《數(shù)學(xué)分析選論》例題選講第十章.多元函數(shù)微分學(xué)一．主要內(nèi)容：多元函數(shù)的極限與連續(xù)，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算，多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與二元函數(shù)的極值計(jì)算.例題.例1設(shè)證明:.證明對(duì)由于可知當(dāng)時(shí)，便有。故。例2設(shè)證明：不存在.證明它隨而異，因此不存在。例3討論函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)的存在性.解計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)1).當(dāng)時(shí)，按通常方法求偏導(dǎo)數(shù)2).當(dāng)時(shí)，按定義求偏導(dǎo)數(shù)，.例4設(shè),而,.求,.和解.由于,,,,于是,..例5設(shè).求,.解這里是以和為自變量的復(fù)合函數(shù),它可寫成如下形式,,.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知 .于是,例6設(shè)在上可微函數(shù)滿足+，試證：在極坐標(biāo)系里只是的函數(shù).證對(duì)于復(fù)合函數(shù)，，由于，=+，因此當(dāng)時(shí)，，與無關(guān)，即在極坐標(biāo)系里只是的函數(shù).例7從一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮四角截去同樣大小的正方形，然后把四邊折起來做成一個(gè)無蓋盒子，問要截去多大的正方形，才能使盒子的容積最大？。解設(shè)截去的正方形邊長(zhǎng)為，則盒子的容積為.由，于是,是內(nèi)唯一穩(wěn)定點(diǎn)，必為最值點(diǎn).由得為最大值點(diǎn).于是要截去邊長(zhǎng)為的小正方形，能做成容積最大的盒子.例8求函數(shù)在矩形域上的最大值與最小值.解1）求穩(wěn)定點(diǎn).令解得穩(wěn)定點(diǎn)（另一點(diǎn)）.2）判定穩(wěn)定點(diǎn)是否是極值點(diǎn)。為此求出，，，并有的偏導(dǎo)數(shù)處處存在，因此在D內(nèi)有其他的極值點(diǎn).3）考察在上的取值情形如下i．在，上，，而故f在D的這條邊上關(guān)于y是單增的；ii．在，上，是單減的；iii．在,上，有穩(wěn)定點(diǎn)；iv．在，上，有穩(wěn)定點(diǎn).4）計(jì)算特殊點(diǎn)上的函數(shù)值，，經(jīng)比較，便可得到，第十一章.隱函數(shù)一．主要內(nèi)容：隱函數(shù)的求導(dǎo)條件極值的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用.二.例題.例1設(shè)方程確定,求.解設(shè).由于,及其偏導(dǎo)數(shù)在平面上任一點(diǎn)都連續(xù),且,.于是由方程確定存在,且.例2討論方程在原點(diǎn)附近所確定的二元隱函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù).解由于,,處處連續(xù),由隱函數(shù)存在定理,知在原點(diǎn)附近能唯一確定連續(xù)的隱函數(shù),且可求得它的偏導(dǎo)數(shù)如下,.例3設(shè)是由方程，求.解方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，有，因而方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，有，因而.故.例4設(shè),求.解方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得到，因此有，。方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得到，因此.例5求表面積為,而體積最大的長(zhǎng)方體的體積.解設(shè)長(zhǎng)，寬，高分別為，則問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最大值，聯(lián)系方程為.