量子力學(xué)諧振子的薛定諤因式分解法角動量的本征值與本征態(tài)第23講目錄零、一維諧振子的分析解法（回顧）一、諧振子的薛定諤因式分解法二、角動量的本征值與本征態(tài)三、代數(shù)解法總結(jié)

四、例題

零、一維諧振子的分析解法（回顧）

一維諧振子的能量本征方程:(1)漸進行為和束縛態(tài)條件：

令：代入原方程零、一維諧振子的分析解法（回顧）（厄米方程）冪級數(shù)解法能量本征值能量本征態(tài)：厄米多項式

以上為分析解法，非常復(fù)雜。本講將引入的薛定諤因式分解法（代數(shù)解法）處理該問題很簡單。一、諧振子的薛定諤因式分解法（1）1、，和的引入一維諧振子的哈密頓量:

利用自然單位：

引入兩個算符：和定義為：

對易關(guān)系：

逆變換：留作練習(xí)一、諧振子的薛定諤因式分解法（2）一維諧振子的哈密頓量用和表示為：注意：定義：因此，稱為粒子數(shù)算符。

的性質(zhì)：在任何量子態(tài)下：

為正定（線性代數(shù)）的厄米算符，正定厄米算符的本征值為非負(fù)實數(shù)。一、諧振子的薛定諤因式分解法（3）2、的本征值和本征態(tài)。設(shè)的本征值為，本征態(tài)為，即：

即：若令則有：，對比，可以看出就是算符屬于本征值的本征態(tài)。一、諧振子的薛定諤因式分解法（4）

利用同樣的方法，可得即：的本征態(tài)：的本征值：

為正定的厄米算符，其本征值為非負(fù)實數(shù)。肯定存在一個最小的本征值，相應(yīng)的本征態(tài)為，則為的本征值為的本征態(tài)，即：一、諧振子的薛定諤因式分解法（5）3、利用確定一維諧振子的本征值即：，為的本征值，加上能量單位：；就是一維諧振子的屬于本征值本征態(tài)。

以上求解一維諧振子能量本征值的方法，未涉及任何分析（微分，積分等）的方法，僅僅從代數(shù)（左乘，數(shù)乘等）的角度來求解的。一、諧振子的薛定諤因式分解法（6）4、的性質(zhì)

因此就是算符屬于本征值的本征態(tài)。同理：（）的本征態(tài)：的本征值：的本征值：一、諧振子的薛定諤因式分解法（7）：下降算符：上升算符固體物理：和稱為聲子的產(chǎn)生和消滅算符。量子電動力學(xué)（激光的全量子理論）：和稱為光子的產(chǎn)生和消滅算符。一、諧振子的薛定諤因式分解法（8）5、一維諧振子的本征態(tài)

已證明就是一維諧振子的屬于本征值本征態(tài)。但是具體的形式未給出。利用上升算符可證明：歸一化的

即：

坐標(biāo)表象中的表示：首先求的表示，取坐標(biāo)表象：一、諧振子的薛定諤因式分解法（9）加上自然單位：歸一化的基態(tài)波函數(shù)激發(fā)態(tài)波函數(shù)：，加上長度自然單位二、角動量的本征值與本征態(tài)

（1）1、角動量算符的定義設(shè)有三個標(biāo)量算符，和，若它們滿足下列對易式：則由這三個標(biāo)量算符作為分量的矢量算符稱為角動量算符，上述三個對易式稱為角動量的基本對易式。這個三個對易式與三個標(biāo)量算符是角動量算符分量互為充分必要條件。定義：為角動量平方算符，滿足對易式：基本對易式合寫為：二、角動量的本征值與本征態(tài)

（2）2、角動量算符本征值和本征態(tài)的代數(shù)解法

考慮二維各向同性諧振子，相應(yīng)的兩類聲子產(chǎn)生和消滅算符分別為：和滿足對易式：定義正定厄米算符：設(shè)其本征值分別為和，分別聲子的數(shù)目

和歸一化共同本征態(tài)：二、角動量的本征值與本征態(tài)

（3）

定義以下算符（）：可以證明因此這三個算符，和可組成一個角動量算符：其中：二、角動量的本征值與本征態(tài)

（4）若的本征值可表示為則根據(jù)即角動量量子數(shù)只能取非負(fù)整數(shù)或半奇數(shù)

為和的共同本征態(tài)，將改記為的取值范圍：二、角動量的本征值與本征態(tài)

（5）根據(jù)逆變換：角動量的本征值與本征態(tài)：三、代數(shù)解法總結(jié)

（1）代數(shù)解法的核心？對易關(guān)系代數(shù)變換

和為粒子數(shù)產(chǎn)生和消滅算符，粒子數(shù)算符。粒子數(shù)表象四、例題

第一題：證明由產(chǎn)生算符性質(zhì)可知和為同一個態(tài)：

為一個常數(shù)，取它的模方取即四、例題

第二題：定義證明：由題可知：已知：，令根據(jù)：根據(jù)逆變換：有：角動量的共同本征函數(shù)―球諧函數(shù)角動