不等式專題----定理和技巧引言：不等式在所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有用，本書(shū)闡述不等式定理的基本技巧。讀者將看到一些經(jīng)典定理，如舒爾不等式、繆爾海德定理、柯西-蘇瓦茨不等式、冪平均不等式、不等式、霍爾德定理。對(duì)學(xué)生：本書(shū)的讀者面向高年級(jí)的有想進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)水平的高中生和大學(xué)生，本書(shū)提到的技巧是不等式難題的竅門(mén)，學(xué)生們也可以發(fā)現(xiàn)自己功課不同難題的方法。目錄：1、幾何不等式拉維換元三角方法復(fù)數(shù)的應(yīng)用2、4個(gè)基本技巧三角換元代數(shù)換元增函數(shù)定理建立新邊界3、齊次化和標(biāo)準(zhǔn)化齊次化舒爾不等式和繆爾海德定理標(biāo)準(zhǔn)化柯西-蘇瓦茨不等式和霍爾德定理。4、凸函數(shù)琴生不等式冪平均不等式最優(yōu)化不等式輔助線不等式5、例題多變量不等式帕特南研討會(huì)Ch1.幾何不等式拉維換元許多不等式因采用合適的換元而簡(jiǎn)單化，讓我們從三角幾何的經(jīng)典不等式開(kāi)始。最重要的幾何不等式是哪個(gè)？1746年，察柏爾證明了一個(gè)定理：定理：設(shè)和分別代表的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)冗吶切螘r(shí)取等號(hào)。證明：設(shè)的三邊分別為，半周長(zhǎng)，面積為，則：還有：且：式就是海倫公式。由得：，而由式得：，那么相當(dāng)于即：定理：設(shè)為三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)，則有：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。證明：采用拉維換元，設(shè)，，，其中那么，，則：，，式即：而：即：.證畢。CABODEF【練習(xí)1】設(shè)CABODEF如圖，對(duì)直角三角形，設(shè)為直角邊，為斜邊，則，且，是三角形外接圓半徑。【試證】三角形的面積：，則：，即：將代入得：=1\*GB3①即令：=2\*GB3②采用均值不等式：，代入=2\*GB3②式得：代入=1\*GB3①式得：.證畢.定理：設(shè)，則：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。證明：既然不等式的變量是對(duì)稱的，不適一般性，設(shè)，則：，.若，則：構(gòu)成三角形的三邊（兩邊之和大于第三邊）；此時(shí)，由定理2可得到結(jié)果?，F(xiàn)在，假設(shè)，則：定理的不等式，在當(dāng)中部分變量為零時(shí)依然成立。定理：設(shè)，則：證明：既然，我們發(fā)現(xiàn)正數(shù)列，，，數(shù)列具有，，由定理2得到：兩邊討論極限，我們得到結(jié)果。很明顯，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。然而，和，不能保證得到.事實(shí)上，對(duì)，等式等效于或，或，或，可以理解為當(dāng)變量為0時(shí)的等式結(jié)果?？梢灾苯幼C明等式：故：定理4是舒爾不等式的特例。（注：舒爾不等式：對(duì)于非負(fù)數(shù)和正數(shù)，有，僅當(dāng)=1\*romani>或=2\*romanii>且，或且，或且時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)都成立。）【試題1】設(shè)是正數(shù)且，試證：.【解析】既然且，主要是，采用換元，，，則不等式為：即：即：.為定理4.拉維換元對(duì)像三角形的三邊長(zhǎng)的不等式很有用，拉維換元后，可以消去三角形的三邊長(zhǎng)的條件。【試題2】設(shè)是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，試證：.【解析】采用拉維換元，，，，且.則不等式變?yōu)椋赫归_(kāi)化簡(jiǎn)為：兩邊同除以得：采用柯西-蘇瓦茨不等式：，即證?！揪毩?xí)2】設(shè)是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，試證：.【試證】采用拉維換元，令，，則：同理：；.三式相加得：即：.證畢?！揪毩?xí)3】設(shè)是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，試證：.和：.【試證】先化簡(jiǎn)，再用拉維換元由于共有12項(xiàng)，分成3份，每份4項(xiàng).=1\*GB3①采用拉維換元：令，，，則：三式相加并除以2得：=2\*GB3②則=2\*GB3②式乘以就等于=1\*GB3①式。由：得=2\*GB3②式不小于，即=1\*GB3①式不小于.證畢。第二個(gè)式子證法與此類似，請(qǐng)讀者自證。我們現(xiàn)在開(kāi)始研究魏琴伯克不等式，也稱外森比克不等式。【試題3】設(shè)是一個(gè)面積為三角形的三邊長(zhǎng)，試證：這個(gè)式稱為外森比克不等式。【解析】采用拉維換元，，，，且.不等式變?yōu)椋浩渲校海榘胫荛L(zhǎng)）推導(dǎo)如下：由于：所以：則：定理：對(duì)任何面積為、邊長(zhǎng)為的三角形，有不等式：這個(gè)不等式稱為芬斯勒-哈德威格不等式。證明：采用拉維換元，，，，且.及：代入式得：式可由恒等式：得證。也可采用凸函數(shù)性質(zhì)證明。證法二：由許多方法證明：對(duì)于凸函數(shù)，用琴生不等式可以證明：當(dāng)時(shí)，故：（注：琴生不等式：對(duì)于向下凸出的函數(shù)，函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)。如函數(shù)在區(qū)間是向下凸出的，由函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)得：）定理：設(shè)為正實(shí)數(shù)，表示面積為的三角形三邊長(zhǎng)，則有：這個(gè)不等式稱為青茨法斯不等式。證明：由定理的芬斯勒-哈德威格不等式足以證明?；颍夯颍罕臼娇捎煽挛?蘇瓦茨不等式直接證明。定理：設(shè)代表面積為的三角形的三邊長(zhǎng)，代表面積為的三角形的三邊長(zhǎng)，則：這個(gè)不等式稱為伊諾貝格-佩多不等式。引理1：證明：式等價(jià)于：由海倫公式得：或：（注：海倫公式：，即：，即：即：即：）由柯西-蘇瓦茨不等式得：先證明：由引理1得：所以，我們只需證明：檢驗(yàn)不等式：這里：，，采用恒等式：，或進(jìn)行放縮：卡里茨發(fā)現(xiàn)伊諾貝格-佩多不等式可以由奧采兒不等式放縮得到。定理：設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿足和則：這就是奧采兒不等式。證明：由柯西-蘇瓦茨不等式得：上面的不等式等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，無(wú)關(guān)緊要。重點(diǎn)是當(dāng)時(shí)，關(guān)注二次多項(xiàng)式既然，且的系數(shù)為正，則至少有一實(shí)根，所以非負(fù)，故的判別式：伊諾貝格-佩多不等式證法二：采用下列換元：，，，；，，，；