學(xué)業(yè)分層測評(二十三)向量的應(yīng)用(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1.已知一物體在共點(diǎn)力F1＝(2，2)，F(xiàn)2＝(3，1)的作用下產(chǎn)生位移s＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，則共點(diǎn)力對物體所做的功為________.【解析】對于合力F＝(5，3)，其所做的功為W＝F·s＝eq\f(5,2)＋eq\f(9,2)＝7.【答案】72.若A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，則△ABC的形狀為________.【解析】eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1，1)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－3，3)，eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝0，即eq\o(AB,\s\up15(→))⊥eq\o(AC,\s\up15(→))，故△ABC為直角三角形.【答案】直角三角形3.點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度v＝(4，－3)，設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10，10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為________(速度單位：m/s，長度單位：m).【解析】5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10，10)＋5(4，－3)＝(10，－5).【答案】(10，－5)4.用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個(gè)物體，如圖2-5-5，已知物體重力大小為10N，則每根繩子的拉力大小是________.圖2-5-5【解析】因繩子等長，所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根繩子的拉力大小都是10N.【答案】10N5.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))·eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))·eq\o(OA,\s\up15(→))，則點(diǎn)O是△ABC的________.【解析】由eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))·eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))·eq\o(OA,\s\up15(→))，可得eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))·eq\o(OC,\s\up15(→))＝0，(eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→)))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝0，即eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝0，eq\o(CA,\s\up15(→))⊥eq\o(OB,\s\up15(→))，同理可證eq\o(OC,\s\up15(→))⊥eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(OA,\s\up15(→))⊥eq\o(BC,\s\up15(→)).所以O(shè)是△ABC的垂心，即三條高的交點(diǎn).【答案】垂心6.等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1，2)，C(1，1)，則B的坐標(biāo)為________.【解析】設(shè)B的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(CB,\s\up15(→))＝(x－1，y－1)，又eq\o(AC,\s\up15(→))＝(2，－1).由題意知：|eq\o(CB,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|，且eq\o(CB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y－12＝5，,2x－1－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))【答案】(0，－1)或(2，3)7.如圖2-5-6，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，則對角線AC的長為________.【導(dǎo)學(xué)號：48582118】圖2-5-6【解析】∵eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，∴eq\o(AC,\s\up15(→))2＝eq\o(AB,\s\up15(→))2＋eq\o(AD,\s\up15(→))2＋2eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))，①又eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(BD,\s\up15(→))2＝eq\o(AD,\s\up15(→))2＋eq\o(AB,\s\up15(→))2－2eq\o(AD,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))，②∴①＋②得eq\o(AC,\s\up15(→))2＋eq\o(BD,\s\up15(→))2＝2(eq\o(AB,\s\up15(→))2＋eq\o(AD,\s\up15(→))2).又AD＝1，AB＝2，BD＝2，∴AC＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)8.當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，夾角為θ，兩人用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為________.【解析】如圖，|F1|＝|F2|＝eq\f(|G|,2cos\f(θ,2)).∵|F1|＝|F2|＝|G|，∴2coseq\f(θ,2)＝1，∴θ＝120°.【答案】120°二、解答題9.如圖2-5-7所示，四邊形ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線，試用向量證明：AC⊥BD.圖2-5-7【證明】∵eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→)))·(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝|eq\o(AD,\s\up15(→))|2－|eq\o(AB,\s\up15(→))|2＝0.∴eq\o(AC,\s\up15(→))⊥eq\o(BD,\s\up15(→)).∴AC⊥BD.10.已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及點(diǎn)A(1，1)，M是圓C上的任一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段MA的延長線上，且eq\o(MA,\s\up15(→))＝2eq\o(AN,\s\up15(→))，求點(diǎn)N的軌跡方程.【導(dǎo)學(xué)號：48582119】【解】設(shè)N(x，y)，M(x0，y0).因?yàn)閑q\o(MA,\s\up15(→))＝2eq\o(AN,\s\up15(→))，所以(1－x0，1－y0)＝2(x－1，y－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x0＝2x－2，,1－y0＝2y－2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3－2x，,y0＝3－2y，))又因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4上，所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，所以(2x)2＋(2y)2＝4，即x2＋y2＝1，所以點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2＝1.[能力提升]1.在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，且|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))|，則四邊形ABCD的形狀是________.【解析】eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(DC,\s\up15(→))，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(DC,\s\up15(→))|，∴四邊形ABCD是平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|，|eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(DB,\s\up15(→))|，∴|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝|eq\o(DB,\s\up15(→))|，∴平行四邊形是矩形.【答案】矩形2.已知直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(3)，則eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝________.【解析】如圖，在△AOB中，|AB|＝eq\r(3)，|OA|＝|OB|＝1，∴∠AOB＝120°，∴eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝|eq\o(OA,\s\up15(→))||eq\o(OB,\s\up15(→))|cos120°＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)3.若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1,2)，則α與β的夾角θ的取值范圍是________.【解析】以α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為：S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝eq\f(1,2)，所以sinθ＝eq\f(1,2|β|)，又因?yàn)閨β|≤1，所以eq\f(1,2|β|)≥eq\f(1,2)，即sinθ≥eq\f(1,2)且θ∈[0，π]，所以0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5,6)π)).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5,6)π))4.在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的角平分線的方程.【導(dǎo)學(xué)號：48582120】【解】eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3，4)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－8，6)，∠A的角平分線的一個(gè)方向向量為：＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,