第二節(jié)迭代法一、迭代法的基本思想迭代法是一種重要的逐次逼近法,其基本思想是：將方程

f(x)=0

化為等價方程然后在隔根區(qū)間內(nèi)取一點

x0

，按下式計算計算結(jié)果生成數(shù)列如果這個數(shù)列有極限這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂,否則稱為發(fā)散。當(x)連續(xù)時,顯然

就是方程

x=(x)之根。于是可以從數(shù)列

中求得滿足精度要求的近似根。稱為迭代格式,

(x)稱為迭代函數(shù),x0

稱為迭代初值,數(shù)列

稱為迭代序列。二、迭代法的幾何意義一般來說從構(gòu)造不止一種，有的收斂，有的不收斂，這取決于的性態(tài)。方程的根，在幾何上就是直線與曲線的橫坐標如圖2-3所示

對方程進行如下三種變形：用迭代法求方程

x4+2x2-x-3=0在區(qū)間[1,1.2]內(nèi)的實根。解例1分別按以上三種形式建立迭代格式，并取x0=1進行迭代計算，結(jié)果如下：第二種格式比第一種格式收斂快得多,而第三種格式不收斂。可見迭代格式不同,收斂情況也不同。準確根

=1.124123029。三、迭代法的收斂條件定理1

(1)當x∈[a,b]時，(2)存在正數(shù)L<1，使對任意的

x∈[a,b],(2)對任意迭代初值

x0∈[a,b],迭代序列(1)方程在[a,b]上有唯一根

;在[a,b]上存在,且滿足條件：設(shè)收斂于

。

則(1)先證方程 之解存在且唯一.由于在[a,b]上存在,f(x)

在[a,b]上連續(xù)。作函數(shù)由條件連續(xù)。所以證使

即則(1)f(a)≤0,f(b)≥0,故存在

,則由微分中值定理及條件值定理及條件(2)有此式僅當才能成立，再證迭代格式收斂任取

x0∈[a,b]，由微分中值定理，有因此（2）則由微分中值定理及條件(2)有設(shè)方程還有一根此定理在理論上十分重要,但是條件(1)卻不容易判別.如果僅在根的鄰域中考察迭代格式,則下述定理可避免條件(1)的判別。即迭代過程收斂，且證畢。反復(fù)用此不等式，并注意0<L<1,因此

例1中采用的三種迭代格式,在隔根區(qū)間(1,1.2)內(nèi)有例如且有下列誤差估計式定理2則任取

x0∈U,迭代格式均收斂于

,

若方程之根的某鄰域

L<1，使內(nèi)存在,且存在正常數(shù)則迭代必發(fā)散。提示：定理的證明利用定理1以及微分中值定理。反之，若在根

的鄰域

U

內(nèi)例2用迭代法求方程在內(nèi)的一個近似根，取初始近似值解原方程的等價方程可以有以下不同形式對應(yīng)的迭代公式有：考察四種迭代法在根附近的收斂情況，取根的近似值為解不收斂不收斂收斂收斂由定理2知值越小，收斂速度就越快1.365230021.3659167381.365229941.3638870071.3652230581.3678469761.365225591.3600941951.365264751.3751702541.364957011.34545838-469.731.367376371.402540802.99696.73221.348399731.286953770.8165-0.87511.51.51.51.50(4)(3)(2)(1)n取列表計算如下n(1)(2)(3)(4)91.364878221.36523001101.36541006151.36522368201.36523024231.36522998251.36523001接上圖四、迭代法的收斂速度則稱迭代格式是

p

階收斂的.

p=1時稱為線性收斂,

1<p<2時稱為超線性收斂.利用微分中值定理及泰勒展式可得下面的定理3.顯然,收斂階越大,收斂越快p=2

時稱為二階(平方)收斂,

特別地,令若則迭代過程在

的鄰近為

p階收斂。(1)若為線性收斂；則迭代過程在的鄰近(2)若定理3之根,在

的鄰域

U內(nèi)有連續(xù)的

p階導(dǎo)數(shù)，則