5.1.1任意角5.1任意角和弧度制

圓周運(yùn)動(dòng)是一種常見的周期性變化現(xiàn)象．如圖

上的點(diǎn)

以

為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)．如何刻畫點(diǎn)

的位置變化呢？

我們知道，角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．在右圖中，射線的端點(diǎn)是圓心，它從起始位置按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，形成一個(gè)角α，射線，分別是角α的始邊和終邊．當(dāng)角α確定時(shí)，終邊的位置就確定了．這時(shí)，射線與的交點(diǎn)P也就確定了．由此想到，可以借助角α的大小變化刻畫點(diǎn)的位置變化PA

由初中知識(shí)可知，射線

繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個(gè)過程中可以得到

范圍內(nèi)的角。如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么所得到的角就超出這個(gè)范圍了。所以為了借助角的大小變化刻畫圓周運(yùn)動(dòng)，需要先擴(kuò)大角的范圍。

現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超出

范圍的角。例如體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”、“后空翻轉(zhuǎn)體720度”這

樣的動(dòng)作名稱，這里不僅有超出

范圍的角，且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同；

如圖是兩個(gè)齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖，被動(dòng)輪隨著主動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，而且被動(dòng)輪與主動(dòng)輪有相反的旋轉(zhuǎn)方向．這樣，

繞點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)所成的角與

繞點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)所成的角就會(huì)有不同的方向．因此，要準(zhǔn)確地描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，這就需要對(duì)角的概念進(jìn)行推廣．

我們規(guī)定：正角：

一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角；負(fù)角：

一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角；零角：

如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一零角．探索新知零角的始邊與終邊重合．如果α是零角，那么α＝0°任意角，包括正角、負(fù)角和零角

、初步應(yīng)用，理解定義

給角添上符號(hào)，用符號(hào)來表示方向，使角也獲得了類似于實(shí)數(shù)一樣的數(shù)量特征，這也為角的運(yùn)算埋下了伏筆.探索新知兩個(gè)角有什么關(guān)系？它們有大小關(guān)系和相等關(guān)系.很自然的，正角>零角>負(fù)角，如果兩個(gè)角都是正角，旋轉(zhuǎn)量大的角大，如果兩個(gè)角都是負(fù)角，則旋轉(zhuǎn)量大的反而小.而如果一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與另一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向都一樣，我們就稱這兩個(gè)角相等.這些關(guān)系與兩個(gè)實(shí)數(shù)間的關(guān)系極其相似，所以我們就會(huì)問一個(gè)問題：兩個(gè)角也能像兩個(gè)實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加減運(yùn)算嗎？探索新知

探索新知

探索新知

我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角．為了方便，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與

軸的非負(fù)半軸重合．

那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角．例如，下圖中的30°角、－120°角分別是第一象限角和第三象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．探索新知

銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再分別就直角、鈍角來回答這兩個(gè)問題．三角形的內(nèi)角涵蓋了哪幾個(gè)象限呢？探索新知

銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；

鈍角是第二象限角，第二象限角不一定是鈍角；328°＝－32°＋360°(這里k＝

)，－392°＝－32°－360°(這里k＝

)．與－32°角終邊相同的這些角都可以表示成－32°的角與k個(gè)(k∈Z)周角的和，如1-1

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問題2：終邊落在坐標(biāo)軸上的所有的角的集合又怎么表示？