2022-2023學(xué)年天津市南開(kāi)中學(xué)高二上學(xué)期期末結(jié)課練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在數(shù)列中，，若為等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差中項(xiàng)求解即可．【詳解】解：由為等差數(shù)列得，解得.故選：A2．已知空間向量，，，若，則（

）A．2 B． C．14 D．【答案】C【分析】利用空間向量平行的性質(zhì)即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，，如果，則，所以，解得，所以，故選：C.3．兩個(gè)正數(shù)與的等比中項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的定義，即求出結(jié)果．【詳解】設(shè)它們等比中項(xiàng)為，則，所以．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查等比中項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．在雙曲線中，虛軸長(zhǎng)為6，且雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線虛軸長(zhǎng)度為6，即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；易得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，由雙曲線虛軸長(zhǎng)為6可知，所以；所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.5．已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為4，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題易得，知，雙曲線焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，又由點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為4，得，即可解決.【詳解】由題知，拋物線開(kāi)口向右，，所以焦點(diǎn)為，因?yàn)榻裹c(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以，且雙曲線焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，即，因?yàn)辄c(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為4，即，所以，所以雙曲線的方程為，故選：C6．在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．6 B．16 C．24 D．60【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求的值,根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)：,而.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于簡(jiǎn)單題.7．在數(shù)列中，，，則前2022項(xiàng)和的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到該數(shù)列周期，根據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求和.【詳解】因?yàn)椋?，，，，，…，所以該?shù)列的周期是3，又因?yàn)?，，所?故選：C8．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，則，由于是等邊三角形，所以，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，平面平面，且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以.根據(jù)根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，平面，所以平面，平面，所以，由此以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，則，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：A9．唐代詩(shī)人李欣的是古從軍行開(kāi)頭兩句說(shuō)“百日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)故事“將軍飲馬”的問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從出發(fā)，河岸線所在直線方程，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的求解方法可求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和圓上的點(diǎn)連線的最小值的求解，利用點(diǎn)和圓心之間的距離減圓的半徑可得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，的中點(diǎn)為，，解得：，，要使從點(diǎn)到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)到軍營(yíng)最短的距離，即為點(diǎn)和圓上的點(diǎn)連線的最小值，從點(diǎn)到軍營(yíng)最短總路程為點(diǎn)和圓心之間的距離減圓的半徑，“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：B.10．已知點(diǎn)是拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，且，則點(diǎn)到雙曲線兩條漸近線的距離之和為（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】求出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求出，然后求解雙曲線的漸近線方程．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，且，可得，則，點(diǎn)是拋物線與雙曲線一個(gè)交點(diǎn)，，可得，解得：，則漸近線方程為：，不妨令，則點(diǎn)到這兩條漸近線的距離之和為：.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．二、填空題11．若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其準(zhǔn)線方程是___________.【答案】【分析】把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求得后可得準(zhǔn)線方程．【詳解】由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，又拋物線的焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，故準(zhǔn)線方程為．故答案為：．12．已知傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)交拋物線于A、B兩點(diǎn)，并且，則______．【答案】##【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合正弦函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】若角為銳角，如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D．過(guò)B作于則有，設(shè)，則．由勾股定理可知：則．若角為鈍角，由對(duì)稱(chēng)性可知，故答案為：．13．在和之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的這個(gè)正數(shù)的積為_(kāi)____.【答案】【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】由題意得，等比數(shù)列由項(xiàng)，且.根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)有，所以插入的這個(gè)正數(shù)的積為.故答案為:14．已知直線與圓：交于、兩點(diǎn)，則的面積為_(kāi)_____.【答案】2【分析】用已知直線方程和圓方程聯(lián)立，可以求出交點(diǎn)，再分析三角形的形狀，即可求出三角形的面積.【詳解】由圓C方程：可得：；即圓心C的坐標(biāo)為（0，-1），半徑r=2；聯(lián)立方程得交點(diǎn)，如下圖：可知軸，∴是以為直角的直角三角形，，故答案為：2.15．在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)在線段不與重合）上，直線與平面所成的角為，則的最大值是______．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算直線與平面成角正弦值，根據(jù)的表達(dá)式判斷最大值即可．【詳解】解：如圖建系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)，,0,，,0,，,2,，,0,，,2,，設(shè)平面的法向量為，所以，令，所以，又,1,，設(shè),0,，則,，所以,,，故，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故答案為：．16．已知正項(xiàng)等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，．若不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)題意，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到該等比數(shù)列的前項(xiàng)和，把不等式整理成，根據(jù)，分離參數(shù)，可得對(duì)一切正整數(shù)成立，然后研究的最小值，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，設(shè)等比數(shù)列公比為，可得，所以．不等式化為，所以對(duì)一切正整數(shù)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．故答案為：三、解答題17．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交軸于點(diǎn).若，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）通過(guò)通徑和離心率聯(lián)立方程可得；（2）分別計(jì)算出的坐標(biāo)，再根據(jù)直線與橢圓相切求出之間的關(guān)系式，代入可求得,進(jìn)而求出直線方程.【詳解】（1），則過(guò)的垂線為，聯(lián)立橢圓方程得：弦長(zhǎng)=又，聯(lián)立解之得：所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，將直線與橢圓聯(lián)立整理得：相切代入解得：解之：【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．18．已知數(shù)列中，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，（i）求數(shù)列前n項(xiàng)和Tn；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)(2)（i）Tn；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知得出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列.分別求出通項(xiàng)公式，合并可得的通項(xiàng)公式；（2）（i）由奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和可得，從而得出，由裂項(xiàng)相消法求得和；（ii）求出，由不等式的性質(zhì)放縮為（時(shí)等號(hào)成立）