設(shè)輔助函數(shù)為，則有，解方程組得到，因而最大體積為.例6求函數(shù)在條件,下的極值,并證明不等式,其中為任意正實(shí)數(shù).解設(shè)拉格朗日函數(shù)為.對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),并令它們都等于零,則有由此解得的穩(wěn)定點(diǎn)為,為判定是否為所求條件極(小)值,可把條件看作隱函數(shù)(滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件),并把目標(biāo)函數(shù)看作與的復(fù)合函數(shù),再應(yīng)用極值充分條件來作出判斷,為此計(jì)算如下:=,,,,,,.當(dāng)時(shí),,,.由此可見,所求得的穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn),且是最小點(diǎn).于是,就有不等式,(且).令則有,代入上面不等式,有,或,例7求空間曲線，，，在點(diǎn)（對(duì)應(yīng)于）處的切線方程和法平面方程.解將代人參數(shù)方程，得點(diǎn)，該曲線的切向量為T=（于是得切線方程為法平面方程為=0，即例8求橢圓面在處的切平面方程與法線方程.解設(shè).由于在全空間上處處連續(xù),在處于是,得切平面方程為,即.法線方程為.第十三章.重積分重點(diǎn):二重，三重積分的計(jì)算例題.例1設(shè)是由直線和圍成,試求的值.解先對(duì)積分后對(duì)積分..由分部積分法,知.例2設(shè)是由矩形區(qū)域，圍成,試求的值.解由于則例3設(shè)=,試求的值.解利用極坐標(biāo)變換例4設(shè)是上的正值連續(xù)函數(shù)，試證，其中是，.證明由于對(duì)上面區(qū)域變換積分變量記號(hào)時(shí)，積分區(qū)域不變，因此。例5計(jì)算,其中為由平面,,,,與所圍成.解在平面上的投影區(qū)域?yàn)?于是.例6計(jì)算其中積分區(qū)域?yàn)?，的公共部?解法1用球坐標(biāo)計(jì)算積分，積分區(qū)域分解成；，其中；，于是=.解法2用平行于0xy平面去截此V，得到的截痕為圓，因此，可用“先二后一”法，有=.例7變換為球面坐標(biāo)計(jì)算積分.解積分區(qū)域變換為球面坐標(biāo)為，于是，=.例8設(shè)函數(shù)連續(xù)，，其中，，求和.解因?yàn)閰^(qū)域?yàn)橹鶢顓^(qū)域，被積函數(shù)中第二項(xiàng)為，所以用柱坐標(biāo)法比較方便．.于是，.利用洛必達(dá)法則，有.例9求曲面被柱面與平面所割下部分的面積.解曲面方程表示為，，，于是所求面積S=.例10變換為球面坐標(biāo)計(jì)算積分.解積分區(qū)域變換為球面坐標(biāo)為，于是，=.第十四章.曲線與曲面積分重點(diǎn):第一（二）型曲線積分的計(jì)算第一（二）型曲面積分的計(jì)算3.格林公式和高斯公式計(jì)算曲線與曲面積分.斯托克斯公式的運(yùn)用二.例題.例1計(jì)算，其中L是擺線的一段（）.解由，，可得，，則=.例2計(jì)算，其中為以，，，為頂點(diǎn)的正方形封閉圍線.解段：直線方程，，.段：直線方程，，。段：直線方程，，段：直線方程，，于是有，=0.例3計(jì)算，其中為四分之一的邊界，依逆時(shí)針方向.解設(shè)，，則原式＝＝。例4判別下列表達(dá)式.是否某函數(shù)的全微分，若是的話，求出這個(gè)函數(shù).解設(shè)，因?yàn)椋瑒t是某函數(shù)的全微分.且.例5求,其中是點(diǎn)A(2,0)到點(diǎn)O(0,0)的上半圓周.解用軸上直線段,使上半圓周和直線段構(gòu)成封閉曲線.設(shè),.有.于是=.其中在直線段上,有,,則.因此.例6計(jì)算曲面積分其中為圓錐面被曲面所割下的部分.解對(duì)于圓錐面，則，在平面上投影區(qū)域?yàn)椋海谑?例7計(jì)算，其中S是由曲面與平面所圍成立體表面的外側(cè).解曲面S1取負(fù)側(cè)，而投影區(qū)域?yàn)镈1：，于是應(yīng)用極坐標(biāo)可得，曲面S2取正側(cè)，而投影區(qū)域?yàn)镈2：2，于是應(yīng)用極坐