＝a與函數(shù)y＝g(x)圖象交點的個數(shù)問題．只需要用a與函數(shù)g(x)的極值和最值進行比較即可問題等價于求函數(shù)F(x)的零點個數(shù)．當m＝1時，F(xiàn)′(x)≤0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，當m＞1時，若0＜x＜1或x＞m，則F′(x)＜0；若1＜x＜m，則F′(x)＞0，所以函數(shù)F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上單調遞減，在(1，m)上單調遞增，在(m，2m＋2)內，F(xiàn)(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，則F(m)·F(2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零點，綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象有一個交點.(1)當a＝0時，求f(x)的最大值；根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的值(范圍)若x∈(0，1)，f′(x)>0，f(x)單調遞增；若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)單調遞減；所以f(x)max＝f(1)＝－1.(2)若f(x)恰有一個零點，求a的取值范圍．當a＝0時，由(1)可知，f(x)不存在零點；若x∈(0，1)，f′(x)>0，f(x)單調遞增，若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)單調遞減，所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f(x)不存在零點；f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，因為f(1)＝a－1＝0，所以函數(shù)f(x)恰有一個零點．綜上，若f(x)恰有一個零點，a的取值范圍為(0，＋∞)．|方法總結|與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．

已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)當a＝1時，討論f(x)的單調性；解：當a＝1時，f(x)＝ex－x－2，則f′(x)＝ex－1.當x<0時，f′(x)<0；當x>0時，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增．(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．解：f′(x)＝ex－a.當a≤0時，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，故f(x)至多存在1個零點，不合題意．當a>0時，由f′(x)＝0可得x＝lna．當x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0；當x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增．故當x＝lna時，f(x)取得最小值，最小值為f(lna)＝－a(1＋lna)．由于f(－2)＝e－2>0，所以f(x)在(－∞，lna)上存在唯一零點．專題檢測03(1)設函數(shù)h(x)＝(x－1)F(x)，當a＝2時，證明：當x>1時，h(x)>0；所以h(x)在(1，＋∞)上單調遞增，且h(1)＝0，所以當x>1時，h(x)>0.(2)若F(x)有兩個不同的零點，求a的取值范圍．令g(x)＝x2＋2(1－a)x＋1，當a≤1，x>0時，g(x)>0，當1<a≤2時，Δ＝4a2－8a≤0，得g(x)≥0，當a>2時，Δ＝4a2－8a>0，此時g(x)有兩個零點，設為t1，t2，且t1<t2.又t1＋t2＝2(a－1)>0，t1t2＝1，所以0<t1<1<t2.所以f(x)在(0，t1)，(t2，＋∞)上單調遞增，在(t1，t2)上單調遞減，且f(1)＝0，所以f(t1)>0，f(t2)<0，所以存在唯一x1∈(e－a，t1)，使得f(x1)＝0，存在唯一x2∈(t2，ea)，使得f(x2)＝0.所以當F(x)有兩個不同零點時，a的取值范圍為(2，＋∞)．3．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)討論函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的單調性；解：F(x)＝ax2－2lnx，其定義域為(0，＋∞)，②當a≤0時，F(xiàn)′(x)<0(x>0)恒成立，故當a≤0時，F(xiàn)(x)在(0，＋∞)上單調遞減．作出φ(x)的大致圖象如圖所示．4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－lnx有相同的最小值．(1)求a；①若a≤0，f′(x)＞0在R上恒成立，f(x)在R上單調遞增，即f(x)無最小值；②若a＞0，當x∈(－∞，lna)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，當x∈(lna，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增．∴f(x)在x＝lna處取得最小值f(lna)＝a－alna.又f(x)與g(x)有相同的最小值，∴a－alna＝1＋lna，a＞0.設h(a)＝alna＋lna－a＋1，a＞0，當a∈(0，1)時，φ′(a)＜0，h′(a)單調遞減．當a∈(1，＋∞)時，φ′(a)＞0，h′(a)單調遞增．∴h′(a)在a＝1處取得最小值h′(1)＝1＞0，則當a＞0時，h′(a)＞0恒成立，h(a)單調遞增．又h(1)＝0，∴a＝1.(2)證明：存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．解：證明：由(1)得f(x)＝ex－x，g(x)＝x－lnx，且f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，g(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，f(x)min＝g(x)min＝1.當直線y＝b與曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個不同交點時，設三個交點的橫坐標分別為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則f(x1)＝f(x2)＝g(x2)＝g(x3)＝b.∵f(x)＝ex－x，g(x)＝x－lnx＝elnx－lnx＝f(lnx